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1. 图 1 是 $AD// BC$ 的一张纸条,按图示方式把这一纸条先沿 $EF$ 折叠并压平,再沿$BF$ 折叠并压平,若图 3 中 $∠ CFE=24°$,则图 2 中 $∠ AEF$ 的度数为 （
A.$112°$
B.$68°$
C.$48°$
D.$136°$
A
） A.$112°$
B.$68°$
C.$48°$
D.$136°$
答案
1. A 提示:根据题图 2 可知$∠ BFE$ 折叠了 1次,即 $2∠ BFE+∠ BFC=180°$ ①. 根据题图 3 可知$∠ BFE - ∠ BFC = ∠ CFE = 24°$ ②. ① + ②, 得$3∠ BFE=180°+24°$,所以$∠ BFE=68°$. 因为 $AE// BF$,所以$∠ AEF=180°-∠ BFE=112°$.
解析
【分析】
我们拿到这道题首先要抓住两个核心条件：一是纸条的两边AD平行BC，二是两次折叠的操作。首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角的大小完全相等，所以两次折叠后∠BFE的度数始终不变。接下来我们梳理角的数量关系：首先图2中BC是直线，平角为180°，第一次折叠后可以得到2倍的∠BFE加上剩余的∠BFC等于180°；再看图3，第二次折叠后已知∠CFE=24°，这个角刚好是∠BFE减去∠BFC得到的。把这两个关系式联立，就可以消去∠BFC直接算出∠BFE的度数，最后利用平行线同旁内角互补的性质，就能求出∠AEF的度数了。
【解析】
1. 根据折叠的性质，两次折叠后∠BFE的大小保持不变：
在图2中，BC为直线，平角为180°，因此可得：
$2∠ BFE + ∠ BFC = 180° \tag{1}$
2. 观察图3的角的差关系，已知∠CFE=24°，可得：
$∠ BFE - ∠ BFC = ∠ CFE = 24° \tag{2}$
3. 将(1)和(2)两式左右两边分别相加，消去∠BFC：
$3∠ BFE = 180° + 24° = 204°$
解得：$∠ BFE = 68°$
4. 已知纸条满足$AD// BC$，也就是$AE// BF$，根据平行线的性质，同旁内角互补：
$∠ AEF + ∠ BFE = 180°$
代入∠BFE=68°，得：$∠ AEF = 180° - 68° = 112°$
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是平行线与折叠结合的经典题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，梳理出多个角之间的和差关系，通过联立方程消元快速求出中间角∠BFE，不需要额外计算其他未知角，简化运算，解题时要注意不要搞错折叠后角的倍数关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
我们拿到这道题首先要抓住两个核心条件：一是纸条的两边AD平行BC，二是两次折叠的操作。首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角的大小完全相等，所以两次折叠后∠BFE的度数始终不变。接下来我们梳理角的数量关系：首先图2中BC是直线，平角为180°，第一次折叠后可以得到2倍的∠BFE加上剩余的∠BFC等于180°；再看图3，第二次折叠后已知∠CFE=24°，这个角刚好是∠BFE减去∠BFC得到的。把这两个关系式联立，就可以消去∠BFC直接算出∠BFE的度数，最后利用平行线同旁内角互补的性质，就能求出∠AEF的度数了。
【解析】
1. 根据折叠的性质，两次折叠后∠BFE的大小保持不变：
在图2中，BC为直线，平角为180°，因此可得：
$2∠ BFE + ∠ BFC = 180° \tag{1}$
2. 观察图3的角的差关系，已知∠CFE=24°，可得：
$∠ BFE - ∠ BFC = ∠ CFE = 24° \tag{2}$
3. 将(1)和(2)两式左右两边分别相加，消去∠BFC：
$3∠ BFE = 180° + 24° = 204°$
解得：$∠ BFE = 68°$
4. 已知纸条满足$AD// BC$，也就是$AE// BF$，根据平行线的性质，同旁内角互补：
$∠ AEF + ∠ BFE = 180°$
代入∠BFE=68°，得：$∠ AEF = 180° - 68° = 112°$
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是平行线与折叠结合的经典题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，梳理出多个角之间的和差关系，通过联立方程消元快速求出中间角∠BFE，不需要额外计算其他未知角，简化运算，解题时要注意不要搞错折叠后角的倍数关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在某海域巡航任务中,海警船在观察点A处,发现其东偏北$20^{\circ }$的方向B处,有一艘不明船只,另外一艘位于C处的海警船也发现了该不明船只位于其东南方向的B处,则此时两艘海警船与不明船只的连线夹角($∠ ABC$)的度数是（
A.$20^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$65^{\circ }$
D
）A.$20^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$65^{\circ }$
答案
2. D 提示:如图,过点 B 作 $BD// CE$ 交 $AC$ 于点 D. 由题意可得, $AF// CE$, 所以 $BD// AF// CE$. 因为$∠ BAF=20°,∠ BCE=45°$, 所以 $∠ ABD=∠ BAF=20°,∠ DBC=∠ BCE=45°$, 所以 $∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=20°+45°=65°$.
