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4. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB为等边三角形，AB=4 cm，则这个平行四边形的面积为
16√3
cm².答案
4. $16\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合△AOB是等边三角形的条件，可推出平行四边形的对角线AC=BD，根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，即可确定ABCD是矩形；第二步，根据等边三角形的边长求出对角线AC的长度，在直角三角形ABC中用勾股定理算出BC的长度；第三步，代入矩形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = $\frac{1}{2}$BD（平行四边形对角线互相平分）。
∵△AOB是等边三角形，AB=4 cm，
∴OA=OB=AB=4 cm，
∴AC=2OA=8 cm，BD=2OB=8 cm，即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm，
∴平行四边形ABCD的面积$S=AB× BC=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$ cm²。
【答案】
$16\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是先根据已知条件判定平行四边形为矩形，再结合勾股定理求出邻边长度计算面积，需要熟练掌握特殊四边形的性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合△AOB是等边三角形的条件，可推出平行四边形的对角线AC=BD，根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，即可确定ABCD是矩形；第二步，根据等边三角形的边长求出对角线AC的长度，在直角三角形ABC中用勾股定理算出BC的长度；第三步，代入矩形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = $\frac{1}{2}$BD（平行四边形对角线互相平分）。
∵△AOB是等边三角形，AB=4 cm，
∴OA=OB=AB=4 cm，
∴AC=2OA=8 cm，BD=2OB=8 cm，即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm，
∴平行四边形ABCD的面积$S=AB× BC=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$ cm²。
【答案】
$16\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是先根据已知条件判定平行四边形为矩形，再结合勾股定理求出邻边长度计算面积，需要熟练掌握特殊四边形的性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
5. 如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为
$\frac{1}{4^{n-1}}$
.答案
5. $\frac{1}{4^{n-1}}$
解析
【分析】
遇到这类图形规律探究题，我们可以先从已知的第一个图形面积入手，结合中点四边形的面积性质，依次计算前几个矩形的面积，再总结面积变化的规律，最终推导第n个矩形的面积。首先明确：连接任意四边形各边中点得到的中点四边形，面积是原四边形面积的$\frac{1}{2}$。我们发现每得到一个新的矩形，需要经过两次中点连接，也就是面积会变为前一个矩形面积的$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，由此就能找到递推规律。
【解析】
解：已知第一个矩形的面积$S_1=1$。
①连接第一个矩形各边中点得到菱形，根据中点四边形的面积性质，该菱形面积为第一个矩形面积的$\frac{1}{2}$，即面积$=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
②再连接该菱形各边中点得到第二个矩形，同理，第二个矩形的面积是上述菱形面积的$\frac{1}{2}$，因此$S_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^{2-1}$；
③继续推导，连接第二个矩形各边中点得到新的菱形，面积为$S_2×\frac{1}{2}$，再连接该菱形各边中点得到第三个矩形，面积为$S_2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=S_2×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}=(\frac{1}{4})^{3-1}$；
以此类推，每得到一个新的矩形，面积都是前一个矩形面积的$\frac{1}{4}$，因此第n个矩形的面积为$S_n=1×(\frac{1}{4})^{n-1}=\frac{1}{4^{n-1}}$。
【答案】
$\frac{1}{4^{n-1}}$
【知识点】
中点四边形性质，图形规律探究，特殊平行四边形性质
