1.(2025·淮安模拟)方程$x^{2}=3x$的解为（）

A.0
B.3
C.0或$-3$
D.0或3

1.D

【分析】
拿到这道题，首先我们要解这个一元二次方程，首先注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0的特殊解。正确的思考路径是：先把所有项移到方程的同一侧，让右侧为0，再通过提取公因式的方式对左侧的二次多项式做因式分解，利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，拆分得到两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的全部解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 移项：将方程右侧的3x移到左侧，整理得：
$x^2 - 3x = 0$
2. 因式分解：对左侧多项式提取公因式x，可得：
$x(x - 3) = 0$
3. 拆分求解：根据乘积为0的性质，可得到两个等价的一元一次方程：
$x=0$ 或 $x-3=0$
分别计算得原方程的解为$x_1=0$，$x_2=3$，即方程的解为0或3。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，高频易错点是直接两边约去x，仅得到解x=3，遗漏x=0这个根。同学们要牢记：当方程两边同时除以含未知数的整式时，必须先确认该整式不为0，否则就会出现丢根的问题，这类缺常数项的一元二次方程优先选择移项因式分解的方式求解，能有效避免丢根。
【难度系数】
0.9

2. 用因式分解法解方程，下列解法中正确的是（）

A.$x(x + 2) = 0,\therefore x + 2 = 0$
B.$(x - 2)(x - 3) = 2×3,\therefore x - 2 = 2$ 或 $x - 3 = 3$
C.$(x + 3)(x - 1) = 1,\therefore x + 3 = 0$ 或 $x - 1 = 1$
D.$(2x - 2)(3x - 4) = 0,\therefore 2x - 2 = 0$ 或 $3x - 4 = 0$

2.D

【分析】
首先我们要明确因式分解法解一元二次方程的核心依据是“零乘积性质”：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少有一个的值为0，也就是若ab=0，则a=0或b=0，这个性质的使用前提是方程的等号一侧是因式乘积，另一侧必须为0。我们可以按照这个规则逐一验证每个选项：先判断选项是否满足等号右侧为0的前提，再确认拆分得到的因式等于0的形式是否完整正确，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项的正误：
选项A：方程$x(x + 2) = 0$满足乘积为0的形式，正确拆分应该是$x=0$或$x+2=0$，该选项遗漏了$x=0$的解，解法错误。
选项B：方程右侧是$2×3=6$，不等于0，不满足零乘积性质的使用前提，不能直接推出$x - 2 = 2$或$x - 3 = 3$，需要先展开移项整理为$x^2-5x=0$再因式分解求解，解法错误。
选项C：方程右侧是1，不等于0，不满足零乘积性质的使用前提，不能直接推出$x + 3 = 0$或$x - 1 = 1$，解法错误。
选项D：方程$(2x - 2)(3x - 4) = 0$满足乘积为0的形式，根据零乘积性质可得$2x - 2 = 0$或$3x - 4 = 0$，解法正确。
【答案】
D
【知识点】
零乘积性质；因式分解法解方程
【点评】
本题重点考察因式分解法解一元二次方程的核心使用规则，易错点是忽略“等号右侧必须为0”的前提，随意将非零的右侧数值拆分对应到左侧因式上，解题时要牢记只有乘积为0时，才能令每个因式分别等于0求解。
【难度系数】
0.8

3.若代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数，则$x$的值为。

3.1或3

【分析】
首先我们要明确互为相反数的两个数的核心性质：若两个数互为相反数，则它们的和为0。题目给出两个代数式的值互为相反数，第一步就可以直接将两个代数式相加等于0，得到对应的一元二次方程。接下来观察方程的结构，不需要强行展开整理成一般式，通过符号变形把1-x转换为-(x-1)，就可以用提取公因式的方法对等式左边因式分解，再利用“两因式乘积为0则至少一个因式为0”的性质，就能快速求出x的取值，最后验证结果符合题意即可。
【解析】
根据相反数的定义，两个互为相反数的数和为0，因此可列方程：
$x(x-1) + 3(1-x) = 0$
对等式左侧做符号变形，将$3(1-x)$改写为$-3(x-1)$，得到：
$x(x-1) - 3(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，因式分解后可得：
$(x-1)(x-3) = 0$
令两个因式分别等于0：
$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
1或3
【知识点】
相反数性质，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考点是结合相反数定义建立方程，优先选用因式分解法求解可以避免展开后的冗余计算，降低出错概率，解题时需要注意$1-x$和$x-1$的符号转换，不要出现公因式提取的符号错误。
【难度系数】
0.8

4.(2025·海州区月考)若一个三角形两条边长为2和4,第三边长满足方程$x^{2}-7x+10=0$,则此三角形的周长为.

