8. 一副三角板如图1所示叠放，现将含$30°$的三角板$ABC$固定不动，含$45°$的三角板$BDE$绕顶点$B$逆时针转动，点$E$始终在直线$AB$的上方，当两块三角板至少有一组边互相平行时，如图2，当$DE// AB$时，$∠ ABE=45°$，则其他符合条件的$∠ ABE$的度数为.

8. $75°$ 或 $120°$ 或 $165°$ 提示:①如图 1, 当$D'E'// AB$ 时,$∠ ABE'=∠ E'=45°$, 与题意重复;②如图 2, 当 $BD'// AC$ 时,$∠ A+∠ D'BA=180°$, 即 $∠ A+∠ D'BE'+∠ ABE'=180°$, 所以 $∠ ABE'=180°-∠ A-∠ D'BE'=180°-60°-45°=75°$;③如图 3, 当 $BE'// AC$ 时,$∠ A+∠ ABE'=180°$, 所以 $∠ ABE'=180°-∠ A=180°-60°=120°$;④如图 4, 当 $D'E'// AC$时,延长 $AB$ 交 $D'E'$ 于点 $F$, 所以 $∠ BFD'=∠ A=60°$,所以 $∠ FBD'=90°-60°=30°$, 所以 $∠ FBE'=45°-30°=15°$, 所以 $∠ ABE'=180°-∠ FBE'=180°-15°=165°$.

【分析】
我们先明确两块三角板的固定内角：含30°的Rt△ABC中，∠A=60°，∠C=90°，∠ABC=30°；含45°的Rt△BDE中，∠D=90°，∠DBE=∠E=45°。题目已经给出DE//AB时∠ABE=45°的情况，接下来我们需要分类讨论剩余所有可能的边互相平行的组合，结合平行线的性质（同旁内角互补、同位角相等）逐一计算对应的∠ABE度数，同时结合“点E始终在直线AB上方”的限制，排除不符合题意的情况，最终得到所有符合条件的剩余角度。
【解析】
已知固定三角板ABC的内角：∠A=60°，∠C=90°，∠ABC=30°；转动三角板BDE的内角：∠D=90°，∠DBE=∠E=45°，题目已给出DE//AB时∠ABE=45°的情况，接下来讨论其余边平行的情况：
1. 当BD'//AC时：
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A + ∠ABD' = 180°，即∠A + ∠D'BE' + ∠ABE' = 180°，代入已知角度：
∠ABE' = 180° - ∠A - ∠D'BE' = 180° - 60° - 45° = 75°
2. 当BE'//AC时：
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A + ∠ABE' = 180°，代入∠A=60°：
∠ABE' = 180° - 60° = 120°
3. 当D'E'//AC时：
延长AB交D'E'于点F，根据两直线平行，同位角相等，可得∠BFD' = ∠A = 60°，在Rt△BD'F中，∠D'=90°，因此∠FBD' = 90° - 60° = 30°，可得∠FBE' = ∠D'BE' - ∠FBD' = 45° - 30° = 15°，由于F在AB的延长线上，因此∠ABE' = 180° - ∠FBE' = 180° - 15° = 165°
以上三种情况均满足点E在直线AB上方的要求，即为所求的其余符合条件的角度。
【答案】
$75°$ 或 $120°$ 或 $165°$




【知识点】
平行线的性质，三角板角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题是三角板旋转结合平行线性质的分类讨论题型，解题的核心是不重不漏枚举所有边平行的组合，排除题目已给出的DE//AB的情况，同时要注意点E始终在AB上方的限制，避免得到不符合题意的结果，对学生思维的严谨性有一定要求，很容易出现漏解的问题。
【难度系数】
0.3

9.【问题背景】数学活动课上，同学们用一副三角板展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角板摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系.
【准备材料】如图，在三角板 $ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ A=∠ B=45°$；在三角板$DEF$ 中，$∠ D=90°$，$∠ F=30°$，$∠ E=60°$.

