一、选择题
1. 将70个棱长为1 cm的正方体积木拼在一起,构成一个实心的长方体. 若长方体底面的周长为18 cm,则这个长方体的高是（）

A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm

1. B 提示:设这个长方体的长、宽、高分别是a cm,b cm,c cm,根据题意,得a+b=9,abc=70. 因为a,b,c 是正整数,所以 a=7,b=2,则这个长方体的高c=70÷7÷2=5(cm).

【分析】
我们先梳理已知条件：70个棱长1cm的正方体拼成实心长方体，说明长方体的体积就是70cm³；已知底面周长是18cm，底面是长方形，根据周长公式可以先推导出底面长和宽的和。由于拼搭的积木棱长都是1cm，长方体的长、宽、高必然都是正整数，结合体积公式，我们只需要在满足长+宽=9的所有正整数长宽组合里，筛选出长宽乘积是70的正因数的组合，就能快速算出高的数值。
【解析】
解：设长方体的长为a cm，宽为b cm，高为c cm，且a、b、c均为正整数。
1. 由底面周长为18cm，代入长方形周长公式：
$2(a + b) = 18$，化简得 $a + b = 9$
2. 实心长方体的体积等于70个小正方体的体积和，即体积为70 $cm^3$，代入长方体体积公式：
$a× b× c = 70$
3. 枚举所有满足$a + b = 9$的正整数(a,b)组合，验证$a× b$是否为70的正因数：
当a=8，b=1时，$a× b=8$，70不能被8整除，不符合要求；
当a=7，b=2时，$a× b=14$，$c=70÷14=5$，是正整数，符合要求；
当a=6，b=3时，$a× b=18$，70不能被18整除，不符合要求；
当a=5，b=4时，$a× b=20$，70不能被20整除，不符合要求；
因此唯一符合条件的高为5cm。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算，长方形周长公式，整数因数分解
【点评】
本题是立体几何基础应用题，核心是挖掘出拼搭得到的长方体长宽高均为正整数的隐含条件，无需复杂代数运算，通过简单枚举筛选即可得到结果，重点考察学生对几何体拼搭性质的理解，以及结合整数特性快速解题的思维。
【难度系数】
0.7

2. 如图,硬纸板上有10个无阴影的正方形,从中选1个,使得它与图中5个有阴影的正方形一起能折叠成一个正方体纸盒,选法应该有（）

A.4种
B.5种
C.6种
D.7种

2. A 提示:如图所示,选法有4种.

【分析】
我们的解题思路是先回忆正方体展开图的基本规则：总共有6个面，不能出现“田”字形、“凹”字形的结构，任意一行的正方形数量最多不能超过4个。现在已经有5个阴影正方形，只需要再选1个无阴影的，就能凑成6个面，我们只需要逐一排查10个无阴影正方形，把不符合展开图规则的位置全部排除，剩下的就是符合要求的位置，数出数量就能得到答案。首先排除选了之后一行出现5个正方形的位置，再排除会形成“田”字结构的位置，最后剩下的合法位置刚好是4个。
【解析】
解：结合正方体展开图的判定规则逐一分析：
1. 正方体展开图的必要条件：共6个正方形，不存在“田”字形、“凹”字形结构，任意一行/列的正方形数量不超过4个。
2. 对10个无阴影正方形逐一排查：
第二行最左、最右的2个空白：选中后第二行将有5个并排正方形，不符合“一行最多4个”的要求，直接排除；
第三行靠左的2个空白：选中后会和相邻的2个阴影正方形组成“田”字形结构，无法折叠成封闭正方体，排除；
第四行的2个空白：选中后拼接的图形存在面重叠，无法构成正方体，排除；
剩余的4个无阴影正方形，选中后均可组成合法的正方体展开图，符合折叠要求。
因此符合条件的选法共有4种。
【答案】
A
【知识点】
正方体展开图
【点评】
本题考查正方体展开图的识别与判断，不需要完全靠空间想象硬推，通过牢记展开图的禁忌结构（田字、凹字、一行超4个）就可以快速排除错误位置，降低解题难度，同时也可以通过模拟折叠的方式对选出的位置进行验证，避免数错数量。
【难度系数】
0.6