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是掌握中点四边形的面积变化规律，通过计算前几个矩形的面积找到面积变化的公比，即可推导出通用公式，解题时要注意第n个矩形对应的指数关系，避免出现指数错写为n的失误。
【难度系数】
0.6
遇到这类图形规律探究题，我们可以先从已知的第一个图形面积入手，结合中点四边形的面积性质，依次计算前几个矩形的面积，再总结面积变化的规律，最终推导第n个矩形的面积。首先明确：连接任意四边形各边中点得到的中点四边形，面积是原四边形面积的$\frac{1}{2}$。我们发现每得到一个新的矩形，需要经过两次中点连接，也就是面积会变为前一个矩形面积的$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，由此就能找到递推规律。
【解析】
解：已知第一个矩形的面积$S_1=1$。
①连接第一个矩形各边中点得到菱形，根据中点四边形的面积性质，该菱形面积为第一个矩形面积的$\frac{1}{2}$，即面积$=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
②再连接该菱形各边中点得到第二个矩形，同理，第二个矩形的面积是上述菱形面积的$\frac{1}{2}$，因此$S_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^{2-1}$；
③继续推导，连接第二个矩形各边中点得到新的菱形，面积为$S_2×\frac{1}{2}$，再连接该菱形各边中点得到第三个矩形，面积为$S_2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=S_2×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}=(\frac{1}{4})^{3-1}$；
以此类推，每得到一个新的矩形，面积都是前一个矩形面积的$\frac{1}{4}$，因此第n个矩形的面积为$S_n=1×(\frac{1}{4})^{n-1}=\frac{1}{4^{n-1}}$。
【答案】
$\frac{1}{4^{n-1}}$
【知识点】
中点四边形性质，图形规律探究，特殊平行四边形性质
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是掌握中点四边形的面积变化规律，通过计算前几个矩形的面积找到面积变化的公比，即可推导出通用公式，解题时要注意第n个矩形对应的指数关系，避免出现指数错写为n的失误。
【难度系数】
0.6
6. 如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 CB 延长线上一点,连接 AE,点 F 是 AE 的中点,连接 BF,DF,若 BF=2,则 DF 的最大值为
$2\sqrt{2}+2$
。答案
6. $2\sqrt{2}+2$
解析
【分析】
首先根据正方形性质可得∠ABE为直角，结合F是AE中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AF=BF=2。其次利用正方形AB=AD、∠BAD=90°的特点，通过旋转构造全等三角形，将BF转化为等长的DF'，同时得到等腰直角△AFF'，算出FF'的长度。最后根据三角形三边关系，DF小于等于DF'与FF'的和，即可得到DF的最大值。
【解析】
1. 由正方形ABCD的性质得：∠ABC=90°，AB=AD，∠BAD=90°，因此∠ABE=180°-∠ABC=90°，△ABE是直角三角形。
2.
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴BF=AF=2。
3. 将△ABF绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADF'。由旋转性质可知：△ABF≌△ADF'，∠FAF'=∠BAD=90°，AF'=AF=2，DF'=BF=2。
4. 在等腰Rt△AFF'中，由勾股定理得：$FF'=\sqrt{AF^2+AF'^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
5. 根据三角形三边关系，在△DFF'中，$DF≤ DF'+FF'$，当且仅当D、F'、F三点共线时等号成立，因此DF的最大值为$2+2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}+2$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，旋转构造全等，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查正方形性质、直角三角形性质、全等变换及最值求解，解题核心是通过旋转将分散的线段集中到同一三角形中，利用三边关系求解最值，对几何变换的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先根据正方形性质可得∠ABE为直角，结合F是AE中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AF=BF=2。其次利用正方形AB=AD、∠BAD=90°的特点，通过旋转构造全等三角形，将BF转化为等长的DF'，同时得到等腰直角△AFF'，算出FF'的长度。最后根据三角形三边关系，DF小于等于DF'与FF'的和，即可得到DF的最大值。
【解析】
1. 由正方形ABCD的性质得：∠ABC=90°，AB=AD，∠BAD=90°，因此∠ABE=180°-∠ABC=90°，△ABE是直角三角形。
2.
