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1.(2025·淮安区月考)若$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（
A.$3x^{2}+2x-1=0$
B.$2x^{2}+4x-1=0$
C.$-x^{2}-2x+3=0$
D.$3x^{2}-2x-1=0$
D
）A.$3x^{2}+2x-1=0$
B.$2x^{2}+4x-1=0$
C.$-x^{2}-2x+3=0$
D.$3x^{2}-2x-1=0$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题的核心是利用一元二次方程的求根公式反推原方程，解题思路很清晰：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要把题目给出的根的表达式和求根公式的结构一一对应，就能快速匹配出a、b、c的取值，也可以通过逐个计算选项的求根公式结果来验证。首先先看分母部分，题目里分母是2×3，对应求根公式的分母2a，就能直接得到a的值，排除a不符合的选项，再依次比对分子的一次项系数部分、根号内的判别式部分，就能锁定正确答案。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$和求根公式逐一比对：
1. 分母部分：$2a=2×3$，可得$a=3$，由此直接排除$a≠3$的选项B（$a=2$）、C（$a=-1$）；
2. 分子的非根号部分：$-b=2$，可得$b=-2$，由此排除$b=2$的选项A；
3. 验证剩余选项D：方程$3x^2-2x-1=0$中，$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，代入判别式得$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2 - 4×3×(-1)=4-4×3×(-1)$，完全和题目中根号内的表达式一致，其求根结果和题目给出的根完全匹配。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题重点考查对一元二次方程求根公式结构的理解，不需要复杂计算，通过参数对应即可快速排除错误选项，也可以将根代入各选项方程验证是否成立，两种方法都能快速得到结果，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是利用一元二次方程的求根公式反推原方程，解题思路很清晰：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要把题目给出的根的表达式和求根公式的结构一一对应，就能快速匹配出a、b、c的取值，也可以通过逐个计算选项的求根公式结果来验证。首先先看分母部分，题目里分母是2×3，对应求根公式的分母2a，就能直接得到a的值，排除a不符合的选项，再依次比对分子的一次项系数部分、根号内的判别式部分，就能锁定正确答案。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$和求根公式逐一比对：
1. 分母部分：$2a=2×3$，可得$a=3$，由此直接排除$a≠3$的选项B（$a=2$）、C（$a=-1$）；
2. 分子的非根号部分：$-b=2$，可得$b=-2$，由此排除$b=2$的选项A；
3. 验证剩余选项D：方程$3x^2-2x-1=0$中，$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，代入判别式得$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2 - 4×3×(-1)=4-4×3×(-1)$，完全和题目中根号内的表达式一致，其求根结果和题目给出的根完全匹配。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题重点考查对一元二次方程求根公式结构的理解，不需要复杂计算，通过参数对应即可快速排除错误选项，也可以将根代入各选项方程验证是否成立，两种方法都能快速得到结果，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
2. 一元二次方程 $x^{2}+x-1=0$ 的解是
$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
.答案
2.$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
拿到这道题后，先观察给定的一元二次方程，它属于标准的$ax^2+bx+c=0$形式，尝试因式分解后发现无法用整数十字相乘分解，因此选择通用的公式法求解。整体解题思路分为三步：第一步先确定方程里二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步将对应数值代入一元二次方程的求根公式，化简后就能得到方程的两个解。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+x-1=0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，
说明该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
因此方程的两个解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考察公式法解一元二次方程的运算能力，解题时要注意代入常数项$c$的取值时不要遗漏负号，避免判别式计算出现符号错误，是初中数学必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
拿到这道题后，先观察给定的一元二次方程，它属于标准的$ax^2+bx+c=0$形式，尝试因式分解后发现无法用整数十字相乘分解，因此选择通用的公式法求解。整体解题思路分为三步：第一步先确定方程里二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步将对应数值代入一元二次方程的求根公式，化简后就能得到方程的两个解。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+x-1=0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$，
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，
说明该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
因此方程的两个解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考察公式法解一元二次方程的运算能力，解题时要注意代入常数项$c$的取值时不要遗漏负号，避免判别式计算出现符号错误，是初中数学必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
3. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-3x-7=0$;
(2)$3x^{2}+1=4x$;
(3)$2x^{2}+x-2=0$;
(4)$3x^{2}+5(2x+1)=0$.
