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9. 奥地利数学家皮克曾经发现一个计算点阵中多边形面积的公式:$S=a+kb-1$,其中$a$表示多边形内部的点数,$b$表示多边形边界上的点数,不过,他忘了$k$的值.请你运用下面的图形解决问题,下列图形中由四个相邻点围成的正方形的面积是1.
(1) 计算图1中正方形的面积,并求$k$的值;
(2) 利用面积公式,求出图2、图3的多边形的面积.
(1) 计算图1中正方形的面积,并求$k$的值;
(2) 利用面积公式,求出图2、图3的多边形的面积.
答案
9. 解:(1) 由题图可知,题图 1 中正方形的边长为 3,所以面积为 $3×3=9$. 在 $S=a+kb-1$ 中,对应的 $a=4$,$b=12$,所以 $9=4+12k-1$,解得 $k=\frac{1}{2}$.
(2) 由题图 2 可得,$a=10$,$b=10$,则 $S=10+\frac{1}{2}×10-1=14$. 由题图 3 可得,$a=5$,$b=11$,则 $S=5+\frac{1}{2}×11-1=\frac{19}{2}$.
(2) 由题图 2 可得,$a=10$,$b=10$,则 $S=10+\frac{1}{2}×10-1=14$. 由题图 3 可得,$a=5$,$b=11$,则 $S=5+\frac{1}{2}×11-1=\frac{19}{2}$.
解析
【分析】
这道题我们可以按逻辑分步求解：第一问要确定公式里的未知参数k，首先我们可以直接通过图1的正方形边长算出它的实际面积，再数出这个正方形对应的内部点数a和边界点数b，把这三个已知量代入给出的S=a+kb-1公式，就能得到关于k的一元一次方程，解出k的值。第二问我们已经得到了完整的皮克公式，只需要分别数出图2、图3对应的内部点数a和边界点数b，代入公式就能直接算出两个多边形的面积。
【解析】
(1) 由题意可知，四个相邻点围成的小正方形面积为1，因此图1中正方形的边长为3，直接计算其面积：
$S = 3×3 = 9$
数出该正方形内部的点数$a=4$，边界上的点数$b=12$，将$S=9$、$a=4$、$b=12$代入公式$S=a+kb-1$：
$9 = 4 + 12k -1$
整理得：$12k = 6$，解得$k=\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得确定后的公式为$S=a+\frac{1}{2}b-1$：
① 对于图2的多边形，数得内部点数$a=10$，边界点数$b=10$，代入公式：
$S=10 + \frac{1}{2}×10 -1 = 10+5-1=14$
② 对于图3的多边形，数得内部点数$a=5$，边界点数$b=11$，代入公式：
$S=5 + \frac{1}{2}×11 -1 = 4 + \frac{11}{2} = \frac{19}{2}$
【答案】
(1) 图1正方形的面积为9，$k=\frac{1}{2}$；(2) 图2的面积为14，图3的面积为$\frac{19}{2}$
【知识点】
待定系数法，皮克定理应用，点阵面积计算
【点评】
本题以数学史中的皮克定理为背景设计探究问题，先通过可直接计算面积的已知图形，用待定系数法确定公式的未知参数，再应用完整公式求解其余图形面积，既考察了一元一次方程的求解能力，也锻炼了学生的读图计数能力，题目设计循序渐进，容易理解。
【难度系数】
0.7
这道题我们可以按逻辑分步求解：第一问要确定公式里的未知参数k，首先我们可以直接通过图1的正方形边长算出它的实际面积，再数出这个正方形对应的内部点数a和边界点数b，把这三个已知量代入给出的S=a+kb-1公式，就能得到关于k的一元一次方程，解出k的值。第二问我们已经得到了完整的皮克公式，只需要分别数出图2、图3对应的内部点数a和边界点数b，代入公式就能直接算出两个多边形的面积。
【解析】
(1) 由题意可知，四个相邻点围成的小正方形面积为1，因此图1中正方形的边长为3，直接计算其面积：
$S = 3×3 = 9$
数出该正方形内部的点数$a=4$，边界上的点数$b=12$，将$S=9$、$a=4$、$b=12$代入公式$S=a+kb-1$：
$9 = 4 + 12k -1$
整理得：$12k = 6$，解得$k=\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得确定后的公式为$S=a+\frac{1}{2}b-1$：
① 对于图2的多边形，数得内部点数$a=10$，边界点数$b=10$，代入公式：
$S=10 + \frac{1}{2}×10 -1 = 10+5-1=14$