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴BF=AF=2。
3. 将△ABF绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADF'。由旋转性质可知：△ABF≌△ADF'，∠FAF'=∠BAD=90°，AF'=AF=2，DF'=BF=2。
4. 在等腰Rt△AFF'中，由勾股定理得：$FF'=\sqrt{AF^2+AF'^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
5. 根据三角形三边关系，在△DFF'中，$DF≤ DF'+FF'$，当且仅当D、F'、F三点共线时等号成立，因此DF的最大值为$2+2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}+2$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，旋转构造全等，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查正方形性质、直角三角形性质、全等变换及最值求解，解题核心是通过旋转将分散的线段集中到同一三角形中，利用三边关系求解最值，对几何变换的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
7. 如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（
A.对角线互相垂直
B.对角互补
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线相等
C
）A.对角线互相垂直
B.对角互补
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线相等
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先要明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定关联：正方形是同时具备矩形和菱形特征的特殊平行四边形，因此要让平行四边形成为正方形，添加的条件需要使该平行四边形同时满足菱形和矩形的判定要求。接下来我们逐一分析每个选项对应的图形，判断是否符合正方形的判定即可。
【解析】
我们结合特殊平行四边形的判定规则逐个分析选项：
1. 分析选项A：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅满足菱形的判定，无法保证是正方形，排除；
2. 分析选项B：平行四边形本身对角相等，若对角互补，则每个内角为90°，此时平行四边形是矩形，仅满足矩形的判定，无法保证是正方形，排除；
3. 分析选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，该平行四边形同时是菱形和矩形，因此是正方形，符合要求；
4. 分析选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，仅满足矩形的判定，无法保证是正方形，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定、特殊平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查不同特殊平行四边形的判定逻辑，需要理清各类特殊平行四边形的包含关系和判定条件，只要熟练掌握相关定理就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定关联：正方形是同时具备矩形和菱形特征的特殊平行四边形，因此要让平行四边形成为正方形，添加的条件需要使该平行四边形同时满足菱形和矩形的判定要求。接下来我们逐一分析每个选项对应的图形，判断是否符合正方形的判定即可。
【解析】
我们结合特殊平行四边形的判定规则逐个分析选项：
1. 分析选项A：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅满足菱形的判定，无法保证是正方形，排除；
2. 分析选项B：平行四边形本身对角相等，若对角互补，则每个内角为90°，此时平行四边形是矩形，仅满足矩形的判定，无法保证是正方形，排除；
3. 分析选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，该平行四边形同时是菱形和矩形，因此是正方形，符合要求；
4. 分析选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，仅满足矩形的判定，无法保证是正方形，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定、特殊平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查不同特殊平行四边形的判定逻辑，需要理清各类特殊平行四边形的包含关系和判定条件，只要熟练掌握相关定理就能快速作答。
【难度系数】
0.8
8. 如图,菱形ABCD的边长为4,过点A,C作对角线AC的垂线,分别交CB和AD的延长线于点E,F,AE=3,则四边形AECF的周长为 (
A.22
B.18
C.14
D.11
A
)A.22
B.18
C.14
D.11
答案
8. A
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形邻边相等、对边平行。第一步由AB=BC得到∠BAC=∠BCA，结合AE⊥AC的条件，通过等角的余角相等推出∠E=∠EAB，得到EB=AB，即可求出EC的长度；第二步根据两组对边分别平行判定四边形AECF是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，边长为4，
∴AB=BC=4，AD//BC，即AF//EC，
∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴∠EAC=∠FCA=90°，
∴AE//CF，且∠EAB+∠BAC=90°，∠E+∠ACB=90°，
又
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠E=∠EAB，
∴EB=AB=4，
∴EC=EB+BC=4+4=8，
∵AF//EC，AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF=3，EC=AF=8，
