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6. (2025·海州区月考)方程$x+y=x^{2}-xy+y^{2}+1$的实数解为
$x=1$,$y=1$
.答案
6.$x=1$,$y=1$
解析
【分析】
这是一个二元二次的不定方程，常规的消元法无法直接求解，我们可以利用实数范围内完全平方的非负性来破题：首先将原方程所有项移到等号左侧，为了方便凑出多个完全平方式，我们给整理后的等式两边同乘2，再对各项拆分重组，把方程转化为若干个非负的完全平方相加等于0的形式，根据“几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”的性质，得到关于x、y的一次方程组，解方程组即可得到唯一的实数解。
【解析】
解：将原方程$x+y=x^2-xy+y^2+1$移项，整理得：
$x^2 - xy + y^2 - x - y + 1 = 0$
等式两边同时乘以2，得：
$2x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x - 2y + 2 = 0$
将左侧各项拆分重组，凑完全平方：
$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 0$
即：
$(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = 0$
因为x、y为实数，完全平方具有非负性，因此：
$(x-y)^2 ≥ 0,\quad (x-1)^2 ≥ 0,\quad (y-1)^2 ≥ 0$
三个非负数的和为0，说明每一项都为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y = 0 \\x - 1 = 0 \\y - 1 = 0\end{cases}$
解得$x=1$，$y=1$。
【答案】
$x=1$，$y=1$
【知识点】
完全平方公式，非负数性质
【点评】
本题考查配方法求解二元二次方程，没有常规的直接求解路径，核心难点是主动给等式乘2来拆分凑出三个完全平方式，利用平方非负性实现降次，将高次不定方程转化为可直接求解的一次方程组，是配方法在代数中非常典型的应用，对学生的代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
这是一个二元二次的不定方程，常规的消元法无法直接求解，我们可以利用实数范围内完全平方的非负性来破题：首先将原方程所有项移到等号左侧，为了方便凑出多个完全平方式，我们给整理后的等式两边同乘2，再对各项拆分重组，把方程转化为若干个非负的完全平方相加等于0的形式，根据“几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”的性质，得到关于x、y的一次方程组，解方程组即可得到唯一的实数解。
【解析】
解：将原方程$x+y=x^2-xy+y^2+1$移项，整理得：
$x^2 - xy + y^2 - x - y + 1 = 0$
等式两边同时乘以2，得：
$2x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x - 2y + 2 = 0$
将左侧各项拆分重组，凑完全平方：
$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 0$
即：
$(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = 0$
因为x、y为实数，完全平方具有非负性，因此：
$(x-y)^2 ≥ 0,\quad (x-1)^2 ≥ 0,\quad (y-1)^2 ≥ 0$
三个非负数的和为0，说明每一项都为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y = 0 \\x - 1 = 0 \\y - 1 = 0\end{cases}$
解得$x=1$，$y=1$。
【答案】
$x=1$，$y=1$
【知识点】
完全平方公式，非负数性质
【点评】
本题考查配方法求解二元二次方程，没有常规的直接求解路径，核心难点是主动给等式乘2来拆分凑出三个完全平方式，利用平方非负性实现降次，将高次不定方程转化为可直接求解的一次方程组，是配方法在代数中非常典型的应用，对学生的代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
7. 若$a^{2}+5ab-b^{2}=0$，且$ab ≠ 0$，则$\dfrac{a}{b}$的值为
$-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{\sqrt{29}}{2}$
.答案
7.$-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{\sqrt{29}}{2}$
解析
【分析】
我们的目标是求$\dfrac{a}{b}$的值，已知条件给出$ab ≠ 0$，说明$a$、$b$均不为0，$\dfrac{a}{b}$有意义。解题时可以利用等式的性质，将原式两边同时除以不为0的$b^2$，直接构造出只含$\dfrac{a}{b}$的式子，再通过换元将其转化为标准的一元二次方程，最后用求根公式求解即可，不需要分别计算出$a$和$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
已知$a^{2}+5ab-b^{2}=0$，且$ab ≠ 0$，因此$b ≠ 0$，将等式两边同时除以$b^2$，可得：
$\frac{a^2}{b^2} + 5·\frac{ab}{b^2} - \frac{b^2}{b^2} = 0$
整理得：
$(\frac{a}{b})^2 + 5·\frac{a}{b} - 1 = 0$
设$t = \frac{a}{b}$，则方程转化为：
$t^2 +5t -1 = 0$
该一元二次方程的二次项系数$A=1$，一次项系数$B=5$，常数项$C=-1$，计算判别式：
$\Delta = B^2 -4AC = 5^2 -4×1×(-1) = 25 +4 =29＞0$
由一元二次方程求根公式$t=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$，代入得：
