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8.(2025·江阴期中)代数式$x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2$,因为$(x-1)^{2}≥0$,所以当$x=1$时,$(x-1)^{2}+2$的最小值是2,则当$x=$
$\frac{3}{4}$
时,代数式$8x^{2}-12x+5$有最小值,最小值为$\frac{1}{2}$
.答案
$\frac{3}{4}$ $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这道题参考题干给出的配方法求二次代数式最小值的思路来解题：首先我们需要把目标代数式通过配方法变形为“非负的完全平方式+常数”的形式，利用完全平方的结果恒大于等于0的性质，就能直接得出当完全平方式部分为0时，整个代数式取得最小值，对应的x取值就是让完全平方式为0的x值，剩余的常数就是最小值。第一步先对二次项和一次项提取二次项系数，再凑出完全平方公式的结构，最后整理常数项即可完成变形。
【解析】
我们对代数式$8x^2 -12x +5$进行配方：
1. 先提取二次项系数8，对含x的项做变形：
$8x^2 -12x +5 = 8(x^2 - \frac{3}{2}x) +5$
2. 在括号内凑完全平方，一次项系数$-\frac{3}{2}$的一半是$-\frac{3}{4}$，其平方为$\frac{9}{16}$，因此在括号内加、减$\frac{9}{16}$：
$=8[(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - \frac{9}{16}] +5$
3. 把括号内的完全平方式合并，展开计算常数项：
$=8(x-\frac{3}{4})^2 - 8×\frac{9}{16} +5$
$=8(x-\frac{3}{4})^2 - \frac{9}{2} +5$
$=8(x-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{2}$
根据完全平方的非负性，可得$(x-\frac{3}{4})^2≥0$，因此$8(x-\frac{3}{4})^2≥0$，当且仅当$x-\frac{3}{4}=0$即$x=\frac{3}{4}$时，$8(x-\frac{3}{4})^2=0$，此时代数式取得最小值$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法，完全平方非负性
【点评】
本题属于配方法求二次整式最值的基础题型，题干已经给出了示例引导，学生只需要模仿示例的步骤对目标代数式做配方变形即可，易错点是二次项系数不为1时，凑完全平方后计算常数项容易出现计算错误，需要注意展开提取的系数时不要漏乘。
【难度系数】
0.7
这道题参考题干给出的配方法求二次代数式最小值的思路来解题：首先我们需要把目标代数式通过配方法变形为“非负的完全平方式+常数”的形式，利用完全平方的结果恒大于等于0的性质，就能直接得出当完全平方式部分为0时，整个代数式取得最小值，对应的x取值就是让完全平方式为0的x值，剩余的常数就是最小值。第一步先对二次项和一次项提取二次项系数，再凑出完全平方公式的结构，最后整理常数项即可完成变形。
【解析】
我们对代数式$8x^2 -12x +5$进行配方：
1. 先提取二次项系数8，对含x的项做变形：
$8x^2 -12x +5 = 8(x^2 - \frac{3}{2}x) +5$
2. 在括号内凑完全平方，一次项系数$-\frac{3}{2}$的一半是$-\frac{3}{4}$，其平方为$\frac{9}{16}$，因此在括号内加、减$\frac{9}{16}$：
$=8[(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - \frac{9}{16}] +5$
3. 把括号内的完全平方式合并，展开计算常数项：
$=8(x-\frac{3}{4})^2 - 8×\frac{9}{16} +5$
$=8(x-\frac{3}{4})^2 - \frac{9}{2} +5$
$=8(x-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{2}$
根据完全平方的非负性，可得$(x-\frac{3}{4})^2≥0$，因此$8(x-\frac{3}{4})^2≥0$，当且仅当$x-\frac{3}{4}=0$即$x=\frac{3}{4}$时，$8(x-\frac{3}{4})^2=0$，此时代数式取得最小值$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法，完全平方非负性
【点评】
本题属于配方法求二次整式最值的基础题型，题干已经给出了示例引导，学生只需要模仿示例的步骤对目标代数式做配方变形即可，易错点是二次项系数不为1时，凑完全平方后计算常数项容易出现计算错误，需要注意展开提取的系数时不要漏乘。
【难度系数】
0.7
9. (1) 当 $x=$
(2) 当 $x=$
(3) 当 $x=$
$1$
时,代数式 $2(x-1)^2-3$ 有最 小
值为 $-3$
;(2) 当 $x=$
$-2$
时,代数式 $-3(x+2)^2+4$ 有最 大
值为 $4$
;(3) 当 $x=$
$-1$
,$y=$ $-2$
时,代数式 $5x^2+y^2+2x-4xy+7$ 取得最小值,最小值为$6$
.答案
(1)$1$ 小 $-3$ (2)$-2$ 大 $4$ (3)$-1$ $-2$ $6$
解析
【分析】
这道题的核心解题依据是完全平方数的非负性：对任意实数a，都有$a^2≥0$，当且仅当$a=0$时，$a^2$取得最小值0。我们可以按照这个思路分步思考：
1. 对于前两问已经给出类似$a(x+m)^2+n$形式的代数式，直接观察平方项的系数正负：如果系数为正，那么平方项取0时整个代数式取得最小值；如果系数为负，平方项取0时整个代数式取得最大值，代入计算对应的x和最值即可。