∴四边形AECF的周长=2×(AE+EC)=2×(3+8)=22。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的常考题，解题的关键是灵活运用菱形的性质推导角和边的关系，进而判断出四边形AECF的形状，再计算周长，解题时要注意结合互余的角推导边相等，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆菱形的性质：菱形邻边相等、对边平行。第一步由AB=BC得到∠BAC=∠BCA，结合AE⊥AC的条件，通过等角的余角相等推出∠E=∠EAB，得到EB=AB，即可求出EC的长度；第二步根据两组对边分别平行判定四边形AECF是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，边长为4，
∴AB=BC=4，AD//BC，即AF//EC，
∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴∠EAC=∠FCA=90°，
∴AE//CF，且∠EAB+∠BAC=90°，∠E+∠ACB=90°，
又
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠E=∠EAB，
∴EB=AB=4，
∴EC=EB+BC=4+4=8，
∵AF//EC，AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF=3，EC=AF=8，
∴四边形AECF的周长=2×(AE+EC)=2×(3+8)=22。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的常考题，解题的关键是灵活运用菱形的性质推导角和边的关系，进而判断出四边形AECF的形状，再计算周长，解题时要注意结合互余的角推导边相等，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠B=60°,AB=4$,则以$AC$为边长的正方形$ACEF$的周长为 （
A.14
B.15
C.16
D.17
C
）A.14
B.15
C.16
D.17
答案
9. C
解析
【分析】
解题时先从已知的菱形条件入手，首先回忆菱形四边相等的性质，可得AB=BC；结合∠B=60°的条件，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABC为等边三角形，从而求出AC的长度；AC是正方形ACEF的边长，最后利用正方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，
又
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵四边形ACEF是正方形，
∴正方形ACEF的周长为4×AC=4×4=16。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；正方形周长计算
【点评】
本题是特殊平行四边形相关的基础题型，将菱形、等边三角形、正方形的性质结合考查，解题关键是通过菱形的性质推导得到等边三角形，进而求出正方形的边长，熟练掌握各类特殊图形的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的菱形条件入手，首先回忆菱形四边相等的性质，可得AB=BC；结合∠B=60°的条件，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABC为等边三角形，从而求出AC的长度；AC是正方形ACEF的边长，最后利用正方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，
又
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵四边形ACEF是正方形，
∴正方形ACEF的周长为4×AC=4×4=16。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；正方形周长计算
【点评】
本题是特殊平行四边形相关的基础题型，将菱形、等边三角形、正方形的性质结合考查，解题关键是通过菱形的性质推导得到等边三角形，进而求出正方形的边长，熟练掌握各类特殊图形的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为$S_1$，$S_2$，则$S_1+S_2$的值为（
A.16
B.17
C.18
D.19
B
）A.16
B.17
C.18
D.19
答案
10. B
解析
【分析】
要计算$S_1+S_2$的值，需分别求出两个小正方形的面积，即先得到它们的边长。首先观察$S_1$：它的相邻两边与大正方形的边重合，一个顶点在大正方形的对角线上，结合等腰直角三角形两直角边相等的性质可求出$S_1$的边长；再观察$S_2$：它位于右上方的等腰直角三角形中，该三角形的直角边等于大正方形的边长6，结合等腰直角三角形的三边关系和勾股定理，可推出$S_2$的边长，最后计算两个面积的和即可。
【解析】
已知大正方形的边长为6，分步计算：
1. 求$S_1$的面积：
左下角正方形$S_1$的一个顶点在大正方形的对角线上，大正方形对角线将左下区域分割为直角边为6的等腰直角三角形。设$S_1$的边长为$a$，该等腰直角三角形的直角边可表示为$a+a$，因此：
$a+a=6$，解得$a=3$，故$S_1=3^2=9$。
2. 求$S_2$的面积：
右上方等腰直角三角形的直角边为6，由勾股定理可得其斜边长度为$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。设正方形$S_2$的边长为$b$，观察图形可知，大等腰直角三角形的斜边被分为长度相等的三段，每段长度均为$b$（两侧的小三角形均为等腰直角三角形，斜边等于$S_2$的边长，中间段为$S_2$的边），因此：
$3b=6\sqrt{2}$，解得$b=2\sqrt{2}$，故$S_2=(2\sqrt{2})^2=8$。
因此$S_1+S_2=9+8=17$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题侧重考查对特殊几何图形性质的灵活运用，解题的核心是通过观察图形，梳理出小正方形与周围等腰直角三角形的边长关系，进而求出小正方形的边长，对图形观察能力和性质运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算$S_1+S_2$的值，需分别求出两个小正方形的面积，即先得到它们的边长。首先观察$S_1$：它的相邻两边与大正方形的边重合，一个顶点在大正方形的对角线上，结合等腰直角三角形两直角边相等的性质可求出$S_1$的边长；再观察$S_2$：它位于右上方的等腰直角三角形中，该三角形的直角边等于大正方形的边长6，结合等腰直角三角形的三边关系和勾股定理，可推出$S_2$的边长，最后计算两个面积的和即可。