$t = \frac{-5\pm\sqrt{29}}{2} = -\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$
即$\dfrac{a}{b}$的值为$-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
等式的性质，换元法，一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于齐次式代数变形的基础题型，核心思路是直接围绕目标式进行构造，避免了分别求解a、b的冗余运算，重点考察学生对代数变形技巧的灵活掌握，整体运算难度不高，只要想到通过除以$b^2$构造目标式即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
我们的目标是求$\dfrac{a}{b}$的值，已知条件给出$ab ≠ 0$，说明$a$、$b$均不为0，$\dfrac{a}{b}$有意义。解题时可以利用等式的性质，将原式两边同时除以不为0的$b^2$，直接构造出只含$\dfrac{a}{b}$的式子，再通过换元将其转化为标准的一元二次方程，最后用求根公式求解即可，不需要分别计算出$a$和$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
已知$a^{2}+5ab-b^{2}=0$，且$ab ≠ 0$，因此$b ≠ 0$，将等式两边同时除以$b^2$，可得：
$\frac{a^2}{b^2} + 5·\frac{ab}{b^2} - \frac{b^2}{b^2} = 0$
整理得：
$(\frac{a}{b})^2 + 5·\frac{a}{b} - 1 = 0$
设$t = \frac{a}{b}$，则方程转化为：
$t^2 +5t -1 = 0$
该一元二次方程的二次项系数$A=1$，一次项系数$B=5$，常数项$C=-1$，计算判别式：
$\Delta = B^2 -4AC = 5^2 -4×1×(-1) = 25 +4 =29＞0$
由一元二次方程求根公式$t=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$，代入得：
$t = \frac{-5\pm\sqrt{29}}{2} = -\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$
即$\dfrac{a}{b}$的值为$-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
等式的性质，换元法，一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于齐次式代数变形的基础题型，核心思路是直接围绕目标式进行构造，避免了分别求解a、b的冗余运算，重点考察学生对代数变形技巧的灵活掌握，整体运算难度不高，只要想到通过除以$b^2$构造目标式即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
8. 新定义 对实数 $a,b$ 定义运算“$*$”：$a*b=\begin{cases} a^{2}-ab(a＞b),\\ b^{a}(a≤ b), \end{cases}$ 则满足 $x*2=\dfrac{1}{4}$ 的 $x$ 的值为
$-2$或$\dfrac{2+\sqrt{5}}{2}$
.答案
8.$-2$或$\dfrac{2+\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
这是一道分段新定义运算题型，核心解题思路是按照定义的分段规则分情况讨论：首先明确等式x*2中对应运算的参数a=x、b=2，根据定义的两个分支，分别讨论x＞2和x≤2两种场景，将对应分支的运算表达式代入等式x*2=1/4，分别解方程后，检验所得解是否符合当前讨论场景的取值前提，舍去不符合的增根，最终汇总所有符合要求的x值即可。
【解析】
解：根据新定义的分段运算规则，分两种情况讨论：
① 当x＞2时，满足a＞b的条件，代入运算式$a^2-ab$得：
$x^2 - 2x = \frac{1}{4}$
整理为标准一元二次方程：$x^2 - 2x - \frac{1}{4}=0$
代入求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$（其中A=1，B=-2，C=-1/4），计算得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{4+1}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{5}}{2}$
对两个根进行校验：$x_1=\frac{2+\sqrt{5}}{2}\approx2.118＞2$，符合x＞2的前提；$x_2=\frac{2-\sqrt{5}}{2}\approx-0.118＜2$，不符合x＞2的前提，舍去该根。
② 当x≤2时，满足a≤b的条件，代入运算式$b^a$得：
$2^x=\frac{1}{4}$
由于$\frac{1}{4}=2^{-2}$，根据同底数幂相等则指数相等的性质，解得x=-2，显然-2≤2，符合该场景的取值前提。
综上，满足条件的x的值为-2或$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$-2$或$\dfrac{2+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算，分类讨论，一元二次方程求解
【点评】
本题是新定义结合分段运算的典型考题，易错点集中在两个方面：一是容易遗漏x＞2的分支场景，只得到x=-2一个解；二是求解后忘记校验解是否符合对应分支的取值前提，引入增根。解题时要严格按照分段边界拆分讨论场景，完成求解后逐一校验解的合法性，避免漏解错解。
【难度系数】
0.4
这是一道分段新定义运算题型，核心解题思路是按照定义的分段规则分情况讨论：首先明确等式x*2中对应运算的参数a=x、b=2，根据定义的两个分支，分别讨论x＞2和x≤2两种场景，将对应分支的运算表达式代入等式x*2=1/4，分别解方程后，检验所得解是否符合当前讨论场景的取值前提，舍去不符合的增根，最终汇总所有符合要求的x值即可。
【解析】
解：根据新定义的分段运算规则，分两种情况讨论：
