1. 四边形 $ABCD$ 内部有 1 000 个点,以顶点$A,B,C,D$ 和这 1 000 个点能把原四边形分割成最多 $n$ 个没有重叠的小三角形,则$n$ 的值为（）

A.2 002
B.2 001
C.2 000
D.1 001

1. A 提示:有 1 个点时,内部分割成 4 个没有重叠的三角形;有 2 个点时,内部最多分割成 $4+2=6$(个)没有重叠的三角形;有 3 个点时,内部最多分割成 $4+2×2=8$(个)没有重叠的三角形;有 4 个点时,内部最多分割成 $4+2×3=10$(个)没有重叠的三角形……所以有 $m$ 个点时,内部最多分割成 $4+2×(m-1)=(2m+2)$个没有重叠的三角形. 故 $n=2×1\ 000+2=2\ 002$.

【分析】
这是一道几何图形分割的计数问题，直接统计1000个点的分割情况显然不现实，我们可以用从特殊到一般的归纳思路推导：
1. 先从内部点数量极少的简单情况入手：四边形内部放第1个点时，将该点和四边形四个顶点相连，最多能得到4个不重叠的小三角形；
2. 后续每新增1个内部点，要让分割出的三角形总数最多，新点必须落在已有的某一个小三角形内部，此时该点和所在三角形的三个顶点相连，会把原本的1个三角形拆成3个，相当于直接新增2个三角形；
3. 基于这个递推关系就能总结出内部点数量和总三角形数的通用公式，代入1000个点的条件即可算出n的结果。
【解析】
我们通过枚举特殊情况推导递推规律：
内部有1个点时，最多分割出4个无重叠小三角形；
内部有2个点时，第二个点落在已有三角形内，新增2个三角形，总三角形数为4+2=6；
内部有3个点时，第三个点同样落在已有三角形内，再新增2个三角形，总三角形数为4+2×2=8；
以此类推，当四边形内部有m个点时，总三角形数的通项公式为：
n=4+2×(m-1)=2m+2将m=1000代入公式，得n=2×1000+2=2002。
【答案】A.2 002
【知识点】图形分割规律，归纳推理
【点评】本题属于典型的规律探究类几何计数题，不需要复杂的几何证明，从少量点的简单场景入手归纳递推关系即可快速求解，也可以通过所有小三角形的内角总和等于原四边形内角和加内部所有点的周角总和来验证结论，进一步确认公式的正确性。
【难度系数】0.7

2. 如图,三角形$ABC$为直角三角形,$∠ C=$$90°$,沿图中虚线剪去$∠ C$,则$∠ 1+∠ 2$的值为（）


A.$315°$
B.$270°$
C.$280°$
D.$156°$

2. B 提示:如图,因为$∠1=180°-∠3$,$∠2=180°-∠4$,且$∠3+∠4=180°-∠C=90°$,所以$∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=360°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°$.

【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：第一步，先根据直角三角形的内角和性质，已知∠C=90°，就能算出△ABC剩下的两个锐角∠A+∠B的和是90°；第二步，观察剪去∠C之后剩下的图形是四边形，回忆四边形的内角和为360°，那么四边形的四个内角就是∠1、∠2、∠A、∠B，用360°减去∠A+∠B的和，就能直接得到∠1+∠2的结果。也可以通过邻补角的性质，结合被剪去的小直角三角形的两个锐角和为90°，推导得到最终结果，两种方法都很容易算出答案。
【解析】
解：方法1：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，三角形内角和为180°
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
剪去∠C后，剩余图形为四边形，根据四边形内角和定理，四边形内角和为360°
∴ ∠1 + ∠2 + ∠A + ∠B = 360°
将∠A+∠B=90°代入，可得：
∠1 + ∠2 = 360° - (∠A + ∠B) = 360° - 90° = 270°
方法2：
设虚线与BC边的夹角为∠3，虚线与AC边的夹角为∠4
∵ 在被剪去的小直角三角形中，∠C=90°
∴ ∠3 + ∠4 = 180° - ∠C = 90°
又
∵ ∠1与∠3互为邻补角，∠2与∠4互为邻补角
∴ ∠1 = 180° - ∠3，∠2 = 180° - ∠4
∴ ∠1 + ∠2 = (180° - ∠3) + (180° - ∠4) = 360° - (∠3 + ∠4) = 360° - 90° = 270°
【答案】
B
【知识点】
直角三角形内角性质，四边形内角和，邻补角性质
【点评】
本题属于多边形内角和相关的基础应用题，解法灵活多样，既可以直接通过剩余四边形的内角和快速计算，也可以结合邻补角和小三角形内角和推导，能够帮助学生巩固三角形、多边形内角和的相关知识点，加深对图形剪切后角度变化规律的理解。
【难度系数】
0.8

3. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线,观察下列图形并阅读相关文字,思考并回答问题:显然,四边形的对角线有2条;五边形的对角线有5条;对于六边形的对角线条数,光靠“数”数,也能数出来,但已感到较麻烦!需寻找规律!从顶点A出发,显然有3条对角线,同理,从顶点B出发也有3条对角线,从每个顶点出发都有3条对角线,但从顶点C出发,就有重复线段!用此方法算出六边形的对角线条数为a,且能归纳出n边形的对角线条数的计算方法.若一个n边形有35条对角线,则a和n的值分别为（）


A.12,10
B.12,12
C.9,10
D.9,12

3. C 提示:从 $n$ 边形的一个顶点出发有$(n-3)$条对角线,$n$ 边形有 $n$ 个顶点,所以共有 $n(n-3)$条对角线. 因为每个顶点都有一条重复的对角线,所以 $n$ 个顶点共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线. 故六边形的对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$,即 $a=9$. 当 $n=10$ 时,对角线的条数是$\frac{10×(10-3)}{2}=35$; 当 $n=12$ 时,对角线的条数是$\frac{12×(12-3)}{2}=54$. 综上可知,$a$ 和 $n$ 的值分别为 9,10.

【分析】
我们可以按照题目提示的思路推导多边形对角线的通用计数公式：首先，n边形的任意一个顶点，不能和自身、以及相邻的2个顶点连接形成对角线，因此从单个顶点出发可引出(n-3)条对角线；n个顶点直接计数的话，每条对角线会被2个顶点各统计一次，存在重复，因此需要将总计数除以2，得到n边形对角线条数的通用公式。先代入n=6算出六边形的对角线条数a，再令对角线条数等于35，代入公式解方程即可求出对应的n值。
【解析】
1. 推导n边形对角线条数公式：
从n边形的任意一个顶点出发，排除自身和相邻的2个顶点，共可引出$(n-3)$条对角线；n个顶点初步统计的对角线总条数为$n(n-3)$，但每条对角线都被两个顶点分别计数了1次，存在重复，因此实际对角线条数需要除以2，得到公式：
$\mathrm{对角线条数}=\frac{n(n-3)}{2}$
2. 计算a的值：
六边形的边数n=6，代入公式得：
$a=\frac{6×(6-3)}{2}=\frac{6×3}{2}=9$
3. 求对角线条数为35时的n值：
令$\frac{n(n-3)}{2}=35$，整理得一元二次方程：
$n^2-3n-70=0$
因式分解得$(n-10)(n+7)=0$，解得$n_1=10$，$n_2=-7$。由于多边形边数为正整数，舍去负数解$n=-7$，得$n=10$。
因此a=9，n=10，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线计数，一元二次方程求解
【点评】
本题属于多边形基础规律推导题，核心易错点是容易忽略对角线被重复计数的问题，忘记除以2导致计算错误，掌握去重计数的逻辑后可以快速得到通用公式，后续同类多边形对角线计数问题都可以直接套用公式求解。
【难度系数】
0.7