2. 第三问是二元二次代数式，没有直接给出完全平方的形式，我们需要通过拆项、配方法，把原式拆成多个完全平方式相加再加常数的形式，再令每一个完全平方式都等于0，解出对应的x、y，就能得到代数式的最小值。
【解析】
(1) 根据完全平方的非负性，可得$(x-1)^2≥0$，当且仅当$x-1=0$即$x=1$时，$(x-1)^2=0$。
此时$2(x-1)^2$取得最小值0，因此$2(x-1)^2-3$的最小值为$0-3=-3$。
即当$x=1$时，代数式有最小值为$-3$。
(2) 根据完全平方的非负性，可得$(x+2)^2≥0$，两边同乘$-3$得$-3(x+2)^2≤0$，当且仅当$x+2=0$即$x=-2$时，$-3(x+2)^2=0$。
此时$-3(x+2)^2$取得最大值0，因此$-3(x+2)^2+4$的最大值为$0+4=4$。
即当$x=-2$时，代数式有最大值为$4$。
(3) 对代数式$5x^2+y^2+2x-4xy+7$拆项配方：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2-4xy+y^2)+(x^2+2x)+7\\&=(2x-y)^2 + (x^2+2x+1) -1 +7\\&=(2x-y)^2 + (x+1)^2 +6\end{aligned}$
由完全平方非负性可知$(2x-y)^2≥0$，$(x+1)^2≥0$，因此当两个平方项同时为0时，原式取得最小值：
令$\begin{cases}x+1=0\\2x-y=0\end{cases}$，解得$x=-1$，代入得$y=2×(-1)=-2$，此时最小值为$0+0+6=6$。
【答案】
(1)$1$，小，$-3$；(2)$-2$，大，$4$；(3)$-1$，$-2$，$6$
【知识点】
完全平方非负性，配方法求最值
【点评】
本题是利用完全平方性质求代数式最值的典型习题，前两问直接给出了含完全平方的顶点式结构，侧重基础概念考察；第三问需要自主对二元二次代数式进行拆项配方，对学生的配方运算能力有一定要求，掌握“将代数式转化为多个非负项之和”的思路是解这类题的核心。
【难度系数】
0.6
这道题的核心解题依据是完全平方数的非负性：对任意实数a，都有$a^2≥0$，当且仅当$a=0$时，$a^2$取得最小值0。我们可以按照这个思路分步思考：
1. 对于前两问已经给出类似$a(x+m)^2+n$形式的代数式，直接观察平方项的系数正负：如果系数为正，那么平方项取0时整个代数式取得最小值；如果系数为负，平方项取0时整个代数式取得最大值，代入计算对应的x和最值即可。
2. 第三问是二元二次代数式，没有直接给出完全平方的形式，我们需要通过拆项、配方法，把原式拆成多个完全平方式相加再加常数的形式，再令每一个完全平方式都等于0，解出对应的x、y，就能得到代数式的最小值。
【解析】
(1) 根据完全平方的非负性，可得$(x-1)^2≥0$，当且仅当$x-1=0$即$x=1$时，$(x-1)^2=0$。
此时$2(x-1)^2$取得最小值0，因此$2(x-1)^2-3$的最小值为$0-3=-3$。
即当$x=1$时，代数式有最小值为$-3$。
(2) 根据完全平方的非负性，可得$(x+2)^2≥0$，两边同乘$-3$得$-3(x+2)^2≤0$，当且仅当$x+2=0$即$x=-2$时，$-3(x+2)^2=0$。
此时$-3(x+2)^2$取得最大值0，因此$-3(x+2)^2+4$的最大值为$0+4=4$。
即当$x=-2$时，代数式有最大值为$4$。
(3) 对代数式$5x^2+y^2+2x-4xy+7$拆项配方：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2-4xy+y^2)+(x^2+2x)+7\\&=(2x-y)^2 + (x^2+2x+1) -1 +7\\&=(2x-y)^2 + (x+1)^2 +6\end{aligned}$
由完全平方非负性可知$(2x-y)^2≥0$，$(x+1)^2≥0$，因此当两个平方项同时为0时，原式取得最小值：
令$\begin{cases}x+1=0\\2x-y=0\end{cases}$，解得$x=-1$，代入得$y=2×(-1)=-2$，此时最小值为$0+0+6=6$。
【答案】
(1)$1$，小，$-3$；(2)$-2$，大，$4$；(3)$-1$，$-2$，$6$
【知识点】
完全平方非负性，配方法求最值
【点评】
本题是利用完全平方性质求代数式最值的典型习题，前两问直接给出了含完全平方的顶点式结构，侧重基础概念考察；第三问需要自主对二元二次代数式进行拆项配方，对学生的配方运算能力有一定要求，掌握“将代数式转化为多个非负项之和”的思路是解这类题的核心。
【难度系数】
0.6
10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$($a,b,c$ 是常数,$a≠0$) 配方后得到 $(x-2)^2=d$($d$ 是常数),则 $\dfrac{b}{a}=$
$-4$
。答案
$-4$
解析
【分析】
这道题的核心是利用一元二次方程配方前后的等价关系求解，我们可以走非常直观的思路：首先把题目给出的配方结果$(x-2)^2=d$展开，整理成二次项系数为1的一元二次方程一般形式；再把原方程$ax^2+bx+c=0$两边同时除以a，也转化为二次项系数为1的形式，两个等价方程的对应项系数必然相等，直接对比一次项系数就能快速得到$\frac{b}{a}$的结果，不需要额外计算c、d的具体数值，避免多余运算。
【解析】
1. 展开配方后的等式
将$(x-2)^2=d$展开，移项整理为二次项系数为1的一元二次方程一般形式：
$x^2 -4x +4 -d = 0$
2. 对原方程做同解变形
已知原方程为$ax^2+bx+c=0$，且$a≠0$，方程两边同时除以a，得到二次项系数为1的等价方程：
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
3. 对比对应项系数