① 当x＞2时，满足a＞b的条件，代入运算式$a^2-ab$得：
$x^2 - 2x = \frac{1}{4}$
整理为标准一元二次方程：$x^2 - 2x - \frac{1}{4}=0$
代入求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$（其中A=1，B=-2，C=-1/4），计算得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{4+1}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{5}}{2}$
对两个根进行校验：$x_1=\frac{2+\sqrt{5}}{2}\approx2.118＞2$，符合x＞2的前提；$x_2=\frac{2-\sqrt{5}}{2}\approx-0.118＜2$，不符合x＞2的前提，舍去该根。
② 当x≤2时，满足a≤b的条件，代入运算式$b^a$得：
$2^x=\frac{1}{4}$
由于$\frac{1}{4}=2^{-2}$，根据同底数幂相等则指数相等的性质，解得x=-2，显然-2≤2，符合该场景的取值前提。
综上，满足条件的x的值为-2或$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$-2$或$\dfrac{2+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算，分类讨论，一元二次方程求解
【点评】
本题是新定义结合分段运算的典型考题，易错点集中在两个方面：一是容易遗漏x＞2的分支场景，只得到x=-2一个解；二是求解后忘记校验解是否符合对应分支的取值前提，引入增根。解题时要严格按照分段边界拆分讨论场景，完成求解后逐一校验解的合法性，避免漏解错解。
【难度系数】
0.4
9.若一元二次方程$x^{2}+bx+4=0$的两个实数根中较小的一个根是$m(m ≠ 0)$，则$b+\sqrt{b^{2}-16}=$
$-2m$
.(用含$m$的代数式表示)答案
9.$-2m$
解析
【分析】
我们先梳理已知条件：题目给出一元二次方程有两个实数根，且较小的实根为m。首先回忆一元二次方程的求根公式，该方程的两个根可以用含b的表达式写出，两个根中更小的根必然是求根公式里分子取减号的那一个，我们直接把较小根m和这个表达式划等号，再对等式做移项变形，就能直接得到目标代数式b+√(b²-16)的结果，不需要额外求解b的取值，大幅简化运算。
【解析】
解：
1. 计算方程的判别式
对于方程$x^2 + bx +4=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=4$，可得判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 16$
由题可知方程存在两个实数根，因此$\Delta = b^2 -16 ≥ 0$，满足求根公式的使用条件。
2. 写出方程的两个根
根据一元二次方程求根公式，方程的两个根为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -16}}{2}$
3. 匹配较小根的对应表达式
对比两个根的大小：$\frac{-b - \sqrt{b^2 -16}}{2} ＜ \frac{-b + \sqrt{b^2 -16}}{2}$，因此题目给出的较小根$m$满足：
$m = \frac{-b - \sqrt{b^2 -16}}{2}$
4. 等式变形推导目标式
将上述等式两边同时乘以2，得：
$2m = -b - \sqrt{b^2 -16}$
对等式做移项整理，将右侧的含b的项移到左侧、2m移到右侧，最终可得：
$b + \sqrt{b^2 -16} = -2m$
【答案】
$-2m$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题考察对一元二次方程求根公式的灵活运用，不需要通过韦达定理等方式求解b的复杂表达式，直接匹配较小根对应的求根公式形式，通过简单的移项变形即可得到结果，解题时需要注意区分两个根的大小，不要选错求根公式里的加减符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
我们先梳理已知条件：题目给出一元二次方程有两个实数根，且较小的实根为m。首先回忆一元二次方程的求根公式，该方程的两个根可以用含b的表达式写出，两个根中更小的根必然是求根公式里分子取减号的那一个，我们直接把较小根m和这个表达式划等号，再对等式做移项变形，就能直接得到目标代数式b+√(b²-16)的结果，不需要额外求解b的取值，大幅简化运算。
【解析】
解：
1. 计算方程的判别式
对于方程$x^2 + bx +4=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=4$，可得判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 16$
由题可知方程存在两个实数根，因此$\Delta = b^2 -16 ≥ 0$，满足求根公式的使用条件。
2. 写出方程的两个根
根据一元二次方程求根公式，方程的两个根为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -16}}{2}$
3. 匹配较小根的对应表达式
对比两个根的大小：$\frac{-b - \sqrt{b^2 -16}}{2} ＜ \frac{-b + \sqrt{b^2 -16}}{2}$，因此题目给出的较小根$m$满足：
$m = \frac{-b - \sqrt{b^2 -16}}{2}$
4. 等式变形推导目标式
将上述等式两边同时乘以2，得：
$2m = -b - \sqrt{b^2 -16}$
对等式做移项整理，将右侧的含b的项移到左侧、2m移到右侧，最终可得：
$b + \sqrt{b^2 -16} = -2m$
【答案】
$-2m$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题考察对一元二次方程求根公式的灵活运用，不需要通过韦达定理等方式求解b的复杂表达式，直接匹配较小根对应的求根公式形式，通过简单的移项变形即可得到结果，解题时需要注意区分两个根的大小，不要选错求根公式里的加减符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