【解析】
已知大正方形的边长为6，分步计算：
1. 求$S_1$的面积：
左下角正方形$S_1$的一个顶点在大正方形的对角线上，大正方形对角线将左下区域分割为直角边为6的等腰直角三角形。设$S_1$的边长为$a$，该等腰直角三角形的直角边可表示为$a+a$，因此：
$a+a=6$，解得$a=3$，故$S_1=3^2=9$。
2. 求$S_2$的面积：
右上方等腰直角三角形的直角边为6，由勾股定理可得其斜边长度为$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。设正方形$S_2$的边长为$b$，观察图形可知，大等腰直角三角形的斜边被分为长度相等的三段，每段长度均为$b$（两侧的小三角形均为等腰直角三角形，斜边等于$S_2$的边长，中间段为$S_2$的边），因此：
$3b=6\sqrt{2}$，解得$b=2\sqrt{2}$，故$S_2=(2\sqrt{2})^2=8$。
因此$S_1+S_2=9+8=17$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题侧重考查对特殊几何图形性质的灵活运用，解题的核心是通过观察图形，梳理出小正方形与周围等腰直角三角形的边长关系，进而求出小正方形的边长，对图形观察能力和性质运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E，若EF=EC，则∠ECF的度数为（
A.$36°$
B.$32°$
C.$30°$
D.$28°$
C
）A.$36°$
B.$32°$
C.$30°$
D.$28°$
答案
11. C
解析
【分析】
解题时首先利用正方形的性质得到边相等、对角线平分内角的结论，通过证明三角形全等实现角的等量转化；再结合等腰三角形等边对等角的性质，用未知数表示所求角及相关角，最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD，∠ADC=90°，BD为对角线，因此∠ADF=∠CDF=45°
在△ADF和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADF=∠ CDF\\ DF=DF\end{array} $
∴△ADF≌△CDF（SAS）
∴∠DAF=∠DCF
设$∠ ECF=x$，则$∠ DAF=∠ DCF=x$
∵$EF=EC$，
∴$∠ EFC=∠ ECF=x$
由三角形内角和为$180°$，得$∠ FEC=180°-∠ EFC-∠ ECF=180°-2x$
∵A、F、E三点共线，
∴$∠ AED=180°-∠ FEC=2x$
在$Rt△ ADE$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ DAE+∠ AED=90°$
代入得：$x+2x=90°$
解得$x=30°$，即$∠ ECF=30°$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，将正方形、全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，核心是通过全等转化角的关系，再借助方程思想求解角度，能很好地锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用正方形的性质得到边相等、对角线平分内角的结论，通过证明三角形全等实现角的等量转化；再结合等腰三角形等边对等角的性质，用未知数表示所求角及相关角，最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD，∠ADC=90°，BD为对角线，因此∠ADF=∠CDF=45°
在△ADF和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADF=∠ CDF\\ DF=DF\end{array} $
∴△ADF≌△CDF（SAS）
∴∠DAF=∠DCF
设$∠ ECF=x$，则$∠ DAF=∠ DCF=x$
∵$EF=EC$，
∴$∠ EFC=∠ ECF=x$
由三角形内角和为$180°$，得$∠ FEC=180°-∠ EFC-∠ ECF=180°-2x$
∵A、F、E三点共线，
∴$∠ AED=180°-∠ FEC=2x$
在$Rt△ ADE$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ DAE+∠ AED=90°$
代入得：$x+2x=90°$
解得$x=30°$，即$∠ ECF=30°$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，将正方形、全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，核心是通过全等转化角的关系，再借助方程思想求解角度，能很好地锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.求证:
(1)$△ BEC≌△ DFA$；
(2)四边形AECF是平行四边形.
(1)$△ BEC≌△ DFA$；
(2)四边形AECF是平行四边形.
答案
12. 证明:(1)
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,BC=DA,AB=CD,又E,F分别是边AB,CD的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB,DF=$\frac{1}{2}$CD.
∴BE=DF,
∴△BEC≌△DFA(SAS);
(2)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//CF,AB=CD,又E,F分别是边AB,CD的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,CF=$\frac{1}{2}$CD.
∴AE=CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,BC=DA,AB=CD,又E,F分别是边AB,CD的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB,DF=$\frac{1}{2}$CD.
∴BE=DF,
∴△BEC≌△DFA(SAS);
(2)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//CF,AB=CD,又E,F分别是边AB,CD的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,CF=$\frac{1}{2}$CD.