两个方程是同一方程配方前后的变形，完全等价，因此一次项系数对应相等，直接可得：
$\frac{b}{a} = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一元二次方程配方，对应系数相等
【点评】
本题属于一元二次方程配方的基础变式题，不需要求解所有参数，只需要抓住配方后二次项系数为1的特点，利用同解方程的系数对应关系就能直接得到所求比值，提醒同学们解题时多观察目标所求的是比值，优先找参数的关系，避免无意义的复杂计算。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是利用一元二次方程配方前后的等价关系求解，我们可以走非常直观的思路：首先把题目给出的配方结果$(x-2)^2=d$展开，整理成二次项系数为1的一元二次方程一般形式；再把原方程$ax^2+bx+c=0$两边同时除以a，也转化为二次项系数为1的形式，两个等价方程的对应项系数必然相等，直接对比一次项系数就能快速得到$\frac{b}{a}$的结果，不需要额外计算c、d的具体数值，避免多余运算。
【解析】
1. 展开配方后的等式
将$(x-2)^2=d$展开，移项整理为二次项系数为1的一元二次方程一般形式：
$x^2 -4x +4 -d = 0$
2. 对原方程做同解变形
已知原方程为$ax^2+bx+c=0$，且$a≠0$，方程两边同时除以a，得到二次项系数为1的等价方程：
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
3. 对比对应项系数
两个方程是同一方程配方前后的变形，完全等价，因此一次项系数对应相等，直接可得：
$\frac{b}{a} = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一元二次方程配方，对应系数相等
【点评】
本题属于一元二次方程配方的基础变式题，不需要求解所有参数，只需要抓住配方后二次项系数为1的特点，利用同解方程的系数对应关系就能直接得到所求比值，提醒同学们解题时多观察目标所求的是比值，优先找参数的关系，避免无意义的复杂计算。
【难度系数】
0.8
11. 用配方法解下列方程：
(1)$(x-2)(3x-5)=1$；
(2)$3x^{2}-8x+3=0$；
(3)$-\dfrac{1}{4}x^{2}+x+2=0$；
(4)$2x^{2}+\sqrt{2}x-30=0.$
(1)$(x-2)(3x-5)=1$；
(2)$3x^{2}-8x+3=0$；
(3)$-\dfrac{1}{4}x^{2}+x+2=0$；
(4)$2x^{2}+\sqrt{2}x-30=0.$
答案
解:(1)方程整理,得$x^2-\frac{11}{3}x=-3,$
配方,得$x^2-\frac{11}{3}x+(\frac{11}{6})^2=-3+(\frac{11}{6})^2,$
即$(x-\frac{11}{6})^2=\frac{13}{36}$,开方,得$x-\frac{11}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6},$
解得$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}.$
(2)方程整理,得$x^2-\frac{8}{3}x=-1,$
配方,得$(x-\frac{4}{3})^2=\frac{7}{9}$,开方,得$x-\frac{4}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3},$
解得$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}.$
(3)方程整理,得$x^2-4x=8$,配方,
得$x^2-4x+4=12,$
即$(x-2)^2=12$,开方,得$x-2=\pm2\sqrt{3},$
解得$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}.$
(4)方程整理,得$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x=15,$
配方,得$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2=15+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2,$
即$(x+\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{121}{8},$
开方,得$x+\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{11}{4}\sqrt{2},$
解得$x_1=-3\sqrt{2},x_2=\frac{5}{2}\sqrt{2}.$
配方,得$x^2-\frac{11}{3}x+(\frac{11}{6})^2=-3+(\frac{11}{6})^2,$
即$(x-\frac{11}{6})^2=\frac{13}{36}$,开方,得$x-\frac{11}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6},$
解得$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}.$
(2)方程整理,得$x^2-\frac{8}{3}x=-1,$
配方,得$(x-\frac{4}{3})^2=\frac{7}{9}$,开方,得$x-\frac{4}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3},$
解得$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}.$
(3)方程整理,得$x^2-4x=8$,配方,