② 对于图3的多边形，数得内部点数$a=5$，边界点数$b=11$，代入公式：
$S=5 + \frac{1}{2}×11 -1 = 4 + \frac{11}{2} = \frac{19}{2}$
【答案】
(1) 图1正方形的面积为9，$k=\frac{1}{2}$；(2) 图2的面积为14，图3的面积为$\frac{19}{2}$
【知识点】
待定系数法，皮克定理应用，点阵面积计算
【点评】
本题以数学史中的皮克定理为背景设计探究问题，先通过可直接计算面积的已知图形，用待定系数法确定公式的未知参数，再应用完整公式求解其余图形面积，既考察了一元一次方程的求解能力，也锻炼了学生的读图计数能力，题目设计循序渐进，容易理解。
【难度系数】
0.7
10. 如图,第1个多边形由正三角形“扩展”而来,边数记为$a_{3}=12$,第2个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为$a_{4}=20······$以此类推,由正$n$边形“扩展”而来的多边形的边数记为$a_{n}(n ≥ 3)$,则$a_{10}=$
110
.答案
10. 110 提示:根据题意,得 $a_3=12=3×4=3×(3+1)$;$a_4=20=4×5=4×(4+1)$;$a_5=30=5×6=5×(5+1)$;…. 由此发现,$a_n=n(n+1)$,所以 $a_{10}=10×11=110$.
解析
【分析】
我们拿到这道题，首先从题目给出的已知条件入手：已知正三角形扩展得到的$a_3=12$，正方形扩展得到的$a_4=20$，接下来先把这两个数值和对应的$n$值做关联拆解：$n=3$时，12可以写成$3×4$，也就是$3×(3+1)$；$n=4$时，20可以写成$4×5$，也就是$4×(4+1)$。接下来结合后面的图形验证规律：正五边形扩展的图3，按这个规律$a_5$应该是$5×6=30$，正六边形扩展的图4，$a_6=6×7=42$，完全符合图形扩展后边数的变化逻辑，由此就能归纳出$a_n$的通用表达式，最后把$n=10$代入表达式就能算出结果。
【解析】
解：对题中给出的已知项做数值拆解分析：
1. 当$n=3$时，$a_3=12=3×4=3×(3+1)$
2. 当$n=4$时，$a_4=20=4×5=4×(4+1)$
3. 同理可推导后续项：正五边形扩展得$a_5=5×6=30$，正六边形扩展得$a_6=6×7=42$
由此归纳得到通用规律：对$n≥3$，有$a_n = n(n+1)$
将$n=10$代入通项公式，得：
$a_{10}=10×(10+1)=10×11=110$
【答案】110
【知识点】图形规律探究，数列通项归纳
【点评】本题属于基础的图形类规律探究题，解题核心是从特殊已知项的数值特征入手，通过拆分数值关联对应$n$的取值，快速归纳出通用通项，不需要复杂计算，避免硬数图形边数的低效做法即可顺利解题。
【难度系数】0.7
我们拿到这道题，首先从题目给出的已知条件入手：已知正三角形扩展得到的$a_3=12$，正方形扩展得到的$a_4=20$，接下来先把这两个数值和对应的$n$值做关联拆解：$n=3$时，12可以写成$3×4$，也就是$3×(3+1)$；$n=4$时，20可以写成$4×5$，也就是$4×(4+1)$。接下来结合后面的图形验证规律：正五边形扩展的图3，按这个规律$a_5$应该是$5×6=30$，正六边形扩展的图4，$a_6=6×7=42$，完全符合图形扩展后边数的变化逻辑，由此就能归纳出$a_n$的通用表达式，最后把$n=10$代入表达式就能算出结果。
【解析】
解：对题中给出的已知项做数值拆解分析：
1. 当$n=3$时，$a_3=12=3×4=3×(3+1)$
2. 当$n=4$时，$a_4=20=4×5=4×(4+1)$
3. 同理可推导后续项：正五边形扩展得$a_5=5×6=30$，正六边形扩展得$a_6=6×7=42$
由此归纳得到通用规律：对$n≥3$，有$a_n = n(n+1)$
将$n=10$代入通项公式，得：
$a_{10}=10×(10+1)=10×11=110$
【答案】110
【知识点】图形规律探究，数列通项归纳
【点评】本题属于基础的图形类规律探究题，解题核心是从特殊已知项的数值特征入手，通过拆分数值关联对应$n$的取值，快速归纳出通用通项，不需要复杂计算，避免硬数图形边数的低效做法即可顺利解题。
【难度系数】0.7
11.【问题提出】
连接五边形 $ABCDE$ 的五个顶点和它内部的 $n$ 个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得多少个三角形?(不计被分割的三角形)
【问题探究】
为了解决上面的问题,我们将运用归纳的策略,先在若干简单情形中寻找相应的规律.