4.11

【分析】
这道题的解题逻辑非常清晰，我们可以按三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边的所有候选取值；第二步结合三角形三边的约束规则，对候选值进行筛选，排除无法构成三角形的边长；第三步将符合条件的三边长度求和，得到最终周长。这里要特别注意，不能直接将方程的根直接代入计算周长，必须先验证三边是否满足构成三角形的要求，避免出现错误。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -7x +10=0$因式分解可得：
$(x-2)(x-5)=0$
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=5$。
2. 利用三角形三边关系筛选合法第三边：
已知三角形已有两边长为2和4：
若第三边长为2：此时$2+2=4$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的基本规则，无法构成三角形，该取值舍去；
若第三边长为5：此时$2+4＞5$、$2+5＞4$、$4+5＞2$，完全符合三角形三边关系，可以构成三角形。
3. 计算三角形周长：
将三边长度相加得周长为$2+4+5=11$。
【答案】
11
【知识点】
一元二次方程解法，三角形三边关系
【点评】
本题属于基础易错题，不少同学解出方程的根后直接计算所有可能的周长，忽略了三角形三边的硬性约束，误得到周长为8的错误结果，解题时一定要牢记：涉及三角形边长的问题，得到候选值后必须先验证三边关系，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6

5. 用因式分解法解下列方程：
(1)$3y^{2}=8y$;
(2)$(x+1)^{2}=6x+6$;
(3)$(x+1)^{2}-4(x+1)+4=0$;
(4)$(x-2)^{2}-16=0$;
(5)$(3x-2)^{2}=(2x-3)^{2}$;
(6)$(x-3)(x-1)=3$.

5. 解:(1)方程变形为$(3y-8)y=0$,解得$y_{1}=0,y_{2}=\dfrac{8}{3}$.
(2)方程变形为$(x+1)^{2}-6(x+1)=0$,
即$(x+1)(x+1-6)=0$,
所以$x+1=0$或$x+1-6=0$,解得$x_{1}=-1,x_{2}=5$.
(3)方程变形为$(x+1-2)^{2}=0$,
即$(x-1)^{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=1$.
(4)方程变形为$(x-2+4)(x-2-4)=0$,
即$(x+2)(x-6)=0$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=6$.
(5)方程变形为$(3x-2)^{2}-(2x-3)^{2}=0$,即$(3x-2+2x-3)(3x-2-2x+3)=0$,所以$(5x-5)(x+1)=0$,
解得$x_{1}=1,x_{2}=-1$.
(6)方程变形为$x^{2}-4x=0$,即$x(x-4)=0$,解得$x_{1}=0$,$x_{2}=4$.

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先移项让方程等号右侧为0，再把左侧多项式通过提公因式、套用乘法公式等方式分解为两个一次因式的乘积，最后令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，求解后就能得到原方程的根，这种方法可以避免复杂的配方或开方运算。
针对这6道小题可以对应不同的分解技巧：
1. 第(1)题移项后直接提取公因式y即可分解；
2. 第(2)题把右侧的6x+6变形为6(x+1)，将(x+1)作为整体提取公因式，无需展开完全平方；
3. 第(3)题把(x+1)看作整体，左侧刚好符合完全平方差的形式，直接套用完全平方公式分解；
4. 第(4)题把16看作4²，直接套用平方差公式分解；
5. 第(5)题移项后得到两个平方相减的形式，用平方差公式分解；
6. 第(6)题先展开左侧括号，整理后消去右侧的常数项，再提取公因式分解即可。
【解析】
我们按照因式分解法的规范步骤逐个求解：
(1) 移项得：$3y^2 - 8y = 0$，
提取公因式y，变形为：$y(3y - 8) = 0$，
令两个因式分别为0：$y=0$ 或 $3y-8=0$，
解得：$y_1=0$，$y_2=\frac{8}{3}$。
(2) 移项得：$(x+1)^2 - 6x -6 = 0$，
对后两项提取公因式6，变形为：$(x+1)^2 - 6(x+1) = 0$，
提取公因式$(x+1)$得：$(x+1)(x+1 -6) = 0$，
化简得：$(x+1)(x-5)=0$，
令两个因式分别为0：$x+1=0$ 或 $x-5=0$，
解得：$x_1=-1$，$x_2=5$。
(3) 将$(x+1)$看作整体，左侧符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x+1$，$b=2$，
原方程变形为：$(x+1 - 2)^2 = 0$，
化简得：$(x-1)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=1$。
(4) 把16写成$4^2$，左侧符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x-2$，$b=4$，
原方程变形为：$(x-2 +4)(x-2 -4)=0$，
化简得：$(x+2)(x-6)=0$，
令两个因式分别为0：$x+2=0$ 或 $x-6=0$，
解得：$x_1=-2$，$x_2=6$。
(5) 移项得：$(3x-2)^2 - (2x-3)^2=0$，
套用平方差公式分解得：$[(3x-2)+(2x-3)][(3x-2)-(2x-3)]=0$，
化简括号内的项得：$(5x-5)(x+1)=0$，
令两个因式分别为0：$5x-5=0$ 或 $x+1=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=-1$。
(6) 先展开左侧的乘积：$x^2 -4x +3 =3$，
移项合并同类项得：$x^2 -4x =0$，
提取公因式x得：$x(x-4)=0$，
令两个因式分别为0：$x=0$ 或 $x-4=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1)$y_1=0,y_2=\dfrac{8}{3}$；(2)$x_1=-1,x_2=5$；(3)$x_1=x_2=1$；(4)$x_1=-2,x_2=6$；(5)$x_1=1,x_2=-1$；(6)$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；乘法公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了提公因式、整体代换、平方差公式、完全平方公式分解因式的常见考法，解题时要注意不能随意给方程两边直接除以含未知数的整式，避免丢失根，优先观察能否用整体代换简化运算，不需要盲目展开完全平方项。
【难度系数】
0.8