解析
【分析】
这道题是方位角结合平行线性质的几何应用题，我们的思考路径如下：首先先明确图中A、C两点的东西向方位虚线是互相平行的，题目给出两个方位条件：B在A的东偏北20°，B在C的东南方向也就是南偏东45°。要求∠ABC，我们不需要复杂计算，只需要过点B作一条平行于东西方位线的辅助线，利用平行线的内错角相等性质，把∠ABC拆成两个分别和已知方位角相等的小角，相加就能直接得到结果，这是方位类角度计算的常用技巧。
【解析】
1. 先定义基准线：设过A点的东西向方位水平线为AF，过C点的东西向方位水平线为CE，由图可知AF//CE。
2. 作辅助线：过点B作BD//CE，交AC于点D，根据平行公理推论，可得BD//AF//CE。
3. 利用平行线性质推导角度：
由B在A的东偏北20°，得∠BAF=20°，因为BD//AF，两直线平行内错角相等，所以∠ABD=∠BAF=20°；
由B在C的东南方向，得∠BCE=45°，因为BD//CE，两直线平行内错角相等，所以∠DBC=∠BCE=45°。
4. 计算所求角：∠ABC=∠ABD+∠DBC=20°+45°=65°。
【答案】
【知识点】
方位角，平行线性质
【点评】
本题结合航海实际场景出题，核心考察方位角的识别和平行线性质的应用，通过作平行于方位基准线的辅助线拆分所求角，是这类方位角度计算题的通用解题思路，难度适中，能帮助学生掌握平行线性质在实际场景中的灵活运用。
【难度系数】
0.6
这道题是方位角结合平行线性质的几何应用题，我们的思考路径如下：首先先明确图中A、C两点的东西向方位虚线是互相平行的，题目给出两个方位条件：B在A的东偏北20°，B在C的东南方向也就是南偏东45°。要求∠ABC，我们不需要复杂计算，只需要过点B作一条平行于东西方位线的辅助线，利用平行线的内错角相等性质，把∠ABC拆成两个分别和已知方位角相等的小角，相加就能直接得到结果，这是方位类角度计算的常用技巧。
【解析】
1. 先定义基准线：设过A点的东西向方位水平线为AF，过C点的东西向方位水平线为CE，由图可知AF//CE。
2. 作辅助线：过点B作BD//CE，交AC于点D，根据平行公理推论，可得BD//AF//CE。
3. 利用平行线性质推导角度：
由B在A的东偏北20°，得∠BAF=20°，因为BD//AF，两直线平行内错角相等，所以∠ABD=∠BAF=20°；
由B在C的东南方向，得∠BCE=45°，因为BD//CE，两直线平行内错角相等，所以∠DBC=∠BCE=45°。
4. 计算所求角：∠ABC=∠ABD+∠DBC=20°+45°=65°。
【答案】
【知识点】
方位角，平行线性质
【点评】
本题结合航海实际场景出题，核心考察方位角的识别和平行线性质的应用，通过作平行于方位基准线的辅助线拆分所求角，是这类方位角度计算题的通用解题思路，难度适中，能帮助学生掌握平行线性质在实际场景中的灵活运用。
【难度系数】
0.6
3. 如图,水面$MN$与底面$EF$平行,光线$AB$从空气射入水里时发生了折射,折射光线$BC$射到水底$C$处,点$D$在$AB$的延长线上,若$∠ 1=65°,∠ 2=40°$,则$∠ DBC=$（
A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$15°$
C
）A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$15°$
答案
3. C 提示: 因为 $MN// EF$, 所以 $∠ 1+∠ CBN=180°$. 因为 $∠ 1=65°$, 所以 $∠ CBN=115°$. 因为$∠ DBC+∠ CBN+∠ 2=180°,∠ 2=40°$, 所以$∠ DBC=25°$.
