三、解答题
10. 如图,若将类似于$a,b,c,d$ 四个图的图形称作平面图,则其交点数、边数和区域数之间存在某种关系. 观察图表中对应的数值,探究计数的方法并作答.

(1) 数一数每个图中各有多少个交点、多少条边,这些边围出多少个区域,并填表.

(2) 根据表中数值,写出平面图的交点数、边数和区域数之间的关系.
(3) 利用(2)中得出的关系,解决如下问题:如果一个平面图交点数$S$ 为 20,区域数$N$ 为 11,求这个平面图的边数$M$.

10. 解:(1) 填表如下：
| 平面图 | a | b | c | d |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 交点数(S) | 4 | 7 | 8 | 10 |
| 边数(M) | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 区域数(N) | 3 | 3 | 5 | 6 |
(2) 观察表中数据,得4+3-6=1,7+3-9=1,8+5-12=1,10+6-15=1,所以交点数(S)+区域数(N)-边数(M)=1.
(3) 由(2),得边数(M)=交点数(S)+区域数(N)-1=20+11-1=30.

【分析】
这道题属于规律探究类题目，解题思路可以分三步推进：
1. 第一小问：逐个观察a、b、c、d四个平面图，分别数出每个图中线条相交得到的交点总数、所有线段的总条数、被边划分出的区域总数，计数时做到不重复、不遗漏，将数值填入对应表格即可。
2. 第二小问：将表格中每一组的交点数S、边数M、区域数N三个数值进行加减组合尝试，计算后发现所有组都满足同一个恒等式，即可归纳得到三者的通用关系。
3. 第三小问：把第二问推导得到的关系式做代数变形，将已知的S=20、N=11代入变形后的式子，直接计算就能得到边数M的结果。
【解析】
(1) 逐个对四个平面图计数：
图a：交点数为4，边数为6，围出的区域数为3
图b：交点数为7，边数为9，围出的区域数为3
图c：交点数为8，边数为12，围出的区域数为5
图d：交点数为10，边数为15，围出的区域数为6
将上述数值填入对应表格即可。
(2) 对每组数据做运算验证：
图a：$4+3-6=1$
图b：$7+3-9=1$
图c：$8+5-12=1$
图d：$10+6-15=1$
所有组的运算结果都为1，因此可以归纳得到三者的关系：交点数$S$ + 区域数$N$ - 边数$M = 1$。
(3) 将关系式$S+N-M=1$变形，可得$M = S + N - 1$，代入$S=20$，$N=11$：
$M = 20 + 11 - 1 = 30$
【答案】
(1) 填表结果为：
| 平面图 | a | b | c | d |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 交点数(S) | 4 | 7 | 8 | 10 |
| 边数(M) | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 区域数(N) | 3 | 3 | 5 | 6 |
(2) 交点数、边数、区域数的关系为：$S + N - M = 1$（即交点数+区域数-边数=1）
(3) 该平面图的边数M为30
【知识点】
平面图欧拉公式，规律探究，代数式求值
【点评】
本题是从特殊实例归纳通用规律的典型探究题，难度梯度设置合理，从基础计数到规律推导再到公式应用，逐步引导学生完成从具象到抽象的思维升级，解题时要注意计数过程不重不漏，得到初步规律后要代入所有已知数据验证，避免得出错误结论。
【难度系数】
0.7

11. 如图1,在一张正方形纸片(正方形的两组对边分别平行)的两边上分别有$A,B$两点,连接$AB,P$
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是正方形纸片上一点,过点$P$翻折纸片,使点$B$落在直线$AB$上的点$B'$处,折痕$MN$交$AB$于点$Q$.
(1) ①判断折痕$MN$与$AB$的位置关系,并说明理由；
②通过不断地尝试,除了上面的折法,过点$P$再也折不出其他折痕与$AB$有①中的位置关系,其中的数学道理是.
(2) 在图1的基础上,展平纸片,得到图2,在图2中过点$P$折出并画出与$AB$平行的折痕$DE$(折痕左端点记为$D$,右端点记为$E$),请简要阐述折叠方法并说明理由.
(3) 将图2的纸片展平得到图3,$S$是线段$FG$上一动点(不与点$E$重合).若$∠ DEF=26°$,$∠ EDS=α$,$∠ CAS=β$,请直接写出$∠ DSA$的度数(用含$α,β$的代数式表示).

