14. 如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB,ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠AFE的度数.

14. (1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=CB.
∵AC是正方形的对角线,
∴∠DCA=∠BCA.
又CE=CE,
∴△BEC≌△DEC;
(2)解:
∵∠DEB=140°,
由△BEC≌△DEC可得∠DEC=∠BEC=70°,
∴∠AEF=∠BEC=70°.
又
∵AC是正方形的对角线,∠DAB=90°,
∴∠DAC=∠BAC=45°.
在△AEF中,∠AFE=180°-70°-45°=65°.

【分析】
(1)要证明△BEC≌△DEC，可结合正方形性质找全等判定条件：正方形四条边相等，对角线平分一组对角，可得CD=CB，∠DCA=∠BCA，再加上公共边CE，即可用SAS判定两三角形全等。
(2)求∠AFE的度数时，先利用全等三角形对应角相等，结合∠DEB=140°求出∠BEC的度数，再利用对顶角相等得到∠AEF的度数，结合正方形对角线平分内角得到∠EAF=45°，最后用三角形内角和定理即可算出∠AFE的度数。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB。
∵AC是正方形的对角线，
∴∠DCA=∠BCA。
又
∵CE=CE，
∴△BEC≌△DEC（SAS）。
(2)解：
∵∠DEB=140°，
由△BEC≌△DEC可得∠DEC=∠BEC=140°÷2=70°，
∴∠AEF=∠BEC=70°（对顶角相等）。
又
∵AC是正方形的对角线，∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°。
在△AEF中，根据三角形内角和为180°，
∴∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=180°-70°-45°=65°。
【答案】
(1)见上述证明过程；(2)65°
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于特殊平行四边形的基础应用题，将正方形的性质与全等三角形、三角形内角和知识点结合考查，解题关键是熟练掌握正方形边、对角线的相关性质，找到全等的判定条件，再结合角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7

15. 如图,已知$△ ABC$,按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;
②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;
③过C作$CF// AB$交PQ于点F,连接AF.
求证:
(1)$△ AED≌△ CFD$;
(2)四边形AECF是菱形.

15. (1)证明:根据作图步骤①和②可知PQ是AC的垂直平分线.
∵ PQ是AC的垂直平分线，
∴ CD=AD,ED⊥AC.
∵ CF//AB，
∴ ∠DCF=∠DAE.
∵ ∠DCF=∠DAE,CD=AD,∠CDF=∠ADE，
∴ △AED≌△CFD；
(2)
∵ △AED≌△CFD，
∴ FD=ED,AD=CD.
∴ 四边形AECF为平行四边形.
又
∵ PQ是AC的垂直平分线，
∴ 四边形AECF是菱形.

【分析】
(1)要证明△AED≌△CFD，首先从作图步骤提取隐含条件：按步骤作出的PQ是AC的垂直平分线，可得AD=CD、∠ADE=∠CDF；再结合CF//AB的性质，可得内错角∠DAE=∠DCF，刚好满足角边角的全等判定条件，即可完成证明。
(2)要证明四边形AECF是菱形，可先证它是平行四边形，再补充对角线垂直的条件：由(1)的全等结论可得ED=FD，结合AD=CD可知四边形对角线互相平分，先判定为平行四边形；再利用PQ是AC的垂直平分线，可知对角线AC⊥EF，即可判定该平行四边形为菱形。
【解析】
(1)证明：根据作图步骤①和②可知PQ是AC的垂直平分线。
∵ PQ是AC的垂直平分线，
∴ CD=AD，ED⊥AC。
∵ CF//AB，
∴ ∠DCF=∠DAE。
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠DCF \\AD=CD \\∠ADE=∠CDF\end{array} $
∴ △AED≌△CFD（ASA）。
(2)证明：
∵ △AED≌△CFD，
∴ FD=ED，
又
∵ AD=CD，
∴ 四边形AECF的对角线互相平分，是平行四边形。
∵ PQ是AC的垂直平分线，
∴ AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
【答案】
(1)见上述(1)的证明过程；
(2)见上述(2)的证明过程。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，融合了尺规作图性质、全等证明、特殊四边形判定三类考点，解题关键是先从作图步骤中挖掘出PQ为AC垂直平分线的隐含条件，再结合对应判定定理逐步推导，能够很好地考察学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

1. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是。

1. 答案不唯一,如AC=BD

【分析】
首先处理已知条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此可先判定四边形ABCD是平行四边形；接下来回忆平行四边形判定为矩形的定理，有两个可行方向：一是添加对角线相等的条件，二是添加有一个内角为直角的条件，两类条件均无需添加辅助线，任选其一即可。
【解析】
已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此可添加的条件不唯一，例如AC=BD，或∠ABC=90°等均符合要求。
【答案】
答案不唯一,如AC=BD
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查特殊四边形的判定规则的应用，只要熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，即可快速写出符合要求的条件。
【难度系数】
0.8

2. 如图，正方形ABCD中，BC=13，点E为正方形ABCD外一点，且∠AEB=90°，将△AEB绕点A逆时针方向旋转得到△ADF，DF的延长线交BE于点H。若BH=7，则DH的长为。