3. 如图，$∠ AOB = ∠ COD = ∠ EOF = 90°$，则图中$∠ 1, ∠ 2, ∠ 3$三个角的数量关系为（）

A.$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 90°$
B.$∠ 1 + ∠ 2 - ∠ 3 = 90°$
C.$2∠ 1 - ∠ 2 + ∠ 3 = 90°$
D.$∠ 1 + 2∠ 2 - ∠ 3 = 90°$

3. A 提示:由题意可得∠1+∠COE+∠3=90°,∠COE+∠3+∠BOD=90°,所以∠1=∠BOD.因为∠BOD+∠2+∠3=90°,所以∠1+∠2+∠3=90°.

【分析】
我们可以从题目给出的三个90°直角条件出发，通过拆分直角、等量代换的思路推导三个角的关系：
1. 先拆分∠AOB=90°，它由∠1、中间角∠COE、∠3组成，得到第一个和为90°的等式；
2. 再拆分∠COD=90°，它由∠COE、∠3、中间角∠BOD组成，得到第二个和为90°的等式；
3. 对比两个等式，就能推出∠1和∠BOD相等，完成第一次等量替换；
4. 最后拆分∠EOF=90°，把其中的∠BOD替换成∠1，就能直接得到∠1、∠2、∠3三者的数量关系。
【解析】
解：
1. 由∠AOB=90°，将其拆分为三个角的和可得：
$∠ 1 + ∠ COE + ∠ 3 = 90°$
2. 由∠COD=90°，将其拆分为三个角的和可得：
$∠ COE + ∠ 3 + ∠ BOD = 90°$
对比上述两个等式，可推出$∠ 1 = ∠ BOD$。
3. 由∠EOF=90°，将其拆分为三个角的和可得：
$∠ 3 + ∠ BOD + ∠ 2 = 90°$
将$∠ BOD = ∠ 1$代入上式，最终得到：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 90°$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】角的和差运算，同角的余角相等
【点评】本题是角的运算基础题型，核心是通过拆分已知直角得到多组互余角，利用等量代换消去中间未知角，无需计算单个角的具体度数就能推导出目标角的关系，能有效巩固学生对余角性质、角和差拆分的应用能力。
【难度系数】0.7

4. 某公司员工分别在 A,B,C 三个住宅区，A 区有 30 人,B 区有 15 人,C 区有 10 人，如图所示,三个住宅区在一条直线上,该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,使所有人所走路程之和最短,那么它的位置应设在 （）


A.A 区
B.B 区
C.C 区
D.A,B 两区之间

4. A 提示:若设在 A 区,则所走路程之和为15×100+10×300=4 500(m);若设在 B 区,则所走路程之和为 30×100+10×200=5 000(m);若设在 C 区,则所走路程之和为 30×300+15×200=12 000(m);若设在A,B 两区之间,设距离 A 区有 x m,则 30x+15(100-x)+10(300-x)=4 500+5x＞4 500.故停靠点的位置应设在 A 区.