(1)$x^{2}-3x-7=0$;
(2)$3x^{2}+1=4x$;
(3)$2x^{2}+x-2=0$;
(4)$3x^{2}+5(2x+1)=0$.
答案
3.(1)$x_{1}=\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}$
(2)$x_{1}=1$,$x_{2}=\dfrac{1}{3}$
(3)$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(4)$x_{1}=\dfrac{-5+\sqrt{10}}{3}$,$x_{2}=\dfrac{-5-\sqrt{10}}{3}$
(2)$x_{1}=1$,$x_{2}=\dfrac{1}{3}$
(3)$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(4)$x_{1}=\dfrac{-5+\sqrt{10}}{3}$,$x_{2}=\dfrac{-5-\sqrt{10}}{3}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心步骤是：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，注意不要遗漏各项的符号；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断判别式的正负，若$\Delta≥0$则方程有实数根，可代入求根公式计算；③将a、b、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简后即可得到方程的根。本题的4个小题中，第(1)(3)题已经是一般形式，第(2)(4)题需要先通过移项、去括号整理为一般形式，再按上述步骤求解即可。
【解析】
我们按照公式法的步骤逐个求解：
(1) 对于方程$x^2-3x-7=0$：
该方程已经是一般形式，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-7$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-7) = 9 + 28 = 37 ＞ 0$
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{37}}{2}$
因此方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{37}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{37}}{2}$
(2) 对于方程$3x^2+1=4x$：
先移项整理为一般形式：$3x^2 -4x +1 =0$
可得$a=3$，$b=-4$，$c=1$
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 -4×3×1 = 16 -12 =4＞0$
代入求根公式：$x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2×3}=\frac{4\pm2}{6}$
化简得：$x_1=\frac{4+2}{6}=1$，$x_2=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$
(3) 对于方程$2x^2+x-2=0$：
该方程已经是一般形式，可得$a=2$，$b=1$，$c=-2$
计算判别式：$\Delta = 1^2 -4×2×(-2) =1 +16=17＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$
因此方程的根为$x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(4) 对于方程$3x^2+5(2x+1)=0$：
先去括号整理为一般形式：$3x^2 +10x +5 =0$
可得$a=3$，$b=10$，$c=5$
计算判别式：$\Delta =10^2 -4×3×5 =100 -60=40＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-10\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{-10\pm2\sqrt{10}}{6}$，约分后得$x=\frac{-5\pm\sqrt{10}}{3}$
因此方程的根为$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$
【答案】
(1)$x_{1}=\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$，$x_{2}=\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}$
(2)$x_{1}=1$，$x_{2}=\dfrac{1}{3}$
(3)$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(4)$x_{1}=\dfrac{-5+\sqrt{10}}{3}$，$x_{2}=\dfrac{-5-\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，判别式运算，求根公式应用
【点评】
本题是一元二次方程公式法求解的基础练习题，核心易错点是确定a、b、c时容易漏掉各项的负号，计算判别式时符号出错，最后代入求根公式后忘记约分化简，解题时严格按照步骤操作就能避免大部分计算失误。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的核心步骤是：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，注意不要遗漏各项的符号；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断判别式的正负，若$\Delta≥0$则方程有实数根，可代入求根公式计算；③将a、b、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简后即可得到方程的根。本题的4个小题中，第(1)(3)题已经是一般形式，第(2)(4)题需要先通过移项、去括号整理为一般形式，再按上述步骤求解即可。
【解析】
我们按照公式法的步骤逐个求解：
(1) 对于方程$x^2-3x-7=0$：
该方程已经是一般形式，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-7$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-7) = 9 + 28 = 37 ＞ 0$
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{37}}{2}$
因此方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{37}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{37}}{2}$
(2) 对于方程$3x^2+1=4x$：
先移项整理为一般形式：$3x^2 -4x +1 =0$
可得$a=3$，$b=-4$，$c=1$
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 -4×3×1 = 16 -12 =4＞0$
代入求根公式：$x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2×3}=\frac{4\pm2}{6}$
