8. 新定义 (2025·无锡月考) 对于实数 $a,b$，我们定义符号 $\max\{a,b\}$ 的意义为：当 $a＞b$ 时，$\max\{a,b\}=a$；当 $a≤ b$ 时，$\max\{a,b\}=b$，如 $\max\{1,-2\}=1$，则方程 $\max\{x,x+2\}=x^2-4$ 的解为.

8.$x_{1}=-2,x_{2}=3$

【分析】
这是一道新定义运算题型，解题思路如下：首先先明确新定义`max{a,b}`的含义是取两个实数中较大的那个值，接下来先对比参与运算的两个数`x`和`x+2`的大小关系，按照定义分两种情况讨论：第一种情况假设`x ＞ x+2`，判断该情况是否存在实数解；第二种情况`x ≤ x+2`，该情况恒成立，此时可直接把`max{x,x+2}`替换为较大的数`x+2`，将原方程转化为常规一元二次方程求解，最后把得到的解代回原式检验，确认符合定义要求即可。
【解析】
解：根据新定义的运算规则分情况讨论：
1. 若满足`x ＞ x+2`，此时`max{x,x+2}=x`，但对不等式化简可得`0＞2`，不存在符合条件的实数x，该情况无有效解；
2. 若满足`x ≤ x+2`，此时`max{x,x+2}=x+2`，该不等式对所有实数x恒成立，因此原方程可转化为：
$ x+2 = x^2 -4 $整理为标准一元二次方程形式：$ x^2 -x -6 =0$
因式分解得：
(x-3)(x+2)=0 解得$x_1=3$，$x_2=-2$。 检验： 当x=3时，左边`max{3,5}=5`，右边$3^2-4=5$，左右相等，符合要求； 当x=-2时，左边`max{-2,0}=0`，右边$(-2)^2-4=0$，左右相等，符合要求。【答案$】x_{1}=-2,x_{2}=3$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，核心是先理清新运算的逻辑，通过分类讨论排除不存在的情况，将陌生的新定义方程转化为熟悉的常规方程求解，求解后代入检验可以避免出现不符合定义的增根，整体难度适中，需要学生具备一定的知识迁移能力。
【难度系数】
0.6

9. 如图,A,B,C是数轴上异于原点O的三个点,且O为AB的中点,B为AC的中点.若点B对应的数是$x$,点C对应的数是$x^{2}-3x$,则$x=$.

9.6

【分析】
首先从已知条件O是AB的中点且O为原点入手，原点是线段AB中点说明A、B表示的数互为相反数，已知点B对应数为x，即可推出点A对应的数为-x。接下来利用B是AC的中点这一条件，根据数轴上中点的数值等于线段两端点对应数值的平均数，代入A、B、C对应的数列出方程，求解一元二次方程后，结合题目要求三个点都异于原点的条件，排除不符合的解，就能得到x的结果。
【解析】
解：
1. 推导点A对应的数：
因为O是AB的中点，且O为数轴原点，所以OA=OB，点A与点B对应的数互为相反数。
已知点B对应的数是x，因此点A对应的数为 -x。
2. 利用B是AC中点列方程：
数轴上，若点M是线段PQ的中点，则点M对应的数 = $\frac{点P对应的数 + 点Q对应的数}{2}$。
已知B是AC的中点，代入对应数可得：
$x = \frac{(-x) + (x^2 - 3x)}{2}$
两边同乘2整理得：
$2x = -x + x^2 - 3x$
合并同类项移项得一元二次方程：
$x^2 - 6x = 0$
因式分解得：
$x(x-6)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=6$。
3. 排除不符合题意的解：
题目说明A、B、C是异于原点O的三个点，因此点B不能对应0，即x≠0，舍去x=0，得x=6。
【答案】
6
【知识点】
数轴中点性质，一元二次方程求解，相反数几何意义
【点评】
本题属于数轴与代数结合的基础题型，核心考点是数轴上线段中点的数值关系，解题时先通过原点为AB中点快速得到A点的数值，再列方程求解，需要特别注意题目隐含的“三点都异于原点”的限制条件，避免误将x=0作为有效解。
【难度系数】
0.7

10. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x(x-1)=2-2x$;
(2)$2(x-3)^2=x^2-9$;
(3)$4(x-3)^2=(3x+5)^2$.