10. 用公式法解下列方程：
(1)$3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$；
(2)$(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$；
(3)$(x+3)^2=2x+7$；
(4)$3x^2-2x-3=-2(x-2)^2$。
(1)$3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$；
(2)$(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$；
(3)$(x+3)^2=2x+7$；
(4)$3x^2-2x-3=-2(x-2)^2$。
答案
10.(1)$x_{1}=\dfrac{9+\sqrt{73}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{9-\sqrt{73}}{2}$
(2)$x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$,$x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3)$x_{1}=-2+\sqrt{2}$,$x_{2}=-2-\sqrt{2}$
(4)$x_{1}=x_{2}=1$
(2)$x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$,$x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3)$x_{1}=-2+\sqrt{2}$,$x_{2}=-2-\sqrt{2}$
(4)$x_{1}=x_{2}=1$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路是严格遵循标准步骤求解：第一步，先将原方程的括号展开，通过移项、合并同类项，整理成一元二次方程的标准一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），这一步是后续计算不出错的前提；第二步，准确识别二次项系数a、一次项系数b、常数项c的数值，注意不要漏带符号；第三步，计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，验证$\Delta≥0$确认方程有实数根；第四步，将a、b、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简后得到方程的根。本题的4个小问都按照这个流程依次求解即可。
【解析】
我们按照公式法的标准步骤逐个求解方程：
(1) 先整理方程$3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$：
展开两边括号：左边为$3x^2-9x$，右边为$2(x^2-1)=2x^2-2$
移项合并同类项，将所有项移到左边得：$3x^2-9x-2x^2+2=0$，化简为一般式：$x^2-9x+2=0$
可得$a=1$，$b=-9$，$c=2$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-9)^2 - 4×1×2 = 81-8=73＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$
因此得$x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$
(2) 整理方程$(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$：
左边展开得$x^2-1$，移项得一般式：$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$
可得$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 -4×1×(-1)=8+4=12＞0$
代入求根公式：$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$
因此得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3) 整理方程$(x+3)^2=2x+7$：
左边展开得$x^2+6x+9$，移项合并同类项：$x^2+6x+9-2x-7=0$，化简为一般式：$x^2+4x+2=0$
可得$a=1$，$b=4$，$c=2$
计算判别式：$\Delta=4^2-4×1×2=16-8=8＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{2}}{2}=-2\pm\sqrt{2}$
因此得$x_1=-2+\sqrt{2}$，$x_2=-2-\sqrt{2}$
(4) 整理方程$3x^2-2x-3=-2(x-2)^2$：
右边展开得$-2(x^2-4x+4)=-2x^2+8x-8$，移项合并同类项：$3x^2-2x-3+2x^2-8x+8=0$，化简为一般式：$5x^2-10x+5=0$，两边同时除以5简化得$x^2-2x+1=0$
可得$a=1$，$b=-2$，$c=1$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$
代入求根公式：$x=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2×1}=1$，因此方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=1$
【答案】
(1)$x_{1}=\dfrac{9+\sqrt{73}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{9-\sqrt{73}}{2}$
(2)$x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$,$x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3)$x_{1}=-2+\sqrt{2}$,$x_{2}=-2-\sqrt{2}$