得$x^2-4x+4=12,$
即$(x-2)^2=12$,开方,得$x-2=\pm2\sqrt{3},$
解得$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}.$
(4)方程整理,得$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x=15,$
配方,得$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2=15+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2,$
即$(x+\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{121}{8},$
开方,得$x+\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{11}{4}\sqrt{2},$
解得$x_1=-3\sqrt{2},x_2=\frac{5}{2}\sqrt{2}.$
解析
【分析】
我们用配方法解一元二次方程的核心思路是把方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤是：①先将原方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$；②将二次项系数化为1，方程两边同时除以$a$；③把常数项移到等号右侧；④等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；⑤计算右侧的常数项，开方后求解$x$。
针对这4道小题：第(1)题首先要先展开左侧的多项式乘积，合并同类项得到标准形式，再按上述步骤操作；第(2)题直接将二次项系数化为1，移项后配方即可；第(3)题二次项系数为负数，先通过变形将二次项系数化为1，移项后配方；第(4)题一次项系数带有根号，计算一次项系数一半的平方时注意不要算错，后续开方化简即可得到结果。
【解析】
我们逐题按照配方法标准步骤求解：
(1) 先展开并整理方程：
原方程$(x-2)(3x-5)=1$，展开左侧得$3x^2-5x-6x+10=1$，合并同类项得$3x^2-11x+9=0$，
二次项系数化为1，移常数项到右侧：$x^2-\frac{11}{3}x=-3$，
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{11}{6})^2$：
$x^2-\frac{11}{3}x+(\frac{11}{6})^2=-3+(\frac{11}{6})^2$，
左侧写成完全平方式，右侧计算合并：$(x-\frac{11}{6})^2=\frac{13}{36}$，
开方得：$x-\frac{11}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$，
解得：$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
(2) 原方程$3x^2-8x+3=0$，
二次项系数化为1，移常数项到右侧：$x^2-\frac{8}{3}x=-1$，
配方，两边加$(\frac{4}{3})^2$：$x^2-\frac{8}{3}x+(\frac{4}{3})^2=-1+(\frac{4}{3})^2$，
整理得：$(x-\frac{4}{3})^2=\frac{7}{9}$，
开方得：$x-\frac{4}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$，
解得：$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$。
(3) 原方程$-\frac{1}{4}x^2+x+2=0$，
方程两边同乘$-4$，将二次项系数化为1：$x^2-4x-8=0$，
移常数项到右侧：$x^2-4x=8$，
配方，两边加$2^2$：$x^2-4x+4=8+4$，
整理得：$(x-2)^2=12$，
开方得：$x-2=\pm2\sqrt{3}$，
解得：$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$。
(4) 原方程$2x^2+\sqrt{2}x-30=0$，
二次项系数化为1，移常数项到右侧：$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x=15$，
配方，两边加$(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$：$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2=15+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$，
整理得：$(x+\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{121}{8}$，
开方得：$x+\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{11\sqrt{2}}{4}$，
解得：$x_1=-3\sqrt{2},x_2=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$；
(2)$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$；
(3)$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$；
