9. 将一副三角板按图1所示的方式摆放，直线$GH// MN$，现将三角板$ABC$绕点$A$以每秒1度的速度顺时针旋转，同时三角板$DEF$绕点$D$以每秒2度的速度顺时针旋转，设时间为$t\ \mathrm{s}$，如图2，$∠ BAH=t°$，$∠ FDM=2t°$，且$0≤ t≤150$，当边$BC$与三角板$DEF$的一条直角边平行时，所有满足条件的$t$的值为.

9. 30 或 120 提示:由题意,得$∠ HAC=∠ BAH+∠ BAC=t°+30°$,$∠ FDM=2t°$. 分以下几种情况讨论:
①如图 1,当 $DE// BC$ 时,延长 AC 交 MN 于点 P. 若 DF 在 MN 上方,则 $0≤ t≤90$,因为 $DE// BC$,$DE⊥ DF$,$AC⊥ BC$,所以 $AP// DF$,所以 $∠ FDM=∠ MPA$,因为 $MN// GH$,所以 $∠ MPA=∠ HAC$,所以 $∠ FDM=∠ HAC$,即 $2t°=t°+30°$,解得 $t=30$;若 $DF'$ 在 MN 下方,则 $90＜t≤150$,$∠ F'DP=2t°-180°$,同理可得$∠ F'DN=∠ HAC$,即 $2t°-180°=t°+30°$,解得 $t=210$(不符合题意,舍去).

②当 $BC// DF$ 时,如图 2,若 DF 在 MN 上方,延长 AC 交 MN 于点 I,则 $∠ FDN=180°-2t°$,因为 $DF// BC$,$AC⊥ BC$,所以 $CI⊥ DF$,所以 $∠ FDN+∠ MIC=90°$,即 $180°-2t°+t°+30°=90°$,解得 $t=120$,此时 $2t°=240°＞180°$,所以 DF 在 MN 上方不符合题意,舍去;

如图 3,若 DF 在 MN 下方,设直线 BC 分别交 GH,MN 于点 Q,I,则 $∠ FDN=2t°-180°$,因为 $DF// BC$,所以 $∠ MIC=∠ NDF$,易知 $∠ MIC=∠ AQI$,所以 $∠ NDF=∠ AQI=∠ HAC-∠ ACQ=t°+30°-90°=t°-60°$,即 $2t°-180°=t°-60°$,解得 $t=120$.
综上所述,所有满足条件的 $t$ 的值为 30 或 120.

【分析】
我们首先梳理已知条件：GH平行MN，三角板ABC绕点A每秒顺时针转1°，三角板DEF绕点D每秒顺时针转2°，已知∠BAH=t°，∠FDM=2t°，t的取值范围是0≤t≤150。题目要求边BC和DEF的两条直角边DE、DF之一平行，因此我们分两类大情况讨论：第一类是BC//DE，第二类是BC//DF。每一类情况中，利用三角板本身的直角特性，结合平行线的同位角相等、垂直的传递性，把旋转后的角度用含t的代数式表示并列方程求解，最后验证解是否在给定的t的取值范围内，舍去不符合的无效解，即可得到所有符合条件的t值。
【解析】
解：由题意可知，三角板ABC中∠BAC=30°，∠C=90°，三角板DEF中∠EDF=90°，GH//MN，∠BAH=t°，∠FDM=2t°，分两种情况讨论：
① 当BC//DE时：
已知AC⊥BC，DE⊥DF，结合BC//DE，可得AC//DF。
当0≤t≤90时，DF在MN上方，由GH//MN，同位角相等可得∠HAC=∠FDM，其中∠HAC=∠BAH+∠BAC = t°+30°，代入得：
$2t° = t°+30°$
解得t=30，符合0≤t≤150的范围。
当90＜t≤150时，DF旋转到MN下方，此时∠FDM=2t°，DF与MN下方的夹角为2t°-180°，同理列方程得：
$2t°-180° = t°+30°$
解得t=210，超出0≤t≤150的范围，舍去该解。
② 当BC//DF时：
已知AC⊥BC，BC//DF，可得AC⊥DF。若假设DF在MN上方，列方程$180°-2t°+t°+30°=90°$，解得t=120，此时2t°=240°＞180°，说明DF不可能在MN上方，该情况不成立。
当DF旋转到MN下方时，∠FDN=2t°-180°，由平行线的角度推导可得∠FDN = t°-60°，代入得：
$2t°-180° = t°-60°$
解得t=120，符合0≤t≤150的范围。
综上，符合条件的t的值为30或120。
【答案】
30 或 120
【知识点】
平行线的性质，旋转的性质，三角板角度计算
【点评】
本题是动态旋转结合平行线的分类讨论题型，核心是根据平行的不同对应关系分情况分析，需要准确用含t的代数式表示旋转后的角度，同时结合t的取值范围排除无效解，很容易出现漏解或者忽略角度范围得到错误解的问题，对学生的分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