【活动前提】已知:直线 $PQ// MN$.
【活动一】(1)“飞腾小组”选择三角板 $DEF$按图 1 所示放置,当 $FD$ 恰好平分$∠ EFM$时,则$∠ PED$ 的度数是.
【活动二】(2)“卓越小组”选择三角板$ABC$、三角板 $DEF$ 按图 2 所示放置,点$E,C,F,A$ 在同一条直线上,则$∠ PDF$ 的度数是可求的,请你帮助他们求出答案并说明理由.
【活动三】(3)“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化,如图 3,将图 2 中三角板 $DEF$ 固定不动,三角板 $ABC$ 中的点 $A$ 位置不动,重新摆放三角板 $ABC$.摆放方法①:当线段 $BC$ 所在直线与线段$DF$ 所在直线垂直时,请求出$∠ MAB$ 的度数.
摆放方法②:当线段 $BC$ 与三角板 $DEF$ 的直角边平行时,请求出$∠ MAB$ 的度数.

9. 解:(1) $60°$ 提示: 因为 $FD$ 平分 $∠ EFM$,所以 $∠ EFM=2∠ EFD=60°$. 因为 $PQ// MN$, 所以$∠ EFM+∠ PEF=180°$, 所以 $∠ PEF=120°$, 所以$∠ PED=∠ PEF-∠ FED=60°$.
(2) $∠ PDF=105°$,理由如下:
如图 1, 过点 $E$ 作 $EG// MN$, 因为 $PQ// MN$, 所以 $PQ// EG// MN$, 所以$∠ AEG=∠ BAC=45°$,$∠ PDE=∠ DEG$. 因为 $∠ DEG=∠ DEF-∠ AEG=15°$, 所以$∠ PDE=15°$, 所以 $∠ PDF=∠ PDE+∠ EDF=105°$.
(3) 摆放方法①:如图 2, 当 $DF⊥ BC$ 且三角板 $ABC$ 在直线 $MN$ 上方时, 延长 $DF$ 交 $MN$ 于点 $H$, 由(2)可得 $∠ PDF=105°$. 因为 $PQ// MN$, 所以 $∠ DHM+∠ PDH=180°$,所以 $∠ DHM=75°$. 因为 $∠ ACB=90°$, 即 $AC⊥ BC$, 所以 $AC// DF$, 所以 $∠ CAM=∠ DHM=75°$, 所以 $∠ MAB=∠ CAM-∠ CAB=30°$. 如图 3, 当 $DF⊥ BC$ 且三角板 $ABC$ 在直线 $MN$ 下方时, 延长 $DF$ 交 $MN$ 于点 $H$, 因为 $DE⊥ DF$,$BC⊥ AC$, 所以 $DF// AC$, 所以 $∠ CAM=∠ DHA$. 因为 $PQ// MN$,所以 $∠ DHA=∠ PDH=105°$, 所以 $∠ CAM=105°$, 所以 $∠ MAB=∠ CAB+∠ CAM=45°+105°=150°$.
综上所述,$∠ MAB$ 的度数为 $30°$ 或 $150°$.
摆放方法②:当 $BC// DE$, 即 $BC⊥ DF$时,由摆放方法①可知,此时 $∠ MAB$ 的度数为 $30°$ 或 $150°$. 如图 4, 当 $BC// DF$ 且三角板 $ABC$ 在直线 $MN$ 上方时, 过点 $A$ 作 $AT// BC$, 延长 $DF$ 交 $MN$ 于点 $H$, 则 $AT// BC// DF$, 所以$∠ BAT=∠ B=45°$,$∠ MAT=∠ DHM=75°$, 所以 $∠ MAB=∠ MAT+∠ BAT=120°$.如图 5, 当 $BC// DF$ 且三角板 $ABC$ 在直线 $MN$ 下方时, 过点 $A$ 作 $AT// BC$, 延长 $DF$ 交 $MN$ 于点 $H$, 则 $AT// BC// DF$, 所以$∠ BAT=180°-∠ B=135°$,$∠ MAT=∠ DHM=75°$, 所以 $∠ MAB=∠ BAT-∠ MAT=60°$. 综上所述, $∠ MAB$ 的度数为 $30°$ 或 $60°$ 或 $120°$ 或 $150°$.