(1) 如图 1,当五边形内有 1 个点时,可分得
(2) 当五边形内有 2 个点时,可分得多少个三角形? 我们在图 1 五边形$ABCDE$ 的内部再添加 1 个点,这个点的位置会有两种情况:可能在图 1分割成的某个三角形的内部,如图 2所示;也可能在三角形的某条公共边上,如图 3 所示.显然,不管哪种情况,都可分得
(3) 当五边形内有 3 个点时,可分得
【问题解决】
(4) 连接五边形 $ABCDE$ 的五个顶点和它内部的 $n$ 个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得
【拓展延伸】
(5) 若连接六边形的六个顶点和它内部的$m$ 个点,可把六边形区域分割成
连接五边形 $ABCDE$ 的五个顶点和它内部的 $n$ 个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得多少个三角形?(不计被分割的三角形)
【问题探究】
为了解决上面的问题,我们将运用归纳的策略,先在若干简单情形中寻找相应的规律.
(1) 如图 1,当五边形内有 1 个点时,可分得
5
个三角形.(2) 当五边形内有 2 个点时,可分得多少个三角形? 我们在图 1 五边形$ABCDE$ 的内部再添加 1 个点,这个点的位置会有两种情况:可能在图 1分割成的某个三角形的内部,如图 2所示;也可能在三角形的某条公共边上,如图 3 所示.显然,不管哪种情况,都可分得
7
个三角形.(3) 当五边形内有 3 个点时,可分得
9
个三角形. 请在图 4 中画出一种分割示意图.【问题解决】
(4) 连接五边形 $ABCDE$ 的五个顶点和它内部的 $n$ 个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得
(2n+3)
个三角形.【拓展延伸】
(5) 若连接六边形的六个顶点和它内部的$m$ 个点,可把六边形区域分割成
(2m+4)
个互不重叠的三角形.答案
11. (1) 5
(2) 7
(3) 9 提示:画出图形如下,当五边形内有 3 个点时,可分得 $5+2×3-2=9$(个)三角形.
(4) $(2n+3)$ 提示:由(1)可知,当五边形内有 1 个点时,可分得 $5+2×1-2=5$(个)三角形;由(2)可知,当五边形内有 2 个点时,可分得 $5+2×2-2=7$(个)三角形;由(3)可知,当五边形内有 3 个点时,可分得 $5+2×3-2=9$(个)三角形……以此类推,当五边形内有 $n$ 个点时,可分得 $5+2n-2=(2n+3)$个三角形.
(5) $(2m+4)$ 提示:如图 3~7 所示,当六边形内有 1 个点时,可以分得 $6+2×1-2=6$(个)三角形;当六边形内有 2 个点时,可以分得 $6+2×2-2=8$(个)三角形;当六边形内有 3 个点时,可以分得 $6+2×3-2=10$(个)三角形……以此类推,可知当六边形内有 $m$ 个点时,可分得 $6+2m-2=(2m+4)$个三角形.