(4)$x_{1}=x_{2}=1$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程公式法求解的基础训练题，重点考察学生对公式法求解流程的掌握，易错点是展开括号移项时符号出错，误将a、b、c的数值带错符号，同时也考察了判别式为0时方程有两个相等实数根的情况，训练学生养成先整理一般式再代入公式的良好解题习惯。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的核心思路是严格遵循标准步骤求解：第一步，先将原方程的括号展开，通过移项、合并同类项，整理成一元二次方程的标准一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），这一步是后续计算不出错的前提；第二步，准确识别二次项系数a、一次项系数b、常数项c的数值，注意不要漏带符号；第三步，计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，验证$\Delta≥0$确认方程有实数根；第四步，将a、b、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简后得到方程的根。本题的4个小问都按照这个流程依次求解即可。
【解析】
我们按照公式法的标准步骤逐个求解方程：
(1) 先整理方程$3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$：
展开两边括号：左边为$3x^2-9x$，右边为$2(x^2-1)=2x^2-2$
移项合并同类项，将所有项移到左边得：$3x^2-9x-2x^2+2=0$，化简为一般式：$x^2-9x+2=0$
可得$a=1$，$b=-9$，$c=2$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-9)^2 - 4×1×2 = 81-8=73＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$
因此得$x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$
(2) 整理方程$(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$：
左边展开得$x^2-1$，移项得一般式：$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$
可得$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta=(-2\sqrt{2})^2 -4×1×(-1)=8+4=12＞0$
代入求根公式：$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$
因此得$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3) 整理方程$(x+3)^2=2x+7$：
左边展开得$x^2+6x+9$，移项合并同类项：$x^2+6x+9-2x-7=0$，化简为一般式：$x^2+4x+2=0$
可得$a=1$，$b=4$，$c=2$
计算判别式：$\Delta=4^2-4×1×2=16-8=8＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{2}}{2}=-2\pm\sqrt{2}$
因此得$x_1=-2+\sqrt{2}$，$x_2=-2-\sqrt{2}$
(4) 整理方程$3x^2-2x-3=-2(x-2)^2$：
右边展开得$-2(x^2-4x+4)=-2x^2+8x-8$，移项合并同类项：$3x^2-2x-3+2x^2-8x+8=0$，化简为一般式：$5x^2-10x+5=0$，两边同时除以5简化得$x^2-2x+1=0$
可得$a=1$，$b=-2$，$c=1$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$
代入求根公式：$x=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2×1}=1$，因此方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=1$
【答案】
(1)$x_{1}=\dfrac{9+\sqrt{73}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{9-\sqrt{73}}{2}$
(2)$x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$,$x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(3)$x_{1}=-2+\sqrt{2}$,$x_{2}=-2-\sqrt{2}$
(4)$x_{1}=x_{2}=1$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程公式法求解的基础训练题，重点考察学生对公式法求解流程的掌握，易错点是展开括号移项时符号出错，误将a、b、c的数值带错符号，同时也考察了判别式为0时方程有两个相等实数根的情况，训练学生养成先整理一般式再代入公式的良好解题习惯。
【难度系数】
0.7
11. 已知一个三角形两边的长分别为 3 和 6,第三边的长是方程 $x^{2}-13x+36=0$ 的根,求这个三角形的周长.
答案
11. 解:方程$x^{2}-13x+36=0$的根为
$x=\dfrac{13\pm\sqrt{13^{2}-4×1×36}}{2×1}=\dfrac{13\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{13\pm5}{2}$,
解得$x=4$或$x=9$.
当$x=4$时,三角形的三边长分别为3,4,6,能构成三角形,周长为$3+4+6=13$;
当$x=9$时,三角形的三边长分别为3,6,9,因为$3+6=9$,不能构成三角形,所以舍去.
综上所述,这个三角形的周长为13.