化简得：$x_1=\frac{4+2}{6}=1$，$x_2=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$
(3) 对于方程$2x^2+x-2=0$：
该方程已经是一般形式，可得$a=2$，$b=1$，$c=-2$
计算判别式：$\Delta = 1^2 -4×2×(-2) =1 +16=17＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$
因此方程的根为$x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(4) 对于方程$3x^2+5(2x+1)=0$：
先去括号整理为一般形式：$3x^2 +10x +5 =0$
可得$a=3$，$b=10$，$c=5$
计算判别式：$\Delta =10^2 -4×3×5 =100 -60=40＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-10\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{-10\pm2\sqrt{10}}{6}$，约分后得$x=\frac{-5\pm\sqrt{10}}{3}$
因此方程的根为$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$
【答案】
(1)$x_{1}=\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$，$x_{2}=\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}$
(2)$x_{1}=1$，$x_{2}=\dfrac{1}{3}$
(3)$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}$
(4)$x_{1}=\dfrac{-5+\sqrt{10}}{3}$，$x_{2}=\dfrac{-5-\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，判别式运算，求根公式应用
【点评】
本题是一元二次方程公式法求解的基础练习题，核心易错点是确定a、b、c时容易漏掉各项的负号，计算判别式时符号出错，最后代入求根公式后忘记约分化简，解题时严格按照步骤操作就能避免大部分计算失误。
【难度系数】
0.8
4. 小明在解方程$x^{2}-5x=1$时出现了错误，他的解答过程如下：
$\because a=1,b=-5,c=1$，(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×1=21$，(第二步)
$\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}$，(第三步)
$\therefore x_{1}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2},x_{2}=\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第
(2)写出此题正确的解答过程.
$\because a=1,b=-5,c=1$，(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×1=21$，(第二步)
$\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}$，(第三步)
$\therefore x_{1}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2},x_{2}=\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第
一
步开始出错的，其错误原因是原方程没有化成一般形式,常数项错误
；(2)写出此题正确的解答过程.
答案
4.(1)一 原方程没有化成一般形式,常数项错误
(2)解:$\because a=1$,$b=-5$,$c=-1$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=29$,
$\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{29}}{2}$,$\therefore x_{1}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}$.
(2)解:$\because a=1$,$b=-5$,$c=-1$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=29$,
$\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{29}}{2}$,$\therefore x_{1}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}$.
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程公式法求解的易错点，解题思路如下：首先回忆用求根公式解一元二次方程的前提：必须先将方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，才能正确确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值。我们逐行核对小明的解答过程：原方程是$x^2-5x=1$，并没有整理为右边为0的一般形式，小明直接把右侧的1当作常数项c，得到c=1，显然是错误的，从第一步就出问题了。之后我们按照正确流程，先移项把所有项移到等号左侧，得到一般形式后确定正确的a、b、c，计算判别式，再代入求根公式即可得到正确结果。
【解析】
(1) 小明的解答从第一步就出错了，原方程$x^2-5x=1$没有转化为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，将右侧的1直接当作常数项，正确移项后常数项应为-1，所以错误原因是原方程没有化成一般形式，常数项取值错误。
(2) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$x^2-5x-1=0$，再代入求根公式逐步计算即可：
确定系数$a=1,\ b=-5,\ c=-1$，计算判别式$b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29$，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$即可得到方程的两个根。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式，常数项错误
(2) 解：$\because a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=29$，