2. 17

【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应边、对应角的关系，结合正方形内角为90°的性质，推导得出∠EAF=90°，进而判定四边形AEHF是正方形，得到∠BHD=90°，即△BHD为直角三角形；再求出正方形对角线BD的长度，最后在Rt△BHD中利用勾股定理即可求出DH的长度。
【解析】
1. 由旋转的性质可知：△AEB≌△ADF，因此∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，∠EAB=∠FAD。
2. 因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，则∠FAD+∠BAF=∠EAB+∠BAF=∠EAF=90°。
3. 又∠AEB=90°，∠AFH=180°-∠AFD=90°，因此四边形AEHF是矩形，结合AE=AF，可得矩形AEHF是正方形，故∠EHF=90°，即∠BHD=90°，△BHD为直角三角形。
4. 正方形ABCD中BC=13，因此边长均为13，对角线BD=√(BC²+CD²)=√(13²+13²)=13√2，BD²=(13√2)²=338。
5. 在Rt△BHD中，BH=7，根据勾股定理：BH²+DH²=BD²，代入得7²+DH²=338，解得DH²=338-49=289，因此DH=17（长度为正，舍去负根）。
【答案】
17
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何变换与特殊四边形、勾股定理的结合应用，解题的核心是通过旋转性质和正方形判定推出∠BHD为直角，再利用勾股定理计算线段长，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为3,顶点A的坐标是$(-1,1)$,AB//x轴,点B,C在第一象限,则顶点C的坐标是 ()


A.$(4,1)$
B.$(3,1)$
C.$(2,4)$
D.$(4,2)$

3. C

【分析】
解题时首先利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特征，结合AB的长度先求出点B的坐标；再根据正方形邻边垂直且相等的性质，得到BC平行于y轴，进而结合BC的长度求出点C的坐标即可。
【解析】
∵ AB//x轴，点A的坐标为$(-1,1)$，正方形ABCD的边长为3，即$AB=3$，
∴ 点B的纵坐标与点A相同，为1，横坐标为$-1+3=2$，即$B(2,1)$。
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $BC⊥AB$，$BC=3$，
∵ AB平行x轴，
∴ BC平行y轴，
∴ 点C的横坐标与点B相同，为2，纵坐标为$1+3=4$，
即点C的坐标为$(2,4)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；正方形的性质
【点评】
本题是基础坐标求解类题目，解题的关键是掌握平行于坐标轴的点的坐标规律，结合正方形边的性质逐步推导未知点的坐标，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

4. 如图,要使$□ ABCD$成为矩形,需添加的条件是 ()


A.$AB=BC$
B.$AC⊥ BD$
C.$∠ ABC=90°$
D.$∠1=∠2$

4. C

【分析】
题目的前提是四边形ABCD已经是平行四边形，我们需要结合矩形的判定定理，逐一分析每个选项对应的图形性质，判断哪个选项能满足平行四边形成为矩形的条件。平行四边形基础上判定矩形的规则为：①有一个内角是直角；②对角线相等。接下来逐个验证选项即可找到正确答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合特殊平行四边形的判定分析各选项：
选项A：若AB=BC，即平行四边形一组邻边相等，此时$\boxed{□}ABCD$是菱形，不符合要求；
选项B：若$AC⊥BD$，即平行四边形对角线互相垂直，此时$\boxed{□}ABCD$是菱形，不符合要求；
选项C：若$∠ABC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得$\boxed{□}ABCD$是矩形，符合要求；
选项D：
∵$AD// BC$，
∴$∠2=∠ADB$，若$∠1=∠2$，则$∠1=∠ADB$，
∴$AB=AD$，即平行四边形一组邻边相等，此时$\boxed{□}ABCD$是菱形，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是要清晰区分平行四边形基础上矩形和菱形的判定条件，避免两类判定规则混淆。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD只需要满足一个条件是 ()


A.$AD=BC$
B.$AC=BD$
C.$AB=CD$
D.$AD=CD$

5. A

【分析】
解题时首先利用三角形中位线定理，先判定四边形EFGH是平行四边形，再结合菱形“邻边相等的平行四边形是菱形”的判定条件，推导原四边形需要满足的边的关系。第一步先根据各中点的位置，找到每条中点连线对应的三角形中位线，得到EFGH的边与四边形ABCD边的数量、位置关系；第二步结合菱形的判定要求，推导对应的等量关系，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF是△ABD的中位线，HG是△ACD的中位线，EH是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
根据三角形中位线性质可得：
$EF// AD$，$EF=\frac{1}{2}AD$，$HG// AD$，$HG=\frac{1}{2}AD$，
$EH// BC$，$EH=\frac{1}{2}BC$，$FG// BC$，$FG=\frac{1}{2}BC$，
∴$EF// HG$且$EF=HG$，$EH// FG$且$EH=FG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
若要使平行四边形EFGH为菱形，需满足一组邻边相等，即$EF=EH$，
代入边的等量关系得$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，即$AD=BC$。
因此满足条件$AD=BC$时，四边形EFGH是菱形，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题是中位线性质与特殊四边形判定的综合基础题，解题的核心是先通过中位线性质确定目标四边形为平行四边形，再结合菱形的判定条件反推原四边形需要满足的条件，能很好地考查学生对几何基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

6. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是（）


A.48
B.60
C.76
D.80

6. C

【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知：阴影部分面积=正方形ABCD的面积 - 空白直角三角形ABE的面积。因此解题分三步：第一步，先在Rt△ABE中，利用勾股定理求出斜边AB的长度，AB就是正方形的边长；第二步，分别计算正方形的面积和直角三角形ABE的面积；第三步，用正方形面积减去三角形面积即可得到阴影面积。
【解析】
∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
∴正方形ABCD的面积为$AB^2=100$，
又
∵直角三角形ABE的面积$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AE× BE=\frac{1}{2}×6×8=24$，
∴阴影部分的面积$=S_{正方形ABCD}-S_{△ ABE}=100-24=76$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题关键是利用割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，结合勾股定理求出正方形边长即可求解，是特殊平行四边形相关知识的常见考查题型。
【难度系数】
0.75