【分析】
我们要找到让所有员工步行总路程最短的停靠点，核心思路是分不同候选位置逐一计算总路程，再对比大小选出最小值对应的位置：
1. 首先明确三个住宅区的间距：A到B距离为100m，B到C距离为200m，因此A到C总距离为300m。
2. 分别计算停靠点设在A区、B区、C区、A和B之间这几种情况的总路程，对比所有结果，数值最小的对应的位置就是最优停靠点。
3. 对于A、B两区之间的位置，可以设距离A区x米，用代数式表示总路程，分析它的取值范围，就能判断它和设在A区的总路程的大小关系。
【解析】
已知AB=100m，BC=200m，AC=300m，分情况计算所有人的总步行路程：
① 若停靠点设在A区：
总路程 = B区员工总路程 + C区员工总路程 = 15×100 + 10×300 = 4500 m
② 若停靠点设在B区：
总路程 = A区员工总路程 + C区员工总路程 = 30×100 + 10×200 = 5000 m
③ 若停靠点设在C区：
总路程 = A区员工总路程 + B区员工总路程 = 30×300 + 15×200 = 12000 m
④ 若停靠点设在A、B两区之间，设停靠点距离A区x m（0＜x＜100）：
总路程 = 30x + 15×(100 - x) + 10×(300 - x)
化简得：总路程 = 5x + 4500
由于0＜x＜100，因此5x＞0，可得总路程=4500+5x＞4500 m，比设在A区的总路程更大。
对比所有情况的总路程，4500m是最小值，因此停靠点设在A区时所有人走的路程之和最短。
【答案】A
【知识点】
选址优化问题，路程计算
【点评】
本题是带人数权重的最短路径选址问题，不能直接默认选择中间点，需要结合各区域的人数权重分情况计算对比，通过设未知数分析区间内的总路程变化，可严谨排除区间内存在更优解的可能，帮助学生掌握这类方案优选问题的解题逻辑。
【难度系数】
0.5

5. 如图,在科学活动课《光的反射》中,小明同学将支架平面镜放置在水平桌面 $MN$ 上,镜面 $AB$ 的调节角($∠ ABM$)的调节范围为 $12° ∼ 70°$,激光笔发出的光束$DC$ 射到平面镜上. 若激光笔与水平天花板(直线 $EF$)的夹角$∠ EPC=30°$,则反射光束 $CH$ 与天花板所形成的角($∠ PHC$)不可能取到的度数为 （）


A.$20°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$120°$

5. B 提示:设∠ABM=α,则12°≤α≤70°.过点C向右侧作CQ//MN,则∠QCB=∠MBC=α,易知CQ//EF,所以∠PCQ=∠EPC=30°,所以∠PCB=∠PCQ+∠QCB=30°+α.故当α=60°时,∠PCB=90°,由光的反射规律可知,此时CH将沿CP返回,即点P,H重合,此时∠PHC不存在.
①如图1,当12°≤α＜60°时,延长BA交EF于点R.由入射角等于反射角可知,点H在点P的左侧,∠RCH=∠PCB=30°+α. 因为 EF//MN,所以∠HRC=∠CBM=α. 在三角形 RHC 中,∠RHC+∠HRC+∠RCH=180°. 又因为∠RHC+∠PHC=180°,所以∠PHC=∠HRC+∠RCH=30°+2α. 当α从12°增大至60°时,∠PHC不断增大(点H不断右移),从54°增大至150°(不含).
②如图2,当60°＜α≤70°时,∠PCB=∠ACH=30°+α,为钝角,故点H在点P的右侧.易知∠PCH=∠PCB+∠ACH-180°=2α-120°,∠HPC=180°-∠EPC=150°,所以在三角形 PHC 中,∠PHC=180°-∠HPC-∠PCH=150°-2α. 当α从60°增大至70°时,∠PHC不断减小(点H不断右移),从30°(不含)减小至10°.