4. (泰州市期中)“转化”是数学中的一种重要思想方法,同学们在研究多边形(边数大于3)的内角和度数时,通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决,从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题. 现从某 $n$ 边形 $(n＞3)$ 一边上的一点(不包含端点)出发,依次连接多边形的各个顶点,分割得到的所有三角形的内角和是 $1\ 080°$,则该 $n$ 边形是 （）

A.五边形
B.六边形
C.七边形
D.八边形

4. D 提示:从一个 $n$ 边形的某个顶点出发作对角线,可以把 $n$ 边形分为$(n-2)$个三角形,所以可列方程$(n-2)×180=1\ 080$,解得 $n=8$. 则该 $n$ 边形是八边形.

【分析】
这道题依托转化的数学思想求解多边形的边数，解题思路非常清晰：首先我们已知所有分割得到的三角形内角和总和是1080°，单个三角形的内角和固定为180°，结合多边形内角和的推导结论：从n边形的顶点出发引对角线，可将n边形分割为(n-2)个三角形，n边形的内角和就等于这(n-2)个三角形的内角和总和。我们直接据此列一元一次方程，求解出n的数值，就能判断该多边形的边数，选出正确选项。
【解析】
1. 明确基础结论：三角形的内角和为180°，由分割法推导得到的n边形内角和公式为$(n-2)×180°$。
2. 结合题干条件列方程：题目给出分割得到的所有三角形内角和总和为1080°，即该n边形的内角和等于1080°，因此可得方程：
$(n-2)×180 = 1080$
3. 解方程：
方程两边同时除以180，得到 $n-2 = 6$，移项计算得 $n=8$。
因此该n边形是八边形。
【答案】D
【知识点】多边形内角和公式，一元一次方程应用
【点评】本题结合转化思想考察多边形内角和的基础应用，核心是考察学生对多边形内角和推导逻辑的理解，属于基础概念应用题，只要牢记内角和公式即可快速求解，能帮助学生巩固多边形边数和内角和的对应关系。
【难度系数】0.8

5. 在同一平面内,我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为 $a_1$,三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 $a_2$,四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为$a_3······(n+1)$条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为 $a_n$.若$\dfrac{1}{a_1-1}+\dfrac{1}{a_2-1}+···+\dfrac{1}{a_n-1}=\dfrac{10}{11},则n$的值为（）

A.10
B.11
C.20
D.21

5. C 提示:根据题意,2 条直线最多将平面分成 4 个区域,$a_1=4$;3 条直线最多将平面分成 7 个区域,$a_2=7$;4 条直线最多将平面分成 11 个区域,$a_3=11$;5 条直线最多将平面分成 16 个区域,$a_4=16$……则$a_1-1=3=1+2$,$a_2-1=6=1+2+3$,$a_3-1=10=1+2+3+4$,$a_4-1=15=1+2+3+4+5$,…,所以 $a_n-1=1+2+3+4+5+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$. 所以$\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{a_2-1}+\dots+\frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\dots+\frac{1}{1+2+3+\dots+(n+1)}=\frac{1}{\frac{(1+2)×2}{2}}+\frac{1}{\frac{(1+3)×3}{2}}+\dots+\frac{1}{\frac{(1+n+1)(n+1)}{2}}=2[\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}]=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})=\frac{n}{n+2}$. 因为 $\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{a_2-1}+\dots+\frac{1}{a_n-1}=\frac{10}{11}$,所以 $\frac{n}{n+2}=\frac{10}{11}$,解得 $n=20$.