10. (1) 如图 $1,∠ EFG=120°$, 顶点 $F$ 在直线 $CD$ 上, 边 $FE,FG$ 分别与直线$AB$ 交于点 $M,H$, 且 $∠ CFE +∠ GHB=60°$. 求证: $AB// CD$.
(2) 如图 2, 在(1)的条件下分别作$∠ EFD$ 与 $∠ AHG$ 的平分线 $FN$,$HN$ 交于点 $N$, 求 $∠ N$ 的度数.
(3) 如图 3, 在(1)的条件下作 $∠ CFE$ 的平分线 $FI$, 过点 $H$ 作一条射线 $HP$,交直线 $FI$ 于点 $P$, 当 $∠ HPF=30°$时, 请直接写出 $∠ BHP$ 与 $∠ FHP$之间的数量关系.

10. (1) 证明:因为 $∠ EFG=120°$,所以 $∠ CFE+∠ DFG=180°-∠ EFG=180°-120°=60°$. 因为 $∠ CFE+∠ GHB=60°$,所以 $∠ GHB=∠ DFG$,所以 $AB// CD$.
(2) 解:过点 N 在 NF 右侧作 $NQ// AB$. 设 $∠ GHB=∠ DFG=α$,则 $∠ EFD=∠ EFG+∠ DFG=120°+α$,$∠ AHG=180°-∠ GHB=180°-α$. 因为 FN 平分$∠ EFD$,HN 平分$∠ AHG$,所以 $∠ DFN=\dfrac{1}{2}∠ EFD=\dfrac{1}{2}(120°+α)=60°+\dfrac{1}{2}α$,$∠ AHN=\dfrac{1}{2}∠ AHG=\dfrac{1}{2}(180°-α)=90°-\dfrac{1}{2}α$. 因为 $AB// CD$,$NQ// AB$,所以 $NQ// AB// CD$. 所以 $∠ QNH=∠ AHN=90°-\dfrac{1}{2}α$,$∠ QNF=180°-∠ DFN=180°-(60°+\dfrac{1}{2}α)=120°-\dfrac{1}{2}α$,所以 $∠ HNF=∠ QNF-∠ QNH=(120°-\dfrac{1}{2}α)-(90°-\dfrac{1}{2}α)=30°$,即 $∠ N=30°$.
(3) 解:$∠ BHP+∠ FHP=180°$或$∠ FHP-∠ BHP=60°$. 提示:①如图 1,当点 P 在 CD 上方时,过点 P 作 $PT// AB$. 设 $∠ CFI=β$. 因为 FI 平分$∠ CFE$,所以 $∠ CFE=2∠ CFI=2β$,所以 $∠ CFG=∠ EFG+∠ CFE=120°+2β$. 因为 $PT// AB$,$AB// CD$,所以 $PT// AB// CD$,所以 $∠ AHP=∠ HPT$,$∠ FPT=∠ CFI=β$,$∠ BHF=∠ CFG=120°+2β$. 因为 $∠ HPF=∠ HPT+∠ FPT=∠ AHP+∠ CFI$,即 $30°=∠ AHP+β$,所以 $∠ AHP=30°-β$,所以 $∠ BHP=180°-∠ AHP=180°-(30°-β)=150°+β$,所以 $∠ FHP=∠ BHP-∠ BHF=150°+β-(120°+2β)=30°-β$,所以 $∠ BHP+∠ FHP=150°+β+30°-β=180°$,即 $∠ BHP+∠ FHP=180°$.
②如图 2,当点 P 在 CD 下方时,同理过点 P 作 $PT// AB$,则 $PT// AB// CD$. 设 $∠ CFI=\gamma$,则 $∠ DFP=∠ CFI=\gamma$,$∠ CFE=2∠ CFI=2\gamma$,所以 $∠ CFG=∠ EFG+∠ CFE=120°+2\gamma$. 因为 $PT// CD$,所以 $∠ FPT=∠ DFP=\gamma$. 因为 $AB// PT$,所以 $∠ BHP=∠ HPT=∠ HPF+∠ FPT=30°+\gamma$. 因为 $AB// CD$,所以 $∠ BHF=∠ CFG=120°+2\gamma$. 所以 $∠ FHP=∠ BHF-∠ BHP=120°+2\gamma-(30°+\gamma)=90°+\gamma$,所以 $∠ FHP-∠ BHP=(90°+\gamma)-(30°+\gamma)=60°$.
综上所述,$∠ BHP+∠ FHP=180°$或$∠ FHP-∠ BHP=60°$.