解析
【分析】
这道题的核心是利用平行线的性质和平角定义计算角度，解题思路如下：第一步，先根据已知MN平行于EF，找到∠1的同旁内角∠CBN，利用两直线平行同旁内角互补的性质，代入∠1的度数算出∠CBN的大小；第二步，观察点B处的角，∠2、∠DBC、∠CBN三个角共同组成平角，和为180°，代入已知的∠2和算出的∠CBN的数值，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
1. 由已知$MN// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ CBN = 180°$
代入$∠ 1=65°$，计算得：
$∠ CBN = 180° - 65° = 115°$
2. 根据平角的定义，直线MN上的三个角之和为$180°$，即：
$∠ 2 + ∠ DBC + ∠ CBN = 180°$
将$∠ 2=40°$、$∠ CBN=115°$代入，得：
$∠ DBC = 180° - 40° - 115° = 25°$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平角定义
【点评】
本题结合光的折射的实际场景出题，属于基础角度计算题型，解题关键是准确识别平行线对应的同旁内角关系，再利用平角的角度特征完成计算，整体思路清晰，考察的是平行线性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是利用平行线的性质和平角定义计算角度，解题思路如下：第一步，先根据已知MN平行于EF，找到∠1的同旁内角∠CBN，利用两直线平行同旁内角互补的性质，代入∠1的度数算出∠CBN的大小；第二步，观察点B处的角，∠2、∠DBC、∠CBN三个角共同组成平角，和为180°，代入已知的∠2和算出的∠CBN的数值，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
1. 由已知$MN// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ CBN = 180°$
代入$∠ 1=65°$，计算得：
$∠ CBN = 180° - 65° = 115°$
2. 根据平角的定义，直线MN上的三个角之和为$180°$，即：
$∠ 2 + ∠ DBC + ∠ CBN = 180°$
将$∠ 2=40°$、$∠ CBN=115°$代入，得：
$∠ DBC = 180° - 40° - 115° = 25°$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平角定义
【点评】
本题结合光的折射的实际场景出题，属于基础角度计算题型，解题关键是准确识别平行线对应的同旁内角关系，再利用平角的角度特征完成计算，整体思路清晰，考察的是平行线性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在两个景区之间建立一段观光索道,索道支撑架互相平行$(AM// CN)$,且索道$AB,BC$均是直的.若$∠ MAB=65°$,$∠ NCB=55°$,则$∠ ABC=$
120°
.答案
4. $120°$ 提示:过点 B 向上作 $BD// AM$. 因为$AM// CN$, 所以 $BD// AM// CN$. 因为 $∠ MAB=65°$,$∠ NCB=55°$, 所以 $∠ ABD=∠ MAB=65°$,$∠ CBD=∠ NCB=55°$, 所以 $∠ ABC=∠ ABD+∠ CBD=65°+55°=120°$.