10. (1)$x_{1}=1,x_{2}=-2$
(2)$x_{1}=3,x_{2}=9$
(3)$x_{1}=\dfrac{1}{5},x_{2}=-11$

【分析】
这道题要求用因式分解法解一元二次方程，核心思路是先将方程整理为右边为0的形式，再通过提取公因式、套用乘法公式把左边分解为两个一次因式的乘积，利用“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，降次得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。解题时注意不能直接两边约去含未知数的整式，否则会丢失根：
1. 第(1)问先把右边变形提取-2，移项后可直接提取公因式(x-1)分解；
2. 第(2)问先将右侧的x²-9用平方差公式分解，移项后提取公因式(x-3)即可；
3. 第(3)问将两项都移到左侧，直接套用平方差公式a²-b²=(a-b)(a+b)分解因式。
【解析】
(1) 对原方程移项变形：
$x(x-1) + 2x - 2 = 0$
提取右侧公因式得：
$x(x-1) + 2(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$：
$(x-1)(x+2) = 0$
令两个因式分别为0：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=1,\ x_2=-2$
(2) 先将右侧用平方差公式分解：
$2(x-3)^2 = (x+3)(x-3)$
移项将所有项移到左侧：
$2(x-3)^2 - (x+3)(x-3) = 0$
提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)[2(x-3)-(x+3)] = 0$
化简括号内的式子：
$(x-3)(2x-6 -x -3) = 0$
$(x-3)(x-9) = 0$
令两个因式分别为0：
$x-3=0$ 或 $x-9=0$
解得：$x_1=3,\ x_2=9$
(3) 移项将所有项移到左侧：
$4(x-3)^2 - (3x+5)^2 = 0$
套用平方差公式分解：
$[2(x-3)-(3x+5)][2(x-3)+(3x+5)] = 0$
分别化简两个括号内的式子：
$(-x-11)(5x-1) = 0$
整理得：
$(x+11)(5x-1) = 0$
令两个因式分别为0：
$5x-1=0$ 或 $x+11=0$
解得：$x_1=\frac{1}{5},\ x_2=-11$
【答案】
(1)$x_{1}=1,x_{2}=-2$；(2)$x_{1}=3,x_{2}=9$；(3)$x_{1}=\dfrac{1}{5},x_{2}=-11$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，提取公因式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，逐层考察了提取公因式、结合平方差公式分解的核心技巧，易错点是直接约去两边含未知数的公因式导致丢根，熟练掌握这类题型是后续学习一元二次方程应用的重要基础。
【难度系数】
0.7

11. (2025·江宁区月考)若关于$x$的方程$x^{2}+bx+c=0$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”.例如，方程$x^{2}+2x=0$的两个根是$x_{1}=0,x_{2}=-2$，则方程$x^{2}+2x=0$是“隔根方程”.
(1)方程$x^{2}-x-20=0$是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
(2)若关于$x$的方程$x^{2}+mx+m-1=0$是“隔根方程”，求$m$的值.

11. 解:(1)不是,理由如下:
$\because x^{2}-x-20=0$,即$(x-5)(x+4)=0$,
$\therefore x_{1}=5,x_{2}=-4$.
$\because 5-(-4)=9\ne 2$,
$\therefore$方程$x^{2}-x-20=0$不是“隔根方程”.
(2)$\because x^{2}+mx+m-1=0$,即$(x+1)[x+(m-1)]=0$,
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=1-m$.
又$\because$关于$x$的方程$x^{2}+mx+m-1=0$是“隔根方程”,
$\therefore |1-m-(-1)|=2$,解得$m=0$或$m=4$.

【分析】
首先明确“隔根方程”的核心定义：一元二次方程有两个实数根，且两根的差的绝对值为2，两小问都围绕这个核心展开：
1. 第(1)问，先通过因式分解法求解方程$x^2 -x -20=0$的两个实根，计算两个根的差值，判断差值是否等于2，即可完成验证。
2. 第(2)问，先对给定的方程$x^2 +mx +m -1=0$因式分解，直接得到两个根的表达式，再根据“隔根方程”的要求，列出两根差的绝对值等于2的方程，求解绝对值方程即可得到m的取值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 该方程不是“隔根方程”，理由如下：
对$x^2 -x -20=0$因式分解得：$(x-5)(x+4)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=5$，$x_2=-4$，
计算两根差：$5 - (-4) =9 ≠ 2$，不满足“其中一个根比另一个根大2”的要求，因此该方程不是“隔根方程”。
(2) 对方程$x^2 +mx +m -1=0$因式分解得：
$(x+1)[x+(m-1)]=0$，
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=1-m$，
因为该方程是“隔根方程”，因此两根的差的绝对值为2，即：
$|(1-m) - (-1)| = 2$，
化简得$|2 - m| = 2$，
去绝对值得：$2 - m = 2$ 或 $2 - m = -2$，
解得$m=0$ 或 $m=4$。
【答案】
(1) 不是，理由见解析；(2) $m$的值为0或4
【知识点】
一元二次方程求解；新定义应用；绝对值方程
【点评】
本题属于新定义类的一元二次方程基础题型，解题关键是准确抓取“隔根方程”的核心特征：两根差的绝对值为2，优先使用因式分解法求解方程可以大幅简化计算，列等式时注意给两根的差值添加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7