(4)$x_1=-3\sqrt{2},x_2=\frac{5}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础练习题，涵盖了需要先展开乘积、二次项系数为分数、二次项系数为负数、系数含无理数等多种常见题型，完整考察配方法的全流程操作，需要学生注意二次项系数化为1时不要漏乘常数项，配方时准确计算一次项系数一半的平方，开方时不要遗漏正负号，带根号的运算注意最终结果的化简。
【难度系数】
0.7
我们用配方法解一元二次方程的核心思路是把方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤是：①先将原方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$；②将二次项系数化为1，方程两边同时除以$a$；③把常数项移到等号右侧；④等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；⑤计算右侧的常数项，开方后求解$x$。
针对这4道小题：第(1)题首先要先展开左侧的多项式乘积，合并同类项得到标准形式，再按上述步骤操作；第(2)题直接将二次项系数化为1，移项后配方即可；第(3)题二次项系数为负数，先通过变形将二次项系数化为1，移项后配方；第(4)题一次项系数带有根号，计算一次项系数一半的平方时注意不要算错，后续开方化简即可得到结果。
【解析】
我们逐题按照配方法标准步骤求解：
(1) 先展开并整理方程：
原方程$(x-2)(3x-5)=1$，展开左侧得$3x^2-5x-6x+10=1$，合并同类项得$3x^2-11x+9=0$，
二次项系数化为1，移常数项到右侧：$x^2-\frac{11}{3}x=-3$，
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{11}{6})^2$：
$x^2-\frac{11}{3}x+(\frac{11}{6})^2=-3+(\frac{11}{6})^2$，
左侧写成完全平方式，右侧计算合并：$(x-\frac{11}{6})^2=\frac{13}{36}$，
开方得：$x-\frac{11}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$，
解得：$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
(2) 原方程$3x^2-8x+3=0$，
二次项系数化为1，移常数项到右侧：$x^2-\frac{8}{3}x=-1$，
配方，两边加$(\frac{4}{3})^2$：$x^2-\frac{8}{3}x+(\frac{4}{3})^2=-1+(\frac{4}{3})^2$，
整理得：$(x-\frac{4}{3})^2=\frac{7}{9}$，
开方得：$x-\frac{4}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$，
解得：$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$。
(3) 原方程$-\frac{1}{4}x^2+x+2=0$，
方程两边同乘$-4$，将二次项系数化为1：$x^2-4x-8=0$，
移常数项到右侧：$x^2-4x=8$，
配方，两边加$2^2$：$x^2-4x+4=8+4$，
整理得：$(x-2)^2=12$，
开方得：$x-2=\pm2\sqrt{3}$，
解得：$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$。
(4) 原方程$2x^2+\sqrt{2}x-30=0$，
二次项系数化为1，移常数项到右侧：$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x=15$，
配方，两边加$(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$：$x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2=15+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$，
整理得：$(x+\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{121}{8}$，
开方得：$x+\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{11\sqrt{2}}{4}$，
解得：$x_1=-3\sqrt{2},x_2=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$；
(2)$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$；
(3)$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$；
(4)$x_1=-3\sqrt{2},x_2=\frac{5}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础练习题，涵盖了需要先展开乘积、二次项系数为分数、二次项系数为负数、系数含无理数等多种常见题型，完整考察配方法的全流程操作，需要学生注意二次项系数化为1时不要漏乘常数项，配方时准确计算一次项系数一半的平方，开方时不要遗漏正负号，带根号的运算注意最终结果的化简。
【难度系数】
0.7
12. 用配方法证明:对于任意实数$x$,代数式$-2x^{2}+8x+2$的值总不大于10.
答案
证明:$-2x^2+8x+2=-2(x^2-4x)+2$
$=-2(x^2-4x+4-4)+2$
$=-2[(x-2)^2-4]+2=-2(x-2)^2+10,$
$\because (x-2)^2≥0,\therefore -2(x-2)^2≤0,$
$\therefore -2(x-2)^2+10≤10.$
即对于任意实数$x$,代数式$-2x^2+8x+2$的值总不大于10.