【分析】
解题可以分三步思考：第一步，先明确题目定义，aₙ是(n+1)条直线两两相交最多划分的平面区域数，先从少量直线的情况入手，算出前几个a₁、a₂、a₃的具体值，找变化规律；第二步，计算aₙ-1的表达式，发现它恰好是从1到n+1的正整数的和，用等差数列求和公式就能得到对应的通项；第三步，把求和式里的每一项做变形，用裂项相消的方法化简左边的总和，得到关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的最终结果。
【解析】
解：
1. 推导aₙ的相关规律：
根据平面内直线两两相交最多分区域的性质：
2条直线相交最多将平面分成4个区域，因此$a_1=4$，$a_1-1=3=1+2$
3条直线两两相交最多将平面分成7个区域，因此$a_2=7$，$a_2-1=6=1+2+3$
4条直线两两相交最多将平面分成11个区域，因此$a_3=11$，$a_3-1=10=1+2+3+4$
……
以此类推可得：
$a_n -1 = 1+2+3+\dots+(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
2. 裂项化简求和式：
对每一项变形可得：$\frac{1}{a_k -1} = \frac{2}{(k+1)(k+2)} = 2( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} )$
因此左边的求和式可化简为：
$\begin{aligned}\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{a_2-1}+\dots+\frac{1}{a_n-1} &= 2( \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + \dots + \frac{1}{(n+1)(n+2)} ) \\&= 2[ (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}) ] \\&= 2( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} ) \\&= \frac{n}{n+2}\end{aligned}$
3. 解方程求n：
结合题设条件$\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{a_2-1}+\dots+\frac{1}{a_n-1}=\frac{10}{11}$，可得：
$\frac{n}{n+2} = \frac{10}{11}$
交叉相乘得$11n=10(n+2)$，解得$n=20$，符合题意。
【答案】C
【知识点】直线分平面规律，裂项相消求和，等差数列求和
【点评】本题是几何规律探究结合数列求和的综合题，核心难点是理清aₙ和直线总条数的对应关系，准确推导通项后利用裂项相消快速化简求和，避免繁琐的直接计算，解题时要注意不要混淆n的取值和直线数量的对应关系，防止代入数值出错。
【难度系数】0.4

6. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,给出了证明三角形面积公式的出入相补法. 如图,在三角形$ABC$中,分别取$AB$,$AC$的中点$F$,$G$,连接$FG$,过点$A$作$AH ⊥ FG$,垂足为$H$. 将三角形$ABC$分割后可拼接成长方形$BCDE$.若$AH=FG=4$,则三角形$ABC$的面积是.

6. 32 提示:因为四边形 $BCDE$ 是长方形,所以$BC=DE$,$BE=CD$. 由题意可知,$BE=CD=AH=4$,$DG=HG$,$EF=HF$,所以 $DG+EF=HG+HF=FG=4$. 所以 $BC=DE=4+4=8$. 所以 $S_{\mathrm{三角形}ABC}=S_{\mathrm{长方形}BCDE}=BC·BE=8×4=32$.

【分析】
这道题利用中国古代的出入相补割补法求解三角形面积，核心思路是：拼接前后图形的总面积保持不变，因此△ABC的面积和拼接得到的长方形BCDE的面积完全相等，我们只需要求出长方形的长和宽，计算出长方形面积就能得到三角形的面积。首先根据割补的对应关系，可知长方形的侧边长度BE等于AH=4；再看长方形的上边DE，它由EF、FG、GD三段组成，结合割补的等量对应EF=HF、DG=HG，可推出EF+DG=FG=4，进而算出DE的总长度，最后代入长方形面积公式计算即可。
【解析】
解：根据出入相补的割补规则，△ABC的面积与拼接得到的长方形BCDE的面积相等。
1. 由割补的对应关系可得：$BE = AH = 4$，且$EF = HF$，$DG = HG$。
2. 已知$FG=4$，因此$EF + DG = HF + HG = FG = 4$，可得$DE = EF + FG + DG = 4 + 4 = 8$。
3. 因为四边形BCDE是长方形，对边相等，所以$BC = DE = 8$。
4. 计算长方形BCDE的面积：$S_{\mathrm{长方形}BCDE} = BC · BE = 8 × 4 = 32$。
因此△ABC的面积等于长方形BCDE的面积，为32。
【答案】
32
【知识点】
出入相补原理，矩形面积计算，三角形中位线
【点评】
本题结合古代数学文化背景出题，考察割补法的应用，不需要直接套用三角形面积公式，重点是理解拼接前后各边的等量对应关系，利用面积不变的性质求解，既考察了基础几何计算能力，也能帮助学生理解三角形面积公式的推导逻辑。
【难度系数】
0.7

7. 从一个多边形的任何一个顶点出发都只有 5 条对角线,这个多边形的对角线有条.