【分析】
这是一道结合光的反射规律的跨学科几何角度推导题，解题思路如下：1. 先设镜面调节角∠ABM=α，明确α的取值范围是12°≤α≤70°；2. 作平行于水平桌面MN的辅助线CQ，利用平行线的内错角相等性质，把已知的∠EPC和α关联，求出入射光线与镜面的夹角；3. 找到特殊分界点α=60°，此时入射光线垂直镜面，反射光沿原路返回，以此将问题分为α＜60°和α＞60°两类讨论；4. 分别结合光的反射定律、三角形内角和定理，推导两种情况下∠PHC的取值范围；5. 比对四个选项，判断不在取值范围内的角度，即为不可能的度数。
【解析】
解：设镜面调节角∠ABM=α，由题意得12°≤α≤70°。
1. 作辅助线：过点C向右侧作CQ//MN，
由平行线内错角相等，得∠QCB=∠ABM=α，
又因为EF//MN，因此CQ//EF，可得∠PCQ=∠EPC=30°，
因此入射光线CP与镜面CB的夹角∠PCB=∠PCQ+∠QCB=30°+α。
2. 确定分界点：当α=60°时，∠PCB=30°+60°=90°，此时入射光线垂直于镜面，反射光线将沿入射路径CP返回，点H与点P重合，∠PHC不存在，以此为分界分两类讨论：
① 当12°≤α＜60°时：
根据光的反射定律，反射光线CH与镜面CA的夹角等于入射光线CP与镜面CB的夹角，即∠RCH=∠PCB=30°+α。
因为EF//MN，所以∠HRC=∠CBM=α，
在△RHC中，由三角形内角和为180°得∠RHC+∠HRC+∠RCH=180°，
又因为∠RHC+∠PHC=180°，代入化简得∠PHC=∠HRC+∠RCH=α+30°+α=30°+2α。
代入α的范围计算得：54°≤∠PHC＜150°。
② 当60°＜α≤70°时：
此时∠PCB=30°+α＞90°，反射光线CH在CP的另一侧，由反射定律得∠ACH=∠PCB=30°+α，
因此∠PCH=∠PCB+∠ACH-180°=2α-120°。
已知∠EPC=30°，因此∠HPC=180°-∠EPC=150°，
在△PHC中，由三角形内角和为180°得∠PHC=180°-∠HPC-∠PCH=150°-2α。
代入α的范围计算得：10°≤∠PHC＜30°。
3. 综合两类情况，∠PHC的所有可能取值范围为10°≤∠PHC＜30°、54°≤∠PHC＜150°。
比对选项：20°、70°、120°都在上述范围内，50°不在范围内，因此不可能取到的是50°。
【答案】
B


【知识点】
光的反射定律；平行线性质；三角形内角和
【点评】
本题是物理光学与平面几何结合的跨学科综合题，核心是通过辅助线转化角度，找到特殊分界点进行分类讨论，推导目标角的完整取值范围，解题时容易忽略α=60°的分界情况，导致角度区间计算错误，需要注意分类的完整性。
【难度系数】
0.3

二、填空题
6. 如图$,AB// CD$,M 是平面内一点,连接$MB,MC,∠ MCD$的平分线与$∠ ABM$的平分线交于点 N. 若$∠ CNB=120°$,则$∠ M$的度数为.

6. 60° 提示:如图,过点 M 作EF//AB,过点 N作 PQ//AB. 因为 AB//CD,所以 EF//PQ//AB//CD,所以∠EMC=∠MCD,∠FMB=∠MBA,所以∠CMB=180°-(∠EMC+∠FMB)=180°-(∠MCD+∠MBA), 同理可得∠CNB=180°-(∠NCD+∠NBA). 因为∠CNB=120°,所以∠NCD+∠NBA=60°. 因为∠MCD 的平分线与∠ABM 的平分线交于点N,所以∠NBA=1/2∠MBA,∠NCD=1/2∠MCD,所以∠MCD+∠MBA=2(∠NCD+∠NBA)=120°. 所以∠CMB=180°-(∠MCD+∠MBA)=60°.

【分析】
这道题属于平行线间的拐点类问题，解题的核心思路是利用平行线的性质，通过作辅助线构造平行关系转化角度：
1. 遇到平行线中的拐点，优先过拐点作已知直线的平行线，利用平行的传递性得到多条互相平行的直线，将待求角和已知角拆分为可通过平行线性质关联的小角。
2. 先从已知的∠CNB=120°入手，过N作平行于AB的直线，结合AB//CD，推导出∠NCD与∠NBA的和。
3. 结合角平分线的定义，得到∠MCD与∠ABM的和是上述两个小角和的2倍。
4. 再过M作平行于AB的直线，同理推导∠M和∠MCD、∠ABM的数量关系，代入计算即可得到∠M的度数。
【解析】
解：过点M作EF//AB，过点N作PQ//AB。
∵ AB//CD，
∴ 由平行的传递性可得：EF//PQ//AB//CD，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠EMC=∠MCD，∠FMB=∠MBA，
又
∵ ∠EMC + ∠CMB + ∠FMB = 180°，
∴ ∠CMB = 180° - (∠EMC + ∠FMB) = 180° - (∠MCD + ∠MBA)。
同理，对拐点N可得：∠CNB = 180° - (∠NCD + ∠NBA)。
已知∠CNB=120°，代入得：120° = 180° - (∠NCD + ∠NBA)，
计算得∠NCD + ∠NBA = 60°。
∵ CN平分∠MCD，BN平分∠ABM，
∴ ∠NBA = 1/2 ∠MBA，∠NCD = 1/2 ∠MCD，
因此∠MCD + ∠MBA = 2(∠NCD + ∠NBA) = 2×60° = 120°。
将其代入∠CMB的表达式，可得∠CMB = 180° - 120° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是平行线拐点模型的典型题型，核心考点是过拐点作平行线的辅助线构造方法，不需要死记模型结论，只要掌握通过平行线转化角度的思路，逐步推导已知角和待求角的关联即可求解，需要注意区分不同位置拐点对应的角度和关系，避免和“铅笔头模型”的角度结论混淆。
【难度系数】
0.6