解析
【分析】
这是典型的平行线间拐点求角问题，已知AM//CN，点B是两条平行线之间的拐点，无法直接关联已知角度和待求的∠ABC。解题思路为：过拐点B作与已知平行线AM平行的辅助线BD，根据平行公理的推论可推出BD同时平行于AM和CN，再利用平行线内错角相等的性质，把∠ABC拆分为∠ABD和∠CBD两个角，分别对应等于已知的∠MAB和∠NCB，将两个已知角度相加即可得到∠ABC的度数。
【解析】
1. 过点B作辅助线BD//AM；
2. 已知AM//CN，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得BD//AM//CN；
3. 依据两直线平行，内错角相等的性质：
由BD//AM，得∠ABD = ∠MAB = 65°，
由BD//CN，得∠CBD = ∠NCB = 55°；
4. 因此∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 65° + 55° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线章节的经典“拐点”基础题型，核心是通过构造平行辅助线，将原本分散的已知角和待求角建立关联，计算难度很低，重点考察学生对平行线辅助线构造思路的掌握，能帮助学生熟练掌握这类拐点求角问题的通用解法。
【难度系数】
0.7
这是典型的平行线间拐点求角问题，已知AM//CN，点B是两条平行线之间的拐点，无法直接关联已知角度和待求的∠ABC。解题思路为：过拐点B作与已知平行线AM平行的辅助线BD，根据平行公理的推论可推出BD同时平行于AM和CN，再利用平行线内错角相等的性质，把∠ABC拆分为∠ABD和∠CBD两个角，分别对应等于已知的∠MAB和∠NCB，将两个已知角度相加即可得到∠ABC的度数。
【解析】
1. 过点B作辅助线BD//AM；
2. 已知AM//CN，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得BD//AM//CN；
3. 依据两直线平行，内错角相等的性质：
由BD//AM，得∠ABD = ∠MAB = 65°，
由BD//CN，得∠CBD = ∠NCB = 55°；
4. 因此∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 65° + 55° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线章节的经典“拐点”基础题型，核心是通过构造平行辅助线，将原本分散的已知角和待求角建立关联，计算难度很低，重点考察学生对平行线辅助线构造思路的掌握，能帮助学生熟练掌握这类拐点求角问题的通用解法。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$∠ ACB=90°$，$MA// BN$，且$∠ MAC$，$∠ CBN$的平分线交于点$P$，则$∠ APB$的度数为
135°
.答案
5. $135°$ 提示:如图,过点 C 作 $CD// MA$,过点P 作 $PE// MA$, 因为 $MA// BN$, 所以 $MA// PE// CD// BN$. 设 $∠ MAC=α$, 则 $∠ ACD=∠ MAC=α$, 所以$∠ DCB=90°-α$, 所以 $∠ CBN=180°-(90°-α)=90°+α$. 因为 $∠ MAC,∠ CBN$ 的平分线相交于点 P, 所以$∠ MAP=\frac{1}{2}∠ MAC=\frac{1}{2}α$,$∠ NBP=\frac{1}{2}∠ NBC=\frac{1}{2}(90°+α)=45°+\frac{1}{2}α$, 所以 $∠ EPA=∠ MAP=\frac{1}{2}α$,$∠ EPB=180°-∠ NBP=180°-(45°+\frac{1}{2}α)=135°-\frac{1}{2}α$, 所以 $∠ APB=∠ EPA+∠ EPB=\frac{1}{2}α+135°-\frac{1}{2}α=135°$.
解析
【分析】
这道题属于平行线间的拐点求值问题，解题思路如下：
1. 已知MA//BN，遇到多拐点的平行线题型，优先通过作辅助平行线，利用平行线的性质拆分角度。
2. 先过点C作CD//MA，结合MA//BN的传递性，得到MA//CD//BN，利用内错角相等、同旁内角互补的性质，把∠CBN用∠MAC的参数形式表示出来，结合已知∠ACB=90°建立两者的关系。
3. 再利用角平分线的定义，得到∠MAP和∠NBP的参数表达式，再过点P作PE//MA，同理得到MA//PE//BN，把∠APB拆分为∠EPA和∠EPB两个角，分别用平行线性质表示这两个角，相加后参数α会被消去，直接得到∠APB的定值。
【解析】
解：过点C作CD//MA，过点P作PE//MA，
∵ MA//BN，根据平行线的传递性，可得MA//PE//CD//BN。
设∠MAC=α，
∵ CD//MA，由内错角相等得∠ACD=∠MAC=α，
已知∠ACB=90°，
∴ ∠DCB=∠ACB - ∠ACD = 90° - α，
∵ CD//BN，由同旁内角互补得∠DCB + ∠CBN = 180°，
代入得∠CBN = 180° - (90° - α) = 90° + α。
∵ AP平分∠MAC，BP平分∠CBN，