7. 20 提示:设这个多边形的边数是 $n$,由题意,得 $n-3=5$,解得 $n=8$,所以这个多边形共有对角线$\frac{8×(8-3)}{2}=20$(条).

【分析】
首先回忆多边形对角线的基础规律：对于任意n边形，一个顶点无法向自身引对角线，也无法向和它直接相邻的2个顶点引对角线，因此从单个顶点出发的对角线条数固定为n-3条。题目明确给出从任意一个顶点出发都只有5条对角线，我们可以先通过这个等量关系列方程求出多边形的总边数n，之后再代入多边形总对角线的通用计算公式，就能算出所有对角线的总条数。
【解析】
解：设这个多边形的边数为$n$。
根据n边形单个顶点引出对角线条数的规律，结合题意可得方程：
$n - 3 = 5$
解得$n=8$，即该多边形为八边形。
再代入n边形对角线总条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，将$n=8$代入计算：
总对角线条数$=\frac{8×(8-3)}{2}=\frac{8×5}{2}=20$
【答案】
20
【知识点】
多边形对角线性质；多边形对角线总数公式
【点评】
本题是多边形章节的基础常规题，解题逻辑清晰，先通过单个顶点的对角线条数反推多边形边数，再代入总对角线公式计算即可。需要注意总对角线公式里除以2的作用是去掉不同顶点间重复计数的对角线，避免出现直接用8×5得到40的典型错误。
【难度系数】
0.8

8. 一个正方体蛋糕竖着切 5 刀,被分成的块数最多为.

8. 16 提示:当切 1 刀时,块数为 $1+1=2$; 当切 2 刀时,块数最多为 $1+1+2=4$; 当切 3 刀时,块数最多为 $1+1+2+3=7$……当切 $n$ 刀时,块数最多为 $1+(1+2+3+\dots+n)=1+\frac{n(n+1)}{2}$. 则切 5 刀时,块数最多为 $1+\frac{5×6}{2}=16$.

【分析】
拿到这道题首先要注意题干限定是“竖着切”，也就是所有切割方向都平行于正方体的竖直棱，相当于把立体切割问题转化为：在正方形俯视图对应的平面内，用5条直线最多将平面划分为多少部分的问题。要得到最多块数，需要保证每新切的一刀，都和之前所有已经切过的刀都相交，既不与之前的刀平行，也不存在多刀交于同一点的情况，此时新的一刀会被分割成尽可能多的段，每一段都会将原有1块分成2块，新增的块数就等于这一刀被分成的段数。我们可以从切1刀的简单情况开始枚举，逐步推导递推规律，最后代入n=5即可算出最终的最多块数。
【解析】
解：竖直方向切割正方体，等价于n条直线最多划分平面的问题，推导过程如下：
1. 切第1刀时：原有1块蛋糕，新增1块，总块数为$1+1=2$；
2. 切第2刀时：要让块数最多，第2刀和第1刀相交，这一刀被分成2段，新增2块，总块数为$2+2=4$；
3. 切第3刀时：第3刀和前2刀都相交，最多被分成3段，新增3块，总块数为$4+3=7$；
4. 以此类推，切第n刀时，最多可以新增n块，因此n刀最多得到的块数通项为：
总块数 $= 1 + (1+2+3+\dots+n) = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$
代入$n=5$计算：
总块数 $= 1 + \frac{5×6}{2} = 1+15 = 16$
【答案】
16
【知识点】
直线分平面最大值，递推计数
【点评】
本题的易错点是忽略“竖着切”的限定，误用三维空间立体切割的公式计算，导致结果错误。解题时先将立体切割问题转化为熟悉的平面分割问题，从少量刀数的简单情况入手枚举推导规律，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.6