∴AE=CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
解析
【分析】
（1）要证明△BEC≌△DFA，先结合矩形性质找全等条件：矩形的四个角为直角、对边相等，可得∠B=∠D，BC=AD，AB=CD；再结合E、F是AB、CD的中点，可推出BE=DF，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明四边形AECF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理：首先矩形对边AB//CD，因此AE//CF；再结合中点性质推出AE=CF，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，BC=DA，AB=CD，
又
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF，
在△BEC和△DFA中：
$\begin{cases} BE=DF \\ ∠ B=∠ D \\ BC=DA \end{cases}$
∴△BEC≌△DFA（SAS）。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
又
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，
又
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
【答案】
(1) 已证△BEC≌△DFA（SAS）；
(2) 已证四边形AECF是平行四边形。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考察矩形性质、全等三角形判定和平行四边形判定，解题核心是熟练掌握相关几何定理，按照逻辑逐步推导即可完成解答。
【难度系数】
0.85
（1）要证明△BEC≌△DFA，先结合矩形性质找全等条件：矩形的四个角为直角、对边相等，可得∠B=∠D，BC=AD，AB=CD；再结合E、F是AB、CD的中点，可推出BE=DF，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明四边形AECF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理：首先矩形对边AB//CD，因此AE//CF；再结合中点性质推出AE=CF，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，BC=DA，AB=CD，
又
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF，
在△BEC和△DFA中：
$\begin{cases} BE=DF \\ ∠ B=∠ D \\ BC=DA \end{cases}$
∴△BEC≌△DFA（SAS）。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
又
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，
又
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
【答案】
(1) 已证△BEC≌△DFA（SAS）；
(2) 已证四边形AECF是平行四边形。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考察矩形性质、全等三角形判定和平行四边形判定，解题核心是熟练掌握相关几何定理，按照逻辑逐步推导即可完成解答。
【难度系数】
0.85
13. 如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF//DE,交AG于点F.求证:AF=BF+EF. 
答案
13. 证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BA,∠BAD=90°.
∵DE⊥AG,
∴∠DEG=∠AED=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°.又
∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
∵BF//DE,
∴∠AFB=∠DEG=∠DEA=90°. 在△ABF 与△DAE 中,
$\begin{cases}∠AFB=∠DEA,\\∠BAF=∠ADE,\\BA=AD,\end{cases}$
∴△ABF≌△DAE.
∴BF=AE.
∵AF=AE+EF,
∴AF=BF+EF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BA,∠BAD=90°.
∵DE⊥AG,
∴∠DEG=∠AED=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°.又
∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
∵BF//DE,
∴∠AFB=∠DEG=∠DEA=90°. 在△ABF 与△DAE 中,
$\begin{cases}∠AFB=∠DEA,\\∠BAF=∠ADE,\\BA=AD,\end{cases}$
∴△ABF≌△DAE.
∴BF=AE.
∵AF=AE+EF,
∴AF=BF+EF.
解析
【分析】
要证明AF=BF+EF，首先观察线段AF可拆分为AE+EF，因此只需证明BF=AE即可。BF在△ABF中，AE在△DAE中，可通过证明两个三角形全等得到线段相等的结论。首先利用正方形的性质得到等边、等直角，再结合垂直、平行的条件推导角相等，用AAS判定三角形全等，得到BF=AE后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠BAD=90°。
∵DE⊥AG，
∴∠DEG=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°。
又
∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF。
∵BF//DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠DEA=90°。
在△ABF 与△DAE 中，
$\begin{cases}∠AFB=∠DEA,\\∠BAF=∠ADE,\\BA=AD,\end{cases}$
∴△ABF≌△DAE（AAS）。
∴BF=AE。
∵AF=AE+EF，
∴AF=BF+EF。
【答案】
证明过程如上，可证得AF=BF+EF。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形与全等三角形结合的基础题型，核心是将线段和差问题转化为全等三角形的线段相等问题，解题时需熟练掌握正方形的边角性质和全等三角形的判定方法，对训练几何逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.8
要证明AF=BF+EF，首先观察线段AF可拆分为AE+EF，因此只需证明BF=AE即可。BF在△ABF中，AE在△DAE中，可通过证明两个三角形全等得到线段相等的结论。首先利用正方形的性质得到等边、等直角，再结合垂直、平行的条件推导角相等，用AAS判定三角形全等，得到BF=AE后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠BAD=90°。
∵DE⊥AG，
∴∠DEG=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°。
又
∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF。
∵BF//DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠DEA=90°。
在△ABF 与△DAE 中，
$\begin{cases}∠AFB=∠DEA,\\∠BAF=∠ADE,\\BA=AD,\end{cases}$
∴△ABF≌△DAE（AAS）。
∴BF=AE。
∵AF=AE+EF，
∴AF=BF+EF。
【答案】
证明过程如上，可证得AF=BF+EF。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形与全等三角形结合的基础题型，核心是将线段和差问题转化为全等三角形的线段相等问题，解题时需熟练掌握正方形的边角性质和全等三角形的判定方法，对训练几何逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.8