∴ ∠MAP = $\frac{1}{2}$∠MAC = $\frac{1}{2}$α，∠NBP = $\frac{1}{2}$∠CBN = $\frac{1}{2}(90°+α) = 45° + \frac{1}{2}α$。
∵ PE//MA，由内错角相等得∠EPA = ∠MAP = $\frac{1}{2}$α，
∵ PE//BN，由同旁内角互补得∠EPB + ∠NBP = 180°，
代入得∠EPB = 180° - (45° + $\frac{1}{2}$α) = 135° - $\frac{1}{2}$α。
∴ ∠APB = ∠EPA + ∠EPB = $\frac{1}{2}$α + 135° - $\frac{1}{2}$α = 135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义，平行线传递性
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型题型，核心方法是通过作多条辅助平行线拆分角度，利用设参数消元的思路，无需计算出单个角的具体数值，即可推导出最终的定值，重点考察学生对平行线各类性质的综合运用能力，避免直接硬凑角度的错误思路。
【难度系数】
0.4
这道题属于平行线间的拐点求值问题，解题思路如下：
1. 已知MA//BN，遇到多拐点的平行线题型，优先通过作辅助平行线，利用平行线的性质拆分角度。
2. 先过点C作CD//MA，结合MA//BN的传递性，得到MA//CD//BN，利用内错角相等、同旁内角互补的性质，把∠CBN用∠MAC的参数形式表示出来，结合已知∠ACB=90°建立两者的关系。
3. 再利用角平分线的定义，得到∠MAP和∠NBP的参数表达式，再过点P作PE//MA，同理得到MA//PE//BN，把∠APB拆分为∠EPA和∠EPB两个角，分别用平行线性质表示这两个角，相加后参数α会被消去，直接得到∠APB的定值。
【解析】
解：过点C作CD//MA，过点P作PE//MA，
∵ MA//BN，根据平行线的传递性，可得MA//PE//CD//BN。
设∠MAC=α，
∵ CD//MA，由内错角相等得∠ACD=∠MAC=α，
已知∠ACB=90°，
∴ ∠DCB=∠ACB - ∠ACD = 90° - α，
∵ CD//BN，由同旁内角互补得∠DCB + ∠CBN = 180°，
代入得∠CBN = 180° - (90° - α) = 90° + α。
∵ AP平分∠MAC，BP平分∠CBN，
∴ ∠MAP = $\frac{1}{2}$∠MAC = $\frac{1}{2}$α，∠NBP = $\frac{1}{2}$∠CBN = $\frac{1}{2}(90°+α) = 45° + \frac{1}{2}α$。
∵ PE//MA，由内错角相等得∠EPA = ∠MAP = $\frac{1}{2}$α，
∵ PE//BN，由同旁内角互补得∠EPB + ∠NBP = 180°，
代入得∠EPB = 180° - (45° + $\frac{1}{2}$α) = 135° - $\frac{1}{2}$α。
∴ ∠APB = ∠EPA + ∠EPB = $\frac{1}{2}$α + 135° - $\frac{1}{2}$α = 135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义，平行线传递性
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型题型，核心方法是通过作多条辅助平行线拆分角度，利用设参数消元的思路，无需计算出单个角的具体数值，即可推导出最终的定值，重点考察学生对平行线各类性质的综合运用能力，避免直接硬凑角度的错误思路。
【难度系数】
0.4
6. 如图,直线 $AB// CD$,点 $E,F$ 在 $AB$ 上,点$M,N$ 在 $CD$ 上,已知 $EM$ 平分$∠ NEF$,$MF$ 平分$∠ DME,EN⊥ FN$,设$∠ MFN$,$∠ CNE$ 的度数分别为 $α,β$,则 $\dfrac{α}{β}$ 的值为
$\dfrac{3}{4}$
.答案
6. $\dfrac{3}{4}$ 提示: 因为 $EN⊥ FN$, 所以 $∠ ENF=90°$,所以 $∠ MNF=180°-90°-β=90°-β$. 因为 $AB// CD$,所以 $∠ NEF=∠ CNE=β$,$∠ EFN=∠ MNF=90°-β$.因为 $EM$ 平分 $∠ NEF$, 所以 $∠ FEM=∠ NEM=\frac{1}{2}∠ NEF=\frac{1}{2}β$. 所以 $∠ NME=∠ FEM=\frac{1}{2}β$, 所以$∠ DME=180°-\frac{1}{2}β$. 因为 $MF$ 平分 $∠ DME$, 所以$∠ DMF=∠ EMF=\frac{1}{2}∠ DME=90°-\frac{1}{4}β$, 所以$∠ EFM=∠ DMF=90°-\frac{1}{4}β$, 所以 $∠ MFN=∠ EFM-∠ EFN=90°-\frac{1}{4}β-(90°-β)=\frac{3}{4}β$, 即 $α=\frac{3}{4}β$, 所以 $\frac{α}{β}=\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
我们可以按照已知条件逐步推导两个角的关系：
1. 首先从EN⊥FN这个条件出发，得到∠ENF=90°，先把和β相关的∠MNF表示出来；