$x=\dfrac{13\pm\sqrt{13^{2}-4×1×36}}{2×1}=\dfrac{13\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{13\pm5}{2}$,
解得$x=4$或$x=9$.
当$x=4$时,三角形的三边长分别为3,4,6,能构成三角形,周长为$3+4+6=13$;
当$x=9$时,三角形的三边长分别为3,6,9,因为$3+6=9$,不能构成三角形,所以舍去.
综上所述,这个三角形的周长为13.
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分成三步：第一步先解给出的一元二次方程，得到第三边长的所有可能取值；第二步利用三角形三边的构成规则，对两个候选的第三边长逐一验证，把不能构成三角形的取值排除掉；第三步把符合条件的三边长度相加，算出三角形的周长。这里要特别注意不能直接把方程的根直接当作第三边计算周长，必须先满足三角形的构成条件，避免出现错误。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^{2}-13x+36=0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-13$，常数项$c=36$，代入求根公式：
判别式$\Delta = b^2-4ac = 13^2 - 4×1×36 = 25$
因此$x=\dfrac{13\pm\sqrt{25}}{2×1}=\dfrac{13\pm5}{2}$，解得$x=4$或$x=9$。
2. 验证候选边长是否符合三角形三边关系
当第三边长为4时，三角形三边长为3、4、6，满足任意两边之和大于第三边的要求，可以构成三角形，此时周长为$3+4+6=13$；
当第三边长为9时，三角形三边长为3、6、9，此时$3+6=9$，不满足“两边之和大于第三边”的三角形构成条件，无法构成三角形，因此舍去该取值。
综上得到符合要求的三角形周长。
【答案】这个三角形的周长为13
【知识点】一元二次方程求解，三角形三边关系
【点评】本题属于三角形边长计算的常规基础题，最容易出错的地方是解出方程的根之后，忘记用三角形三边关系做检验，直接把所有候选边长代入计算周长，同学们遇到涉及三角形边长的问题，得到边长候选值后一定要先验证三边合法性，排除无效取值。
【难度系数】0.7
这道题的解题思路可以分成三步：第一步先解给出的一元二次方程，得到第三边长的所有可能取值；第二步利用三角形三边的构成规则，对两个候选的第三边长逐一验证，把不能构成三角形的取值排除掉；第三步把符合条件的三边长度相加，算出三角形的周长。这里要特别注意不能直接把方程的根直接当作第三边计算周长，必须先满足三角形的构成条件，避免出现错误。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^{2}-13x+36=0$
这里二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-13$，常数项$c=36$，代入求根公式：
判别式$\Delta = b^2-4ac = 13^2 - 4×1×36 = 25$
因此$x=\dfrac{13\pm\sqrt{25}}{2×1}=\dfrac{13\pm5}{2}$，解得$x=4$或$x=9$。
2. 验证候选边长是否符合三角形三边关系
当第三边长为4时，三角形三边长为3、4、6，满足任意两边之和大于第三边的要求，可以构成三角形，此时周长为$3+4+6=13$；
当第三边长为9时，三角形三边长为3、6、9，此时$3+6=9$，不满足“两边之和大于第三边”的三角形构成条件，无法构成三角形，因此舍去该取值。
综上得到符合要求的三角形周长。
【答案】这个三角形的周长为13
【知识点】一元二次方程求解，三角形三边关系
【点评】本题属于三角形边长计算的常规基础题，最容易出错的地方是解出方程的根之后，忘记用三角形三边关系做检验，直接把所有候选边长代入计算周长，同学们遇到涉及三角形边长的问题，得到边长候选值后一定要先验证三边合法性，排除无效取值。
【难度系数】0.7
12. 阅读理解 阅读下面的例题：
解方程:$x^{2}-|x|-2=0.$
解:当$x ≥ 0$时,原方程化为$x^{2}-x-2=0,$
解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$(不合题意,舍去).
当$x＜0$时,原方程化为$x^{2}+x-2=0,$
解得$x_{1}=-2$,$x_{2}=1$(不合题意,舍去).
综上,原方程的根是$x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.
请参照例题解方程:$x^{2}-|x-3|-3=0.$
解方程:$x^{2}-|x|-2=0.$
解:当$x ≥ 0$时,原方程化为$x^{2}-x-2=0,$
解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$(不合题意,舍去).