6.(2025·鼓楼区月考)若$x$比$(x-1)$与$(x+1)$的积小1,则关于$x$的值,下列说法正确的是 （）

A.不存在这样的$x$的值
B.有两个相等的$x$的值
C.有两个不相等的$x$的值
D.无法确定

6.C

【分析】
解题思路如下：第一步，先将题目中的文字描述转化为代数等式，“x比(x-1)与(x+1)的积小1”等价于“(x-1)(x+1)的乘积减去x等于1”，据此列出对应的方程；第二步，利用平方差公式展开乘积项，将方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$；第三步，计算该一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的正负即可判断方程根的个数，进而选出正确选项。
【解析】
1. 根据题意列方程：
由“x比$(x-1)$与$(x+1)$的积小1”，可得等式：
$(x-1)(x+1) - x = 1$
2. 化简方程：
利用平方差公式展开$(x-1)(x+1)=x^2-1$，代入等式得：
$x^2 -1 -x = 1$
移项合并同类项，整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 -x -2 = 0$
3. 计算判别式判断根的情况：
该方程中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 =9＞0$
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，即x有两个不相等的值。
所以选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程，平方差公式，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考点是将文字条件转化为代数方程，再通过判别式判断根的个数，解题时注意不要混淆题干中的大小关系，计算判别式时留意常数项的符号，避免符号错误导致结果判断失误。
【难度系数】
0.8

7. 用因式分解法解方程 $x^{2}+px-6=0$,若将左边分解后有一个因式是 $x-6$,则 $p$ 的值是（）

A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$

7.C

【分析】
我们可以通过两种思路完成解题：思路1，已知二次三项式$x^2+px-6$分解后有一个因式是$x-6$，且二次项系数为1，因此可设另一个一次因式为$x+m$，将两个因式相乘展开后，让左右两边多项式的对应项系数相等，先求出$m$的值，再计算$p$；思路2，若$x-6$是方程左边的因式，那么$x=6$就是这个一元二次方程的根，直接把$x=6$代入原方程，就能快速解出$p$的值。
【解析】
方法一：待定系数法
因为$x^2+px-6$分解后含因式$x-6$，且二次项系数为1，因此设：
$x^2+px-6=(x-6)(x+m)$
将右侧展开得：
$(x-6)(x+m)=x^2 + (m-6)x -6m$
左右两个多项式恒等，对应项的系数完全相等，因此常数项满足：
$-6m = -6$
解得$m=1$
再对比一次项系数可得：$p = m - 6 = 1 - 6 = -5$
方法二：利用方程根的性质
因为$x-6$是方程左边的因式，因此当$x-6=0$即$x=6$时，方程$x^2+px-6=0$成立，将$x=6$代入原方程：
$6^2 + 6p -6 = 0$
化简得：$36 +6p -6 = 0$，即$30 +6p=0$
解得$p=-5$
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根，多项式恒等性质
【点评】
本题属于一元二次方程因式分解章节的基础题型，两种解题思路都清晰易懂，既可以用待定系数法结合十字相乘法的系数规律求解，也可以利用方程根的定义快速代入计算，易错点是展开多项式时符号处理错误，整体考察学生对因式分解法解方程核心逻辑的理解。
【难度系数】
0.8