【分析】
这是一道平行线相关的递进式综合探究题，解题思路可分步梳理：
1. 第(1)问要证明AB//CD，可通过同位角相等推导：CD是直线，平角为180°，结合已知∠EFG=120°，可算出∠CFE+∠DFG=60°，和题目给出的∠CFE+∠GHB=60°对比，就能得到相等的同位角∠GHB=∠DFG，直接证得两直线平行。
2. 第(2)问求∠N的定值，属于平行线间带拐点的角度问题，常规做法是过拐点N作平行于AB的辅助线NQ，结合已证的AB//CD，推出NQ//AB//CD，设参数α表示相关角，利用角平分线定义和平行线的内错角、同旁内角性质计算，最终消去参数得到∠N的固定值。
3. 第(3)问推导两角数量关系，需要对点P的位置分类讨论：分为P在CD上方、P在CD下方两种情况，同样过点P作平行于AB的辅助线，结合角平分线定义和平行线性质设参数推导，最终得到两种不同的结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠EFG=120°，CD为直线，
∴ ∠CFE + ∠DFG = 180° - ∠EFG = 180° - 120° = 60°，
又
∵ ∠CFE + ∠GHB = 60°，
∴ ∠GHB = ∠DFG，
根据同位角相等，两直线平行，可得AB//CD。
(2) 解：
过点N在NF右侧作NQ//AB，
设∠GHB=∠DFG=α，
则∠EFD = ∠EFG + ∠DFG = 120° + α，∠AHG = 180° - ∠GHB = 180° - α，
∵ FN平分∠EFD，HN平分∠AHG，
∴ ∠DFN = $\frac{1}{2}$∠EFD = $\frac{1}{2}(120°+α)$ = 60° + $\frac{1}{2}α$，
∠AHN = $\frac{1}{2}$∠AHG = $\frac{1}{2}(180°-α)$ = 90° - $\frac{1}{2}α$，
∵ AB//CD，NQ//AB，
∴ NQ//AB//CD，
∴ ∠QNH = ∠AHN = 90° - $\frac{1}{2}α$，
∠QNF = 180° - ∠DFN = 180° - (60° + $\frac{1}{2}α$) = 120° - $\frac{1}{2}α$，
∴ ∠HNF = ∠QNF - ∠QNH = $(120° - \frac{1}{2}α) - (90° - \frac{1}{2}α)$ = 30°，
即∠N = 30°。
(3) 解：分两种情况讨论：
① 当点P在CD上方时，过点P作PT//AB，
设∠CFI=β，
∵ FI平分∠CFE，
∴ ∠CFE=2∠CFI=2β，
∴ ∠CFG = ∠EFG + ∠CFE = 120° + 2β，
∵ PT//AB，AB//CD，
∴ PT//AB//CD，
∴ ∠AHP = ∠HPT，∠FPT = ∠CFI = β，∠BHF = ∠CFG = 120° + 2β，
∵ ∠HPF = ∠HPT + ∠FPT = ∠AHP + ∠CFI，即30° = ∠AHP + β，
∴ ∠AHP = 30° - β，
∴ ∠BHP = 180° - ∠AHP = 180° - (30° - β) = 150° + β，
∴ ∠FHP = ∠BHP - ∠BHF = 150° + β - (120° + 2β) = 30° - β，
∴ ∠BHP + ∠FHP = 150° + β + 30° - β = 180°。
② 当点P在CD下方时，过点P作PT//AB，
设∠CFI=γ，
∵ FI平分∠CFE，
∴ ∠CFE=2∠CFI=2γ，
∴ ∠CFG = ∠EFG + ∠CFE = 120° + 2γ，
∵ PT//AB，AB//CD，
∴ PT//AB//CD，
∴ ∠FPT = ∠DFP = ∠CFI = γ，∠BHP = ∠HPT = ∠HPF + ∠FPT = 30° + γ，
∵ AB//CD，
∴ ∠BHF = ∠CFG = 120° + 2γ，
∴ ∠FHP = ∠BHF - ∠BHP = 120° + 2γ - (30° + γ) = 90° + γ，
∴ ∠FHP - ∠BHP = (90° + γ) - (30° + γ) = 60°。
综上可得∠BHP + ∠FHP = 180° 或 ∠FHP - ∠BHP = 60°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ∠N=30°；
(3) ∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP−∠BHP=60°


【知识点】
平行线判定，平行线性质，角平分线定义
【点评】
本题是平行线章节的递进式探究题，难度逐层上升，第一问考察基础的平行线判定，属于基础得分点；第二问考察平行线拐点辅助线的构造，通过设参数消元得到角度定值，是平行线类题目的常用解题技巧；第三问需要对点的位置进行分类讨论，很容易出现漏解，综合考察了平行线性质的灵活运用和分类讨论的数学思想，能有效检验学生对平行线相关知识的综合掌握程度。
【难度系数】
0.3