2. 利用AB//CD的平行线性质，通过内错角相等，把CD上的∠CNE=β转化为AB上的∠NEF，同时把CD上的角和AB上对应的内错角互相转换；
3. 结合EM平分∠NEF、MF平分∠DME这两个角平分线条件，把对应的角都用含β的代数式表示；
4. 最后把α用β表示出来，直接约去β就能得到二者的比值，不需要求出β的具体数值。
【解析】
解：
∵ EN⊥FN，
∴ ∠ENF=90°，
∴ ∠MNF = 180° - ∠ENF - β = 90° - β，
∵ AB//CD，
∴ ∠NEF = ∠CNE = β（两直线平行，内错角相等），∠EFN = ∠MNF = 90° - β（两直线平行，内错角相等），
∵ EM平分∠NEF，
∴ ∠FEM = ∠NEM = $\frac{1}{2}$∠NEF = $\frac{1}{2}$β，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠NME = ∠FEM = $\frac{1}{2}$β（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DME = 180° - ∠NME = 180° - $\frac{1}{2}$β，
∵ MF平分∠DME，
∴ ∠DMF = ∠EMF = $\frac{1}{2}$∠DME = 90° - $\frac{1}{4}$β，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠EFM = ∠DMF = 90° - $\frac{1}{4}$β（两直线平行，内错角相等），
∴ α = ∠MFN = ∠EFM - ∠EFN = $(90° - \frac{1}{4}β) - (90° - β) = \frac{3}{4}β$，
∴ $\frac{α}{β} = \frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
平行线内错角相等，角平分线定义，垂直的性质
【点评】
本题属于平行线与角平分线结合的角度推导题，没有给出具体角度数值，核心是通过平行线的内错角相等完成不同位置角的等量代换，逐步将目标角α用含β的代数式表示，最终得到二者的比例关系，重点考察角度转化的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
我们可以按照已知条件逐步推导两个角的关系：
1. 首先从EN⊥FN这个条件出发，得到∠ENF=90°，先把和β相关的∠MNF表示出来；
2. 利用AB//CD的平行线性质，通过内错角相等，把CD上的∠CNE=β转化为AB上的∠NEF，同时把CD上的角和AB上对应的内错角互相转换；
3. 结合EM平分∠NEF、MF平分∠DME这两个角平分线条件，把对应的角都用含β的代数式表示；
4. 最后把α用β表示出来，直接约去β就能得到二者的比值，不需要求出β的具体数值。
【解析】
解：
∵ EN⊥FN，
∴ ∠ENF=90°，
∴ ∠MNF = 180° - ∠ENF - β = 90° - β，
∵ AB//CD，
∴ ∠NEF = ∠CNE = β（两直线平行，内错角相等），∠EFN = ∠MNF = 90° - β（两直线平行，内错角相等），
∵ EM平分∠NEF，
∴ ∠FEM = ∠NEM = $\frac{1}{2}$∠NEF = $\frac{1}{2}$β，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠NME = ∠FEM = $\frac{1}{2}$β（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DME = 180° - ∠NME = 180° - $\frac{1}{2}$β，
∵ MF平分∠DME，
∴ ∠DMF = ∠EMF = $\frac{1}{2}$∠DME = 90° - $\frac{1}{4}$β，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠EFM = ∠DMF = 90° - $\frac{1}{4}$β（两直线平行，内错角相等），
∴ α = ∠MFN = ∠EFM - ∠EFN = $(90° - \frac{1}{4}β) - (90° - β) = \frac{3}{4}β$，
∴ $\frac{α}{β} = \frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
平行线内错角相等，角平分线定义，垂直的性质
【点评】
本题属于平行线与角平分线结合的角度推导题，没有给出具体角度数值，核心是通过平行线的内错角相等完成不同位置角的等量代换，逐步将目标角α用含β的代数式表示，最终得到二者的比例关系，重点考察角度转化的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图,已知$AM// BN$,$∠ A=60°$,$P$是射线$AM$上一动点(不与点$A$重合),$BC$,$BD$分别平分$∠ ABP$和$∠ PBN$,交射线$AM$于点$C$,$D$.
(1) 求$∠ CBD$的度数.
(2) 当点$P$运动时,$∠ APB$与$∠ ADB$的度数比是否随之发生变化?若不变,请求出这个比;若变化,请找出变化规律.