7. 已知$∠ AOB=90^{ \circ }$，以$O$为端点画射线$OM$. 将射线$OM$沿直线$OA$翻折，得到射线$ON$，将射线$OM$绕点$O$顺时针旋转$60^{ \circ }$，得到射线$OP$. 若$∠ NOP=10^{ \circ }$，则$∠ MOB=$.

7. 125°或115°或55°或65° 提示:由题意可知,OM 关于∠AOB 的位置关系有如图1和图2所示的两种情况,在每种情况下 OP 与 ON 的位置关系又各有两种. 如图1,当∠M₁OA=∠N₁OA 时,若∠M₁OP₁=60°,则∠N₁OP₁=10°,所以∠M₁ON₁=70°,所以∠M₁OA=∠N₁OA=35°,所以∠M₁OB=125°;若∠M₁OP₂=60°,则∠N₁OP₂=10°,所以∠M₁ON₁=50°,所以∠M₁OA=∠N₁OA=25°,所以∠M₁OB=115°. 如图2,当∠M₂OA=∠N₂OA 时,若∠M₂OP₃=60°,则∠P₃ON₂=10°,所以∠M₂ON₂=70°,所以∠M₂OA=∠N₂OA=1/2×(360°-70°)=145°,所以∠M₂OB=55°;若∠M₂OP₄=60°,则∠N₂OP₄=10°,所以∠M₂ON₂=50°,所以∠M₂OA=∠N₂OA=1/2×(360°-50°)=155°,所以∠M₂OB=65°.

【分析】
这是一道无配图的多解几何题，解题思路如下：1. 先明确两个变换的性质：① 射线OM沿OA翻折得ON，根据翻折的轴对称性，OA是∠MON的角平分线，即∠MOA=∠NOA；② OM绕O顺时针转60°得OP，因此∠MOP=60°。2. 结合已知∠NOP=10°，先初步得到∠MON的两种可能：当ON、OP在OM同侧时，∠MON=∠MOP-∠NOP=50°；当ON、OP在OM异侧时，∠MON=∠MOP+∠NOP=70°。3. 由于题目没有限定OM的位置，因此要分两大类别讨论：第一类是OM与OB分别在OA的两侧，此时∠MOA为锐角，∠MOB=∠AOB+∠MOA；第二类是OM与OB在OA的同侧且超出∠AOB的范围，此时∠MOA为钝角，∠MOB=∠MOA-∠AOB，代入计算即可得到全部解，避免漏解。
【解析】
解：由翻折的轴对称性质可得：OA平分∠MON，即∠MOA=∠NOA；
由旋转的性质可得：∠MOP=60°。
已知∠NOP=10°，分两类大情况讨论：
1. 当OM和OB分别在OA的异侧时：
① 若ON、OP在OM异侧，可得∠MON=∠MOP+∠NOP=60°+10°=70°，
则∠MOA=1/2∠MON=35°，
因此∠MOB=∠AOB+∠MOA=90°+35°=125°；
② 若ON、OP在OM同侧，可得∠MON=∠MOP-∠NOP=60°-10°=50°，
则∠MOA=1/2∠MON=25°，
因此∠MOB=∠AOB+∠MOA=90°+25°=115°。
2. 当OM和OB在OA的同侧，且OM位于∠AOB的外侧时：
① 若ON、OP在OM异侧，可得∠MON=70°，
则∠MOA=1/2×(360°-∠MON)=1/2×(360°-70°)=145°，
因此∠MOB=∠MOA-∠AOB=145°-90°=55°；
② 若ON、OP在OM同侧，可得∠MON=50°，
则∠MOA=1/2×(360°-∠MON)=1/2×(360°-50°)=155°，
因此∠MOB=∠MOA-∠AOB=155°-90°=65°。
综上，∠MOB的所有可能值为125°或115°或55°或65°。
【答案】
125°或115°或55°或65°
【知识点】
轴对称性质，旋转性质，角的分类计算
【点评】
本题是典型的无图多解几何题，多数同学容易因为遗漏射线OM的位置分类、或者OP与ON的相对位置分类出现漏解，解题核心是先从变换性质出发确定角的等量关系，再按照位置关系逐级分类，做到不重不漏，能很好地锻炼几何分类讨论的思维严谨性。
【难度系数】
0.3