12. (2025·苏州期中)定义:已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$,若满足$|x_1· x_2|=|x_1-x_2|$,则称此类方程为“积差方程”.
例如,$x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$,即$(x-\dfrac{1}{2})(x-1)=0$,解得$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$,
$\because\left|1×\dfrac{1}{2}\right|=\left|1-\dfrac{1}{2}\right|,\therefore x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$是“积差方程”.
(1)下列方程是“积差方程”的是.(填序号)
①$12x^2-7x+1=0$;②$x^2-7x+12=0$.
(2)若关于$x$的方程$x^2+2mx+2m-1=0$是“积差方程”,求$m$的值.

12. (1)①
(2)解:原方程因式分解得$(x+2m-1)(x+1)=0$,
解得$x_{1}=1-2m,x_{2}=-1$.
$\because$关于$x$的方程$x^{2}+2mx+2m-1=0$是“积差方程”,
$\therefore |(1-2m)×(-1)|=|1-2m-(-1)|$,
即$|2m-1|=|2-2m|$,
当$2m-1=2-2m$时,解得$m=\dfrac{3}{4}$,
当$2m-1=-(2-2m)$时,此方程无解,
综上所述,$m$的值为$\dfrac{3}{4}$.

【分析】
首先明确本题核心是理解新定义“积差方程”：有两个实数根的一元二次方程，满足两根乘积的绝对值等于两根差的绝对值。解题思路如下：
1. 第(1)问：分别求解两个备选方程的根，依次计算对应方程的|x₁·x₂|和|x₁-x₂|，对比两者是否相等，即可筛选出符合定义的方程。
2. 第(2)问：先对给定的一元二次方程做因式分解，直接得到两个根，再将根代入“积差方程”的定义等式，得到关于m的绝对值方程，分两种情况去掉绝对值求解，排除矛盾的无效解，最终得到m的取值。
【解析】
(1) 验证两个方程：
① 对$12x^2-7x+1=0$因式分解得$(3x-1)(4x-1)=0$，解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{1}{4}$，
计算得$|x_1· x_2|=|\frac{1}{3}×\frac{1}{4}|=\frac{1}{12}$，$|x_1-x_2|=|\frac{1}{3}-\frac{1}{4}|=\frac{1}{12}$，满足$|x_1· x_2|=|x_1-x_2|$，因此①是“积差方程”。
② 对$x^2-7x+12=0$因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3,x_2=4$，
计算得$|x_1· x_2|=|3×4|=12$，$|x_1-x_2|=|3-4|=1$，$12≠1$，不满足定义，因此②不是“积差方程”。
所以第(1)问答案为①。
(2) 求解关于m的值：
对原方程$x^2+2mx+2m-1=0$十字相乘因式分解，得$(x+2m-1)(x+1)=0$，
解得两个根为$x_1=1-2m$，$x_2=-1$。
因为该方程是“积差方程”，代入定义得：
$|(1-2m)×(-1)|=|1-2m - (-1)|$，
化简得$|2m-1|=|2-2m|$。
分两种情况讨论：
当$2m-1=2-2m$时，移项得$4m=3$，解得$m=\frac{3}{4}$；
当$2m-1=-(2-2m)$时，展开得$2m-1=-2+2m$，化简后为$-1=-2$，等式不成立，此情况无解。
综上，m的取值为$\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) ①；(2) $m=\dfrac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，绝对值方程
【点评】
本题属于结合新定义的一元二次方程基础题型，重点考察学生对陌生定义的理解迁移能力，解题过程既可以直接求根代入验证，也可以借助韦达定理利用两根和、积的关系推导，绝对值方程的分类讨论是易错点，整体运算门槛低，能很好巩固一元二次方程的基础运算能力。
【难度系数】
0.7