$\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，$\therefore x_{1}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_{2}=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础易错题型，核心陷阱是使用求根公式前忽略将方程整理为右侧为0的标准一般形式，容易直接照搬等号右侧的常数当作c，忽略移项后的符号变化，提醒学生使用求根公式前必须先确认方程的一般形式，再准确确定各项系数的取值。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程公式法求解的易错点，解题思路如下：首先回忆用求根公式解一元二次方程的前提：必须先将方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，才能正确确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值。我们逐行核对小明的解答过程：原方程是$x^2-5x=1$，并没有整理为右边为0的一般形式，小明直接把右侧的1当作常数项c，得到c=1，显然是错误的，从第一步就出问题了。之后我们按照正确流程，先移项把所有项移到等号左侧，得到一般形式后确定正确的a、b、c，计算判别式，再代入求根公式即可得到正确结果。
【解析】
(1) 小明的解答从第一步就出错了，原方程$x^2-5x=1$没有转化为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，将右侧的1直接当作常数项，正确移项后常数项应为-1，所以错误原因是原方程没有化成一般形式，常数项取值错误。
(2) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$x^2-5x-1=0$，再代入求根公式逐步计算即可：
确定系数$a=1,\ b=-5,\ c=-1$，计算判别式$b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29$，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$即可得到方程的两个根。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式，常数项错误
(2) 解：$\because a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=29$，
$\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，$\therefore x_{1}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_{2}=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础易错题型，核心陷阱是使用求根公式前忽略将方程整理为右侧为0的标准一般形式，容易直接照搬等号右侧的常数当作c，忽略移项后的符号变化，提醒学生使用求根公式前必须先确认方程的一般形式，再准确确定各项系数的取值。
【难度系数】
0.8
5. 关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根分别为$x_{1}=$$\frac{-b+\sqrt{b^{2}+4}}{2}$,
$\frac{-b-\sqrt{b^{2}+4}}{2},$
下列判断一定正确的是 （
A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=1$
D.$\frac{c}{a}=-1$
$\frac{-b-\sqrt{b^{2}+4}}{2},$下列判断一定正确的是 （
D
）A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=1$
D.$\frac{c}{a}=-1$
答案
5.D
解析
【分析】
这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系推导参数关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的韦达定理，明确两根之积等于$\frac{c}{a}$；接着用平方差公式直接计算题目给出的两个根的乘积，得到具体数值；再将计算结果和韦达定理的结论对应，得到a和c的关系，最后通过举反例逐一排除错误选项，就能得到正确答案，不需要强行求解a、c的具体取值。
【解析】
解：
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}$
1. 计算两根乘积，利用平方差公式化简：
$\begin{aligned}x_1 · x_2&=\frac{(-b+\sqrt{b^2+4})(-b-\sqrt{b^2+4})}{2×2}\\&=\frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2+4})^2}{4}\\&=\frac{b^2 - b^2 -4}{4}\\&=-1\end{aligned}$
2. 根据韦达定理，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因此直接得到$\frac{c}{a}=-1$。
3. 逐一判断选项：
A选项：仅能得到$\frac{c}{a}=-1$，无法确定a的具体值，例如a=1时方程$x^2+bx-1=0$的两根也符合题目形式，a=-1不成立，错误；
B选项：同理无法确定c的具体值，上述例子中c=-1，c=1不成立，错误；
C选项：由$\frac{c}{a}=-1$得c=-a，因此ac=-a²≤0，不可能等于1，错误；
D选项：推导可得$\frac{c}{a}=-1$，正确。
【答案】D
【知识点】
韦达定理，平方差公式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的经典变式题，不需要复杂计算，通过直接计算两根乘积就能快速得到参数关系，用举反例的方式可以快速排除错误选项，能有效考察学生对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系推导参数关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的韦达定理，明确两根之积等于$\frac{c}{a}$；接着用平方差公式直接计算题目给出的两个根的乘积，得到具体数值；再将计算结果和韦达定理的结论对应，得到a和c的关系，最后通过举反例逐一排除错误选项，就能得到正确答案，不需要强行求解a、c的具体取值。
【解析】
解：
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}$
1. 计算两根乘积，利用平方差公式化简：
$\begin{aligned}x_1 · x_2&=\frac{(-b+\sqrt{b^2+4})(-b-\sqrt{b^2+4})}{2×2}\\&=\frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2+4})^2}{4}\\&=\frac{b^2 - b^2 -4}{4}\\&=-1\end{aligned}$
2. 根据韦达定理，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因此直接得到$\frac{c}{a}=-1$。
3. 逐一判断选项：
A选项：仅能得到$\frac{c}{a}=-1$，无法确定a的具体值，例如a=1时方程$x^2+bx-1=0$的两根也符合题目形式，a=-1不成立，错误；
B选项：同理无法确定c的具体值，上述例子中c=-1，c=1不成立，错误；
C选项：由$\frac{c}{a}=-1$得c=-a，因此ac=-a²≤0，不可能等于1，错误；
D选项：推导可得$\frac{c}{a}=-1$，正确。
【答案】D
【知识点】
韦达定理，平方差公式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的经典变式题，不需要复杂计算，通过直接计算两根乘积就能快速得到参数关系，用举反例的方式可以快速排除错误选项，能有效考察学生对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