$=-2(x^2-4x+4-4)+2$
$=-2[(x-2)^2-4]+2=-2(x-2)^2+10,$
$\because (x-2)^2≥0,\therefore -2(x-2)^2≤0,$
$\therefore -2(x-2)^2+10≤10.$
即对于任意实数$x$,代数式$-2x^2+8x+2$的值总不大于10.
解析
【分析】
这道题要求用配方法证明代数式的取值上限，核心思路是通过配方法将原式变形为“带负系数的完全平方式加常数”的形式，利用平方的非负性推导原式的最大值。第一步先把二次项系数-2从二次项、一次项中提取出来，让括号内的二次项系数为1；第二步对括号内的式子配方，加上并减去一次项系数一半的平方，凑出完全平方式；第三步整理化简后，根据任意实数的平方都大于等于0的性质，推导带负号的完全平方式的取值范围，最终就能得到原式整体的取值范围，证明它总不大于10。
【解析】
证明：
对代数式逐步配方变形：
$\begin{aligned}-2x^2+8x+2&=-2(x^2-4x)+2\\&=-2(x^2-4x+4-4)+2\\&=-2[(x-2)^2 -4]+2\\&=-2(x-2)^2 +8 +2\\&=-2(x-2)^2 +10\end{aligned}$
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-2)^2 ≥ 0$，
∴ 两边同乘-2后不等号方向改变，可得$-2(x-2)^2 ≤ 0$，
两边同时加10，得$-2(x-2)^2 +10 ≤ 10$，
即对于任意实数$x$，代数式$-2x^2+8x+2$的值总不大于10。
【答案】
经上述推导可证，对于任意实数$x$,代数式$-2x^{2}+8x+2$的值总不大于10。
【知识点】
配方法，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用，考查二次代数式取值范围的证明，解题关键是正确对二次项系数不为1的二次式完成配方，注意提取负系数后运算的符号不要出错，借助平方的非负性可直接得到代数式的最大值，是巩固配方法基础的经典题型。
【难度系数】
0.7
这道题要求用配方法证明代数式的取值上限，核心思路是通过配方法将原式变形为“带负系数的完全平方式加常数”的形式，利用平方的非负性推导原式的最大值。第一步先把二次项系数-2从二次项、一次项中提取出来，让括号内的二次项系数为1；第二步对括号内的式子配方，加上并减去一次项系数一半的平方，凑出完全平方式；第三步整理化简后，根据任意实数的平方都大于等于0的性质，推导带负号的完全平方式的取值范围，最终就能得到原式整体的取值范围，证明它总不大于10。
【解析】
证明：
对代数式逐步配方变形：
$\begin{aligned}-2x^2+8x+2&=-2(x^2-4x)+2\\&=-2(x^2-4x+4-4)+2\\&=-2[(x-2)^2 -4]+2\\&=-2(x-2)^2 +8 +2\\&=-2(x-2)^2 +10\end{aligned}$
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-2)^2 ≥ 0$，
∴ 两边同乘-2后不等号方向改变，可得$-2(x-2)^2 ≤ 0$，
两边同时加10，得$-2(x-2)^2 +10 ≤ 10$，
即对于任意实数$x$，代数式$-2x^2+8x+2$的值总不大于10。
【答案】
经上述推导可证，对于任意实数$x$,代数式$-2x^{2}+8x+2$的值总不大于10。
【知识点】
配方法，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用，考查二次代数式取值范围的证明，解题关键是正确对二次项系数不为1的二次式完成配方，注意提取负系数后运算的符号不要出错，借助平方的非负性可直接得到代数式的最大值，是巩固配方法基础的经典题型。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于 $x$ 的方程 $3x^2-6x+3p=0$,其中 $p$ 是常数. 请用配方法解这个一元二次方程.
答案
解:$x^2-2x=-p,x^2-2x+1=1-p,(x-1)^2=1-p,$
当$1-p＞0$,即$p＜1$时,$x-1=\pm\sqrt{1-p}$,所以$x_1=1+\sqrt{1-p},x_2=1-\sqrt{1-p};$
当$1-p=0$,即$p=1$时,$(x-1)^2=0$,所以$x_1=x_2=1;$
当$1-p＜0$,即$p＞1$时,方程无实数根.
当$1-p＞0$,即$p＜1$时,$x-1=\pm\sqrt{1-p}$,所以$x_1=1+\sqrt{1-p},x_2=1-\sqrt{1-p};$
当$1-p=0$,即$p=1$时,$(x-1)^2=0$,所以$x_1=x_2=1;$
当$1-p＜0$,即$p＞1$时,方程无实数根.