当$x＜0$时,原方程化为$x^{2}+x-2=0,$
解得$x_{1}=-2$,$x_{2}=1$(不合题意,舍去).
综上,原方程的根是$x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.
请参照例题解方程:$x^{2}-|x-3|-3=0.$
答案
12. 解:当$x≥3$时,原方程化为$x^{2}-x=0$,
解得$x_{1}=0$,$x_{2}=1$(均不合题意,舍去).
当$x＜3$时,原方程化为$x^{2}+x-6=0$,
解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-3$.
综上所述,原方程的根为$x_{1}=2$,$x_{2}=-3$.
解得$x_{1}=0$,$x_{2}=1$(均不合题意,舍去).
当$x＜3$时,原方程化为$x^{2}+x-6=0$,
解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-3$.
综上所述,原方程的根为$x_{1}=2$,$x_{2}=-3$.
解析
【分析】
这道题是带绝对值的一元二次方程，解题思路可直接参照给出的例题：首先找到绝对值内表达式x-3的零点x=3，以此为分界点分两种情况讨论：①当绝对值内的式子非负即x≥3时，|x-3|=x-3，去掉绝对值将原方程转化为普通一元二次方程求解，得到的解需要满足x≥3的前提，不符合的舍去；②当绝对值内的式子为负即x＜3时，|x-3|=-(x-3)，同样去掉绝对值转化为普通一元二次方程求解，得到的解验证是否满足x＜3的前提，保留符合条件的解，最后汇总所有有效根即可。
【解析】
解：根据绝对值的性质，以x=3为分界点分两种情况讨论：
1. 当$x≥3$时，$x-3≥0$，因此$|x-3|=x-3$，代入原方程得：
$x^2 - (x-3) - 3 = 0$
化简得：$x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=1$，两个解都小于3，不符合$x≥3$的前提，全部舍去。
2. 当$x＜3$时，$x-3＜0$，因此$|x-3|=-(x-3)=-x+3$，代入原方程得：
$x^2 - (-x+3) - 3 = 0$
化简得：$x^2 + x -6 =0$
因式分解得：$(x+3)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-3$，两个解都小于3，符合$x＜3$的前提，全部保留。
综上得到原方程的所有有效根。
【答案】
原方程的根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-3$
【知识点】
1. 绝对值化简
2. 一元二次方程求解
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于模仿型阅读理解题，核心考察学生对绝对值性质的掌握和分类讨论的逻辑严谨性，易错点是去绝对值时符号处理错误，或是求解后忘记验证解是否符合当前讨论的取值范围，导致出现增根，解题时要严格按照绝对值的分段规则逐步运算，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
这道题是带绝对值的一元二次方程，解题思路可直接参照给出的例题：首先找到绝对值内表达式x-3的零点x=3，以此为分界点分两种情况讨论：①当绝对值内的式子非负即x≥3时，|x-3|=x-3，去掉绝对值将原方程转化为普通一元二次方程求解，得到的解需要满足x≥3的前提，不符合的舍去；②当绝对值内的式子为负即x＜3时，|x-3|=-(x-3)，同样去掉绝对值转化为普通一元二次方程求解，得到的解验证是否满足x＜3的前提，保留符合条件的解，最后汇总所有有效根即可。
【解析】
解：根据绝对值的性质，以x=3为分界点分两种情况讨论：
1. 当$x≥3$时，$x-3≥0$，因此$|x-3|=x-3$，代入原方程得：
$x^2 - (x-3) - 3 = 0$
化简得：$x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=1$，两个解都小于3，不符合$x≥3$的前提，全部舍去。
2. 当$x＜3$时，$x-3＜0$，因此$|x-3|=-(x-3)=-x+3$，代入原方程得：
$x^2 - (-x+3) - 3 = 0$
化简得：$x^2 + x -6 =0$
因式分解得：$(x+3)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-3$，两个解都小于3，符合$x＜3$的前提，全部保留。
综上得到原方程的所有有效根。
【答案】
原方程的根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-3$
【知识点】
1. 绝对值化简
2. 一元二次方程求解
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于模仿型阅读理解题，核心考察学生对绝对值性质的掌握和分类讨论的逻辑严谨性，易错点是去绝对值时符号处理错误，或是求解后忘记验证解是否符合当前讨论的取值范围，导致出现增根，解题时要严格按照绝对值的分段规则逐步运算，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