【分析】
1. 第(1)问：先利用角平分线的定义，结合已知的30°角算出∠EFM的度数，再借助平行线同旁内角互补的性质求出∠PEF，最后减去三角板的60°角即可得到∠PED。
2. 第(2)问：遇到多平行线的角度推导，优先构造辅助线，过点E作EG平行于MN，利用平行的传递性得到三条线两两平行，通过内错角相等逐步推导角度，最终算出∠PDF的结果。
3. 第(3)问：必须采用分类讨论思路，按照三角板ABC相对于直线MN的上下不同位置拆分情况，摆放①分DF⊥BC时ABC在MN上方、下方两类计算；摆放②分BC平行于DE、BC平行于DF两类，每类再对应不同位置推导，避免漏解。
【解析】
(1) 已知FD平分∠EFM，且∠EFD=30°，因此∠EFM=2∠EFD=60°。
因为PQ//MN，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠EFM + ∠PEF = 180°，代入得∠PEF=180°-60°=120°。
又因为∠DEF=60°，所以∠PED=∠PEF - ∠DEF=120°-60°=60°。
(2) ∠PDF=105°，理由如下：
过点E作EG//MN，因为PQ//MN，由平行的传递性可得PQ//EG//MN。
根据两直线平行内错角相等，得∠AEG=∠BAC=45°，∠PDE=∠DEG。
计算得∠DEG=∠DEF - ∠AEG=60°-45°=15°，因此∠PDE=15°。
所以∠PDF=∠PDE + ∠EDF=15°+90°=105°。

(3) 摆放方法①：
① 当DF⊥BC且三角板ABC在直线MN上方时，延长DF交MN于点H，由(2)可得∠PDF=105°。
因为PQ//MN，所以∠DHM + ∠PDH=180°，得∠DHM=75°。
又因为∠ACB=90°即AC⊥BC，DF⊥BC，因此AC//DF，可得∠CAM=∠DHM=75°，所以∠MAB=∠CAM - ∠CAB=75°-45°=30°。
② 当DF⊥BC且三角板ABC在直线MN下方时，延长DF交MN于点H，因为DE⊥DF，AC⊥BC，DF⊥BC，所以DF//AC，得∠CAM=∠DHA。
由PQ//MN，得∠DHA=∠PDH=105°，因此∠CAM=105°，所以∠MAB=∠CAB + ∠CAM=45°+105°=150°。
综上，摆放方法①中∠MAB的度数为30°或150°。
摆放方法②：
① 当BC//DE时，此时BC⊥DF，由摆放方法①的结论可得∠MAB为30°或150°。
② 当BC//DF且三角板ABC在直线MN上方时，过点A作AT//BC，延长DF交MN于点H，可得AT//BC//DF。
由平行线性质得∠BAT=∠B=45°，∠MAT=∠DHM=75°，因此∠MAB=∠MAT + ∠BAT=75°+45°=120°。
③ 当BC//DF且三角板ABC在直线MN下方时，过点A作AT//BC，延长DF交MN于点H，可得AT//BC//DF。
由平行线性质得∠BAT=180°-∠B=135°，∠MAT=∠DHM=75°，因此∠MAB=∠BAT - ∠MAT=135°-75°=60°。
综上，摆放方法②中∠MAB的度数为30°或60°或120°或150°。




【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) $\boldsymbol{∠ PDF=105°}$，理由见上述解析
(3) 摆放方法①：$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$；摆放方法②：$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{150°}$
【知识点】
平行线的性质，三角板角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题是平行线结合三角板的递进式探究题，从基础角度计算逐步过渡到综合分类推导，既考察了平行线性质的常规应用、辅助线构造技巧，也对图形位置的全面分析能力提出要求，第三问容易因遗漏三角板的不同摆放位置出现漏解，需要养成多维度拆分图形场景的解题习惯。
【难度系数】
0.3