8. 如图,某同学为研究 12 点$t(0＜t＜60)$分时的钟面角,把数字 12 所在的刻度记为点A,把时针记为 OB,分针记为 OC. 当 OA,$OB$,$OC$ 两两所夹的三个角$∠ AOB$,$∠ AOC,∠ BOC$中有两个角相等时,$t$的值为(本题中所有角的度数均不超过$180°$).

8. 720/13或720/23 提示:因为钟表一周为360°.所以分针每分钟走 360÷60=6°,时针每分钟走 360°÷12÷60=0.5°.根据题意,得∠AOB=0.5t°.① 当 0＜t≤30 时,∠AOB=0.5t°,∠AOC=6t°,∠BOC=∠AOC-∠AOB=5.5t,不存在相等的两个角,故此种情况不符合题意;②当 5.5t＜180＜6t,即30＜t＜360/11时,∠AOB=0.5t°,∠AOC=360°-6t°,∠BOC=5.5t°,此时可能相等的两个角是∠AOC=∠BOC,即5.5t=360-6t,解得t=720/23;③当 5.5t＞180,即360/11＜t＜60 时,∠AOB=0.5t°,∠AOC=360°-6t°,∠BOC=360°-5.5t°,此时可能相等的两个角是∠AOC=∠AOB,即0.5t=360-6t,解得t=720/13.综上所述,当t=720/13或720/23时,三个角中有两个角相等.

【分析】
解题时首先要明确钟表上时针和分针的转动速度：钟表一圈为360°，分针60分钟转完一圈，因此每分钟转6°；时针12小时转完一圈，换算为分钟后可得每分钟转0.5°。接下来需要根据t的不同取值范围，结合题目中“所有角的度数均不超过180°”的规则，分别表示出∠AOB、∠AOC、∠BOC三个角的度数，先排除不可能出现两角相等的区间，再在符合条件的区间内列方程求解，最终得到所有符合要求的t值。
【解析】
解：首先计算时针和分针的转动速度：
分针每分钟转过的角度：$360° ÷ 60 = 6°$
时针每分钟转过的角度：$360° ÷ 12 ÷ 60 = 0.5°$
因此$∠ AOB = 0.5t°$，接下来分区间讨论三个角的取值：
① 当$0 ＜ t ≤ 30$时：
分针未走过钟面半圈，$∠ AOC = 6t°$，$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 5.5t°$，三个角分别为$0.5t°$、$6t°$、$5.5t°$，不存在两个角相等的情况，不符合题意，舍去。
② 当$30 ＜ t ＜ \frac{360}{11}$时：
此时满足$5.5t ＜ 180° ＜ 6t$，结合角不超过180°的要求，$∠ AOC = 360° - 6t°$，$∠ BOC = 5.5t°$，仅存在$∠ AOC = ∠ BOC$这一种相等的可能，列方程：
$5.5t = 360 - 6t$
解得$t = \frac{720}{23}$，符合该区间范围。
③ 当$\frac{360}{11} ＜ t ＜ 60$时：
此时满足$5.5t ＞ 180°$，结合角不超过180°的要求，$∠ AOC = 360° - 6t°$，$∠ BOC = 360° - 5.5t°$，仅存在$∠ AOC = ∠ AOB$这一种相等的可能，列方程：
$0.5t = 360 - 6t$
解得$t = \frac{720}{13}$，符合该区间范围。
综上可得符合条件的t值。
【答案】
$\frac{720}{13}$或$\frac{720}{23}$
【知识点】
1.钟面角计算
2.一元一次方程应用
3.分类讨论思想
【点评】
本题是钟面角的拓展题型，核心易错点是忽略题目中“所有角的度数均不超过180°”的限制，没有分区间动态表示三个角的度数，直接随意列相等方程导致出现错解、多解。解题时要先根据时针分针的转速差划分合理的讨论区间，逐一验证相等条件，才能得到全部正确结果。
【难度系数】
0.3

9. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分$∠ BOD$.
(1) 若$∠ EOF=55°,OD⊥ OF$,则$∠ AOC=$.
(2) 若 OF 平分$∠ COE$,$∠ BOF=15°$,则$∠ DOE=$.

9. (1) 70° (2) 50° 提示:(1) 因为 OE 平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE. 因为∠EOF=55°,OD⊥OF,所以∠DOE=90°-55°=35°,所以∠BOD=2∠DOE=70°. 又因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC=70°.(2) 因为 OF 平分∠COE,所以∠COF=∠EOF.因为∠BOF=15°,所以设∠DOE=∠BOE=x°,则∠COF=(x+15)°,所以x+15+x+15+x=180,解得x=50. 所以∠DOE 的度数为 50°.

【分析】
这是相交线相关的角度计算问题，我们分两小问梳理解题思路：
(1) 首先由OD⊥OF直接得到∠DOF=90°，结合已知的∠EOF=55°，先算出∠DOE的度数；再利用OE平分∠BOD的条件，得到∠BOD是∠DOE的2倍；最后根据对顶角相等的性质，∠AOC和∠BOD是直线AB、CD相交形成的对顶角，二者数值相等，即可求出∠AOC。
(2) 本问有两个角平分线条件，直接推导较繁琐，我们可以用设未知数的方法简化计算：设∠DOE=x，由OE平分∠BOD得∠BOE也等于x，结合已知∠BOF=15°，可以表示出∠EOF=x+15°；再由OF平分∠COE，得∠COF=∠EOF=x+15°；最后利用C、O、D共线，平角∠COD=180°的性质，列出关于x的一元一次方程，求解就能得到∠DOE的度数。
【解析】
(1) 已知OD⊥OF，因此∠DOF=90°，
因为∠EOF=55°，所以∠DOE = ∠DOF - ∠EOF = 90° - 55° = 35°，
又因为OE平分∠BOD，所以∠BOD = 2∠DOE = 2×35° = 70°，
由于直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，可得∠AOC=∠BOD=70°。
(2) 设∠DOE = x，
因为OE平分∠BOD，所以∠BOE = ∠DOE = x，
已知∠BOF=15°，因此∠EOF = ∠BOE + ∠BOF = x + 15°，
又因为OF平分∠COE，所以∠COF = ∠EOF = x + 15°，
因为点C、O、D在同一直线上，∠COD为平角，即∠COF + ∠EOF + ∠DOE = 180°，
代入得：(x+15°) + (x+15°) + x = 180°，
整理得3x + 30° = 180°，解得x=50°，即∠DOE=50°。
【答案】(1) 70° (2) 50°
【知识点】对顶角相等，角平分线定义，平角性质
【点评】本题属于相交线角度计算的经典基础题型，第一问直接结合垂直、角平分线、对顶角的性质逐步推导即可得出结果；第二问通过设未知数建立方程求解，是多角数量关系复杂时非常实用的解题技巧，能有效避免推导过程中出现逻辑混乱。
【难度系数】0.7