(3) 当点$P$运动到使$∠ ACB=∠ ABD$的位置时,求$∠ ABC$的度数.
(1) 求$∠ CBD$的度数.
(2) 当点$P$运动时,$∠ APB$与$∠ ADB$的度数比是否随之发生变化?若不变,请求出这个比;若变化,请找出变化规律.
(3) 当点$P$运动到使$∠ ACB=∠ ABD$的位置时,求$∠ ABC$的度数.
答案
7. 解:(1) 因为 $AM// BN$, 所以 $∠ ABN+∠ A=180°$, 所以 $∠ ABN=180°-∠ A=120°$,所以 $∠ ABP+∠ PBN=120°$. 因为 $BC$ 平分$∠ ABP$,$BD$ 平分 $∠ PBN$, 所以 $∠ ABP=2∠ CBP$,$∠ PBN=2∠ DBP$, 所以 $2∠ CBP+2∠ DBP=120°$, 所以 $∠ CBD=∠ CBP+∠ DBP=60°$.
(2) 不变,$∠ APB:∠ ADB=2:1$.
因为 $AM// BN$, 所以 $∠ APB=∠ PBN$,$∠ ADB=∠ DBN$. 因为 $BD$ 平分 $∠ PBN$, 所以 $∠ PBN=2∠ DBN$, 所以 $∠ APB:∠ ADB=2:1$.
(3) 因为 $AM// BN$, 所以 $∠ ACB=∠ CBN$. 当 $∠ ACB=∠ ABD$ 时, $∠ CBN=∠ ABD$, 所以 $∠ CBD+∠ DBN=∠ ABC+∠ CBD$, 所以 $∠ DBN=∠ ABC$. 由(1)可知,$∠ ABN=120°$ $∠ CBD=60°$, 所以 $∠ ABC+∠ DBN=60°$, 所以 $∠ ABC=30°$.
(2) 不变,$∠ APB:∠ ADB=2:1$.
因为 $AM// BN$, 所以 $∠ APB=∠ PBN$,$∠ ADB=∠ DBN$. 因为 $BD$ 平分 $∠ PBN$, 所以 $∠ PBN=2∠ DBN$, 所以 $∠ APB:∠ ADB=2:1$.
(3) 因为 $AM// BN$, 所以 $∠ ACB=∠ CBN$. 当 $∠ ACB=∠ ABD$ 时, $∠ CBN=∠ ABD$, 所以 $∠ CBD+∠ DBN=∠ ABC+∠ CBD$, 所以 $∠ DBN=∠ ABC$. 由(1)可知,$∠ ABN=120°$ $∠ CBD=60°$, 所以 $∠ ABC+∠ DBN=60°$, 所以 $∠ ABC=30°$.
解析
【分析】
这是一道平行线与角平分线结合的动态几何探究题，解题思路可分三部分梳理：
1. 第一问求∠CBD的度数，先利用AM//BN的平行条件，通过同旁内角互补算出∠ABN的总度数，再结合BC、BD分别平分两个相邻角的条件，把∠CBD拆分为两个半角的和，整体代入即可得到它是∠ABN的一半，直接算出结果。
2. 第二问判断∠APB和∠ADB的比值是否变化，利用平行线内错角相等的性质，把两个在AM上的角转化到BN侧，再结合BD是∠PBN的角平分线的条件，就能推导出两个角的固定倍数关系，得到不变的比值。
3. 第三问求∠ABC的度数，先用平行线性质把∠ACB转化为∠CBN，结合题目给出的∠ACB=∠ABD的条件，等式两边消去公共部分∠CBD，得到∠ABC和∠DBN相等，再结合第一问得到的已知角度，就能推出两个相等角的和为60°，直接算出∠ABC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵ AM//BN，
∴ ∠A + ∠ABN = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠A=60°，得∠ABN = 180° - 60° = 120°，即∠ABP + ∠PBN = 120°。
∵ BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴ ∠ABP = 2∠CBP，∠PBN = 2∠DBP，
代入得：2∠CBP + 2∠DBP = 120°，
化简得∠CBP + ∠DBP = 60°，
又
∵ ∠CBD = ∠CBP + ∠DBP，
∴ ∠CBD=60°。
(2) 解：∠APB与∠ADB的度数比不发生变化，推导如下：
∵ AM//BN，
∴ ∠APB = ∠PBN（两直线平行，内错角相等），
∠ADB = ∠DBN（两直线平行，内错角相等），
∵ BD平分∠PBN，
∴ ∠PBN = 2∠DBN，
等量代换得∠APB = 2∠ADB，即∠APB:∠ADB = 2:1，比值固定不变。