11. 解:(1) ①MN⊥AB.理由如下：
由折叠的性质可知,∠BQM=∠B'QM.
因为 ∠BQM + ∠B' QM = 180°, 所以∠BQM=1/2×180°=90°,所以 MN⊥AB.
②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2) 折叠方法:如图1,过点 P 翻折纸片,使点 M 落在直线 PQ 上,折痕为 DE.
理由:同(1)可证,MN⊥DE. 因为 MN⊥AB,所以 DE//AB.
(3) ∠DSA=β-α-26°或∠DSA=β+α-26°. 提示:分情况讨论:如图2,当点 S 在线段EF上时,过点 S 作SM//DE,则 SM//DE//AB,所以∠MSD=∠EDS=α,∠FSA=∠CAS=β,∠FSM=∠DEF=26°,所以∠DSA=∠FSA - ∠FSM - ∠MSD=β-α-26°.如图3,当点 S 在线段 EG 上时,连接AE,过点 S 作 SN//DE,则 SN//DE//AB,所以∠FSA=∠CAS=β,∠DSN=∠EDS=α,∠ESN=∠DEF=26°,所以∠DSA=∠FSA - ∠ESN + ∠DSN=β-26°+α=β+α-26°.综上所述,∠DSA=β-α-26°或∠DSA=β+α-26°.

【分析】
我们可以按步骤梳理解题思路：
1. 针对(1)①，利用折叠的轴对称性质，折叠前后对应角相等，点B落在AB上的B'处，折痕MN与AB的交点Q处的两个对应角刚好组成平角180°，计算可得两个角均为90°，直接推出MN和AB垂直。
2. 针对(1)②，题目说明过点P仅能折出一条和AB垂直的折痕，刚好对应垂线的基本事实，直接回忆公理内容即可。
3. 针对(2)，已经由(1)得到PQ⊥AB，要得到和AB平行的折痕，只需要折出垂直于PQ的直线，根据“同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行”，就能得到DE//AB，对应操作就是过P翻折让PQ自身重合，得到的折痕就是所求的DE。
4. 针对(3)，动点S在FG上分为EF段、EG段两种不同位置，过S作平行于DE的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，把已知角α、β、26°进行转化，分别推导两种情况的角度表达式即可。
【解析】
(1)① MN⊥AB，理由如下：
由折叠的性质可知，∠BQM=∠B'QM。
因为∠BQM + ∠B'QM = 180°，所以∠BQM = $\frac{1}{2}×180°=90°$，因此MN⊥AB。
② 过点P再也折不出其他折痕与AB垂直，对应的数学原理是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(2) 折叠方法：过点P翻折纸片，使直线PQ自身重合，所得折痕记为DE，左端点为D，右端点为E。
理由：由(1)的结论可证DE⊥PQ，又已知PQ⊥AB，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得DE//AB。
(3) 分两种情况推导：
当点S在线段EF上时，过S作SM//DE，结合DE//AB可得SM//DE//AB，由平行线内错角相等得∠MSD=∠EDS=α，∠FSA=∠CAS=β，∠FSM=∠DEF=26°，因此∠DSA=∠FSA - ∠FSM - ∠MSD = β-α-26°；
当点S在线段EG上时，过S作SN//DE，结合DE//AB可得SN//DE//AB，由平行线内错角相等得∠DSN=∠EDS=α，∠FSA=∠CAS=β，∠ESN=∠DEF=26°，因此∠DSA=∠FSA - ∠ESN + ∠DSN = β+α-26°。
【答案】
11. 解:(1) ①MN⊥AB.理由如下：
由折叠的性质可知,∠BQM=∠B'QM.
因为 ∠BQM + ∠B' QM = 180°, 所以∠BQM=1/2×180°=90°,所以 MN⊥AB.
②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2) 折叠方法:过点 P 翻折纸片,使点 Q 落在直线 PQ 上，折痕为 DE，左端点记为D，右端点记为E。
理由:同(1)可证,DE⊥PQ. 因为 PQ⊥AB,所以 DE//AB.

(3) ∠DSA=β-α-26°或∠DSA=β+α-26°. 提示:分情况讨论:当点 S 在线段EF上时,过点 S 作SM//DE,则 SM//DE//AB,所以∠MSD=∠EDS=α,∠FSA=∠CAS=β,∠FSM=∠DEF=26°,所以∠DSA=∠FSA - ∠FSM - ∠MSD=β-α-26°.当点 S 在线段 EG 上时,过点 S 作 SN//DE,则 SN//DE//AB,所以∠FSA=∠CAS=β,∠DSN=∠EDS=α,∠ESN=∠DEF=26°,所以∠DSA=∠FSA - ∠ESN + ∠DSN=β-26°+α=β+α-26°.综上所述,∠DSA=β-α-26°或∠DSA=β+α-26°.


【知识点】
折叠的性质，平行线判定与性质，垂线基本事实
【点评】
本题以纸片折叠实操为载体，将动手操作和几何逻辑推理深度结合，既考察学生对折叠轴对称本质的理解，也覆盖了垂线、平行线相关的基础几何公理，第三问设置动点分类讨论，需要学生自主构造平行线辅助线转化角度，容易出现漏解的情况，能有效锻炼学生的几何推理严谨性。
【难度系数】
0.4