解析
【分析】
我们可以采用从特殊到一般的归纳思路来解题：首先从内部点数量很少的简单情形入手，先逐个计数对应的三角形个数，观察每新增1个内部点时三角形数量的变化规律——无论新增的点落在已有三角形内部还是三角形的公共边上，都会让三角形的总数量比之前多2个，基于这个增量规律先推导出五边形对应n个内部点的通用公式，再把规律迁移到六边形的场景中即可得到结果。
【解析】
(1) 当五边形内只有1个点时，将该点与五边形的5个顶点依次相连，恰好可以将五边形分割为5个互不重叠的三角形，因此结果为5。
(2) 在已有5个三角形的基础上新增第2个点：
若点落在某一个三角形内部：该点与所在三角形的3个顶点连线，原本的1个三角形会变为3个，总三角形数增加2，即5+2=7；
若点落在两个三角形的公共边上：该点与这条边不相邻的两个顶点连线，原本的2个三角形会变为4个，总三角形数同样增加2，即5+2=7。
因此两种情况最终都可分得7个三角形。
(3) 继续新增第3个点，按照上述同样的增量逻辑，总三角形数在7的基础上再加2，得到7+2=9，分割示意图只要保证所有连线无交点、所有区域均为三角形即可。
(4) 整理前3种情况的数值：
n=1时，三角形数=5=2×1+3；
n=2时，三角形数=7=2×2+3；
n=3时，三角形数=9=2×3+3；
以此类推，五边形内部有n个点时，总三角形数为2n+3。
(5) 迁移规律到六边形：六边形内部有1个点时，将该点与6个顶点相连可得到6个三角形，每新增1个内部点同样会让三角形数增加2，因此m个内部点时，总三角形数为6+2(m-1)=2m+4。
【答案】
(1) 5
(2) 7
(3) 9
(4) $(2n+3)$
(5) $(2m+4)$
【知识点】
平面图形分割，归纳推理，规律探究
【点评】
本题是典型的几何规律探究题，没有直接考察复杂的几何公式，而是引导学生从简单的特殊情形入手，通过观察新增点带来的三角形数量增量，自主归纳出通用规律，同时还要求学生把五边形的探究结论迁移到六边形场景，有效锻炼了学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
我们可以采用从特殊到一般的归纳思路来解题：首先从内部点数量很少的简单情形入手，先逐个计数对应的三角形个数，观察每新增1个内部点时三角形数量的变化规律——无论新增的点落在已有三角形内部还是三角形的公共边上，都会让三角形的总数量比之前多2个，基于这个增量规律先推导出五边形对应n个内部点的通用公式，再把规律迁移到六边形的场景中即可得到结果。
【解析】
(1) 当五边形内只有1个点时，将该点与五边形的5个顶点依次相连，恰好可以将五边形分割为5个互不重叠的三角形，因此结果为5。
(2) 在已有5个三角形的基础上新增第2个点：
若点落在某一个三角形内部：该点与所在三角形的3个顶点连线，原本的1个三角形会变为3个，总三角形数增加2，即5+2=7；
若点落在两个三角形的公共边上：该点与这条边不相邻的两个顶点连线，原本的2个三角形会变为4个，总三角形数同样增加2，即5+2=7。
因此两种情况最终都可分得7个三角形。
(3) 继续新增第3个点，按照上述同样的增量逻辑，总三角形数在7的基础上再加2，得到7+2=9，分割示意图只要保证所有连线无交点、所有区域均为三角形即可。
(4) 整理前3种情况的数值：
n=1时，三角形数=5=2×1+3；
n=2时，三角形数=7=2×2+3；
n=3时，三角形数=9=2×3+3；
以此类推，五边形内部有n个点时，总三角形数为2n+3。
(5) 迁移规律到六边形：六边形内部有1个点时，将该点与6个顶点相连可得到6个三角形，每新增1个内部点同样会让三角形数增加2，因此m个内部点时，总三角形数为6+2(m-1)=2m+4。
【答案】
(1) 5
(2) 7
(3) 9
(4) $(2n+3)$
(5) $(2m+4)$
【知识点】
平面图形分割，归纳推理，规律探究
【点评】
本题是典型的几何规律探究题，没有直接考察复杂的几何公式，而是引导学生从简单的特殊情形入手，通过观察新增点带来的三角形数量增量，自主归纳出通用规律，同时还要求学生把五边形的探究结论迁移到六边形场景，有效锻炼了学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