解析
【分析】
这道题要求用配方法解带参数的一元二次方程，我们可以按照配方法的标准逻辑逐步思考：第一步先把方程的二次项系数化为1，也就是给原方程两边同时除以二次项系数3；第二步将常数项移到等号右侧；第三步进行配方操作，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧整理为完全平方的形式；第四步由于完全平方的结果是非负的，等号右侧是含参数p的代数式，因此需要分右侧大于0、等于0、小于0三种情况讨论，对应得到不同的根的情况。
【解析】
解：
1. 将原方程两边同时除以3，把二次项系数化为1，移项可得：
$x^2-2x=-p$
2. 在等式两边同时加上一次项系数-2一半的平方即1，完成配方：
$x^2-2x+1=1-p$
3. 将左侧改写为完全平方形式：
$(x-1)^2=1-p$
4. 分三类讨论参数p的取值：
当$1-p＞0$，即$p＜1$时，对等式两边直接开平方得$x-1=\pm\sqrt{1-p}$，解得对应两个不相等的实数根；
当$1-p=0$，即$p=1$时，等式变为$(x-1)^2=0$，可得两个相等的实数根；
当$1-p＜0$，即$p＞1$时，实数范围内负数没有平方根，此时方程不存在实数根。
【答案】
当$p＜1$时，$x_1=1+\sqrt{1-p},x_2=1-\sqrt{1-p}$；当$p=1$时，$x_1=x_2=1$；当$p＞1$时，方程无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根性质
【点评】
本题是配方法的经典应用题型，既考察配方法的标准操作步骤，又通过引入参数考察分类讨论的数学思想，易错点是很多同学会忽略被开方数非负的要求，漏掉p＞1时方程无实根的情况，解题时要注意开平方的前提条件。
【难度系数】
0.6
这道题要求用配方法解带参数的一元二次方程，我们可以按照配方法的标准逻辑逐步思考：第一步先把方程的二次项系数化为1，也就是给原方程两边同时除以二次项系数3；第二步将常数项移到等号右侧；第三步进行配方操作，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧整理为完全平方的形式；第四步由于完全平方的结果是非负的，等号右侧是含参数p的代数式，因此需要分右侧大于0、等于0、小于0三种情况讨论，对应得到不同的根的情况。
【解析】
解：
1. 将原方程两边同时除以3，把二次项系数化为1，移项可得：
$x^2-2x=-p$
2. 在等式两边同时加上一次项系数-2一半的平方即1，完成配方：
$x^2-2x+1=1-p$
3. 将左侧改写为完全平方形式：
$(x-1)^2=1-p$
4. 分三类讨论参数p的取值：
当$1-p＞0$，即$p＜1$时，对等式两边直接开平方得$x-1=\pm\sqrt{1-p}$，解得对应两个不相等的实数根；
当$1-p=0$，即$p=1$时，等式变为$(x-1)^2=0$，可得两个相等的实数根；
当$1-p＜0$，即$p＞1$时，实数范围内负数没有平方根，此时方程不存在实数根。
【答案】
当$p＜1$时，$x_1=1+\sqrt{1-p},x_2=1-\sqrt{1-p}$；当$p=1$时，$x_1=x_2=1$；当$p＞1$时，方程无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根性质
【点评】
本题是配方法的经典应用题型，既考察配方法的标准操作步骤，又通过引入参数考察分类讨论的数学思想，易错点是很多同学会忽略被开方数非负的要求，漏掉p＞1时方程无实根的情况，解题时要注意开平方的前提条件。
【难度系数】
0.6
14. 已知 $A=2a^{2}-a+\dfrac{9}{4},B=2a+1.$
(1) 当 $a$ 为何值时, $A=2B?$
(2) 对于任意实数 $a$,试比较 $A$ 与 $B$ 的大小.
(1) 当 $a$ 为何值时, $A=2B?$
(2) 对于任意实数 $a$,试比较 $A$ 与 $B$ 的大小.