(3) 解：
∵ AM//BN，
∴ ∠ACB = ∠CBN（两直线平行，内错角相等），
已知∠ACB = ∠ABD，
∴ ∠CBN = ∠ABD，
拆分角度得：∠CBD + ∠DBN = ∠ABC + ∠CBD，
等式两边同时减去∠CBD，得∠DBN = ∠ABC。
由(1)可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
因此∠ABC + ∠CBD + ∠DBN = 120°，代入得∠ABC + ∠DBN = 60°，
结合∠DBN=∠ABC，得2∠ABC=60°，因此∠ABC=30°。
【答案】
(1) ∠CBD=60°；(2) 比值不变，∠APB:∠ADB=2:1；(3) ∠ABC=30°
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义
【点评】
本题是平行线章节的经典动态探究题型，没有设置复杂的角度运算，核心考察利用平行线性质做角度转化的能力，通过整体代换、等量消元的思路即可快速推导结果，能帮助学生巩固平行线与角平分线结合的常见解题模型。
【难度系数】
0.6
这是一道平行线与角平分线结合的动态几何探究题，解题思路可分三部分梳理：
1. 第一问求∠CBD的度数，先利用AM//BN的平行条件，通过同旁内角互补算出∠ABN的总度数，再结合BC、BD分别平分两个相邻角的条件，把∠CBD拆分为两个半角的和，整体代入即可得到它是∠ABN的一半，直接算出结果。
2. 第二问判断∠APB和∠ADB的比值是否变化，利用平行线内错角相等的性质，把两个在AM上的角转化到BN侧，再结合BD是∠PBN的角平分线的条件，就能推导出两个角的固定倍数关系，得到不变的比值。
3. 第三问求∠ABC的度数，先用平行线性质把∠ACB转化为∠CBN，结合题目给出的∠ACB=∠ABD的条件，等式两边消去公共部分∠CBD，得到∠ABC和∠DBN相等，再结合第一问得到的已知角度，就能推出两个相等角的和为60°，直接算出∠ABC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵ AM//BN，
∴ ∠A + ∠ABN = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠A=60°，得∠ABN = 180° - 60° = 120°，即∠ABP + ∠PBN = 120°。
∵ BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴ ∠ABP = 2∠CBP，∠PBN = 2∠DBP，
代入得：2∠CBP + 2∠DBP = 120°，
化简得∠CBP + ∠DBP = 60°，
又
∵ ∠CBD = ∠CBP + ∠DBP，
∴ ∠CBD=60°。
(2) 解：∠APB与∠ADB的度数比不发生变化，推导如下：
∵ AM//BN，
∴ ∠APB = ∠PBN（两直线平行，内错角相等），
∠ADB = ∠DBN（两直线平行，内错角相等），
∵ BD平分∠PBN，
∴ ∠PBN = 2∠DBN，
等量代换得∠APB = 2∠ADB，即∠APB:∠ADB = 2:1，比值固定不变。
(3) 解：
∵ AM//BN，
∴ ∠ACB = ∠CBN（两直线平行，内错角相等），
已知∠ACB = ∠ABD，
∴ ∠CBN = ∠ABD，
拆分角度得：∠CBD + ∠DBN = ∠ABC + ∠CBD，
等式两边同时减去∠CBD，得∠DBN = ∠ABC。
由(1)可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
因此∠ABC + ∠CBD + ∠DBN = 120°，代入得∠ABC + ∠DBN = 60°，
结合∠DBN=∠ABC，得2∠ABC=60°，因此∠ABC=30°。
【答案】
(1) ∠CBD=60°；(2) 比值不变，∠APB:∠ADB=2:1；(3) ∠ABC=30°
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义
【点评】
本题是平行线章节的经典动态探究题型，没有设置复杂的角度运算，核心考察利用平行线性质做角度转化的能力，通过整体代换、等量消元的思路即可快速推导结果，能帮助学生巩固平行线与角平分线结合的常见解题模型。
【难度系数】
0.6