答案
解:(1)$\because A=2a^2-a+\frac{9}{4},B=2a+1,A=2B,$
$\therefore 2a^2-a+\frac{9}{4}=2(2a+1)$,整理,得$2a^2-5a+\frac{1}{4}=0,$
解得$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}.$
(2)$A-B=2a^2-a+\frac{9}{4}-(2a+1)$
$=2a^2-3a+\frac{5}{4}$
$=2(a-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{8}.$
$\because (a-\frac{3}{4})^2≥0,\therefore 2(a-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{8}＞0,\therefore A＞B.$
$\therefore 2a^2-a+\frac{9}{4}=2(2a+1)$,整理,得$2a^2-5a+\frac{1}{4}=0,$
解得$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}.$
(2)$A-B=2a^2-a+\frac{9}{4}-(2a+1)$
$=2a^2-3a+\frac{5}{4}$
$=2(a-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{8}.$
$\because (a-\frac{3}{4})^2≥0,\therefore 2(a-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{8}＞0,\therefore A＞B.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要找到满足A=2B的a的取值，我们可以直接把已知的A、B的代数式代入等式，得到只含未知数a的一元二次方程，解这个方程就能得到a的结果。第二问要比较任意实数a下A和B的大小，最通用的方法是作差法：计算A-B的表达式，将得到的二次式通过配方法转化为完全平方加常数的形式，利用完全平方数的非负性判断差的正负，就能直接推导得出A和B的大小关系。
【解析】
(1) 已知$A=2a^{2}-a+\dfrac{9}{4}$，$B=2a+1$，且$A=2B$，将两个代数式代入等式得：
$2a^2 - a + \frac{9}{4} = 2(2a+1)$
展开右侧并移项合并同类项，整理得：
$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-5)^2 -4×2×\frac{1}{4}=23$，由求根公式可得：
$a=\frac{5\pm\sqrt{23}}{4}$
即$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$。
(2) 采用作差法比较A和B的大小：
$\begin{aligned}A-B&=2a^2 -a + \frac{9}{4} -(2a+1)\\&=2a^2 -3a + \frac{5}{4}\\&=2(a^2-\frac{3}{2}a)+\frac{5}{4}\\&=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}\end{aligned}$
因为对任意实数$a$，都有$(a-\frac{3}{4})^2\ge0$，因此$2(a-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{8}＞0$，即$A-B＞0$，可得$A＞B$。
【答案】
(1) $a=\dfrac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\dfrac{5-\sqrt{23}}{4}$；(2) 对任意实数$a$，$A＞B$
【知识点】
一元二次方程求解，作差法比较大小，配方法
【点评】
本题是初中代数的基础综合习题，第一问考察代数式代入运算和一元二次方程的求解能力，第二问的作差比较是代数式大小比较的核心常用技巧，通过配方利用完全平方的非负性判断差的符号，整体计算难度不高，仅需要注意配方过程中系数处理不要出错，是巩固代数运算能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，第一问要找到满足A=2B的a的取值，我们可以直接把已知的A、B的代数式代入等式，得到只含未知数a的一元二次方程，解这个方程就能得到a的结果。第二问要比较任意实数a下A和B的大小，最通用的方法是作差法：计算A-B的表达式，将得到的二次式通过配方法转化为完全平方加常数的形式，利用完全平方数的非负性判断差的正负，就能直接推导得出A和B的大小关系。
【解析】
(1) 已知$A=2a^{2}-a+\dfrac{9}{4}$，$B=2a+1$，且$A=2B$，将两个代数式代入等式得：
$2a^2 - a + \frac{9}{4} = 2(2a+1)$
展开右侧并移项合并同类项，整理得：
$2a^2 -5a + \frac{1}{4}=0$
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-5)^2 -4×2×\frac{1}{4}=23$，由求根公式可得：
$a=\frac{5\pm\sqrt{23}}{4}$
即$a=\frac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\frac{5-\sqrt{23}}{4}$。
(2) 采用作差法比较A和B的大小：
$\begin{aligned}A-B&=2a^2 -a + \frac{9}{4} -(2a+1)\\&=2a^2 -3a + \frac{5}{4}\\&=2(a^2-\frac{3}{2}a)+\frac{5}{4}\\&=2(a-\frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}\end{aligned}$
因为对任意实数$a$，都有$(a-\frac{3}{4})^2\ge0$，因此$2(a-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{8}＞0$，即$A-B＞0$，可得$A＞B$。
【答案】
(1) $a=\dfrac{5+\sqrt{23}}{4}$或$a=\dfrac{5-\sqrt{23}}{4}$；(2) 对任意实数$a$，$A＞B$
【知识点】
一元二次方程求解，作差法比较大小，配方法
【点评】
本题是初中代数的基础综合习题，第一问考察代数式代入运算和一元二次方程的求解能力，第二问的作差比较是代数式大小比较的核心常用技巧，通过配方利用完全平方的非负性判断差的符号，整体计算难度不高，仅需要注意配方过程中系数处理不要出错，是巩固代数运算能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
