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12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0）.过点C（3，0）作直线CD⊥x轴，垂足为C，交线段AB于点D，点D的坐标为（3，1）.过点A作直线AE⊥CD，垂足为E，连接BE.
（1）求三角形ABE的面积；
（2）点P为直线CD上一动点，当$ S_{△ PAB} = S_{△ AOB} $时，求点P的坐标.
（1）求三角形ABE的面积；
（2）点P为直线CD上一动点，当$ S_{△ PAB} = S_{△ AOB} $时，求点P的坐标.
答案
12. 解：(1) 依题意，$S_{三角形ABE}=\frac{1}{2}AE×OA=\frac{1}{2}OC×OA=\frac{1}{2}×3×4=6$.
(2) 设点 P 坐标为 (3, m). 依题意，$S_{三角形AOB}=\frac{1}{2}AO×OB=\frac{1}{2}×4×4=8$.
$S_{三角形PAB}=S_{三角形PAD}+S_{三角形PBD}=\frac{1}{2}PD×AE+\frac{1}{2}PD×BC=\frac{1}{2}PD×OB=\frac{1}{2}|m-1|×4=2|m-1|$. 所以 2|m-1|=8. 解得 m=5 或 m=-3. 所以点 P 的坐标为 (3, 5) 或 (3, -3).
(2) 设点 P 坐标为 (3, m). 依题意，$S_{三角形AOB}=\frac{1}{2}AO×OB=\frac{1}{2}×4×4=8$.
$S_{三角形PAB}=S_{三角形PAD}+S_{三角形PBD}=\frac{1}{2}PD×AE+\frac{1}{2}PD×BC=\frac{1}{2}PD×OB=\frac{1}{2}|m-1|×4=2|m-1|$. 所以 2|m-1|=8. 解得 m=5 或 m=-3. 所以点 P 的坐标为 (3, 5) 或 (3, -3).
解析
【分析】
（1）求△ABE的面积时，先确定三角形的底和对应高：由题可知AE是水平线段，长度等于C点的横坐标3，AE所在直线为y=4，点B到该直线的垂直距离等于OA的长度4，代入三角形面积公式即可计算。
（2）先算出△AOB的面积，由于点P在垂直x轴的直线CD上，可设P坐标为(3,m)，用割补法将△PAB拆分为△PAD和△PBD的面积和，用含m的绝对值式子表示△PAB的面积，再根据面积相等列方程求解，注意绝对值方程有两个解。
【解析】
(1) 由题意得，AE⊥CD，CD⊥x轴，因此AE平行于x轴，AE的长度等于OC的长度3，AE边上的高等于OA的长度4。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×AE×OA=\frac{1}{2}×3×4=6$
(2) 先计算△AOB的面积：已知A(0,4)，B(4,0)，则OA=4，OB=4
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×AO×OB=\frac{1}{2}×4×4=8$
因为点P在直线CD（x=3）上，设P坐标为$(3,m)$，D点坐标为(3,1)，因此$PD=|m-1|$。
△PAB的面积可拆分为△PAD和△PBD的面积和：
$S_{△ PAB}=S_{△ PAD}+S_{△ PBD}=\frac{1}{2}×PD×AE+\frac{1}{2}×PD×BC$
其中$AE=3$，$BC=4-3=1$，$AE+BC=OB=4$，代入得：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×|m-1|×4=2|m-1|$
根据$S_{△ PAB}=S_{△ AOB}$，列方程：
$2|m-1|=8$，即$|m-1|=4$
解得$m=5$或$m=-3$，因此点P坐标为(3,5)或(3,-3)
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{(3,5)}$或$\boxed{(3,-3)}$
【知识点】
坐标系面积计算，绝对值方程，割补法求面积
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形面积计算和动点问题，解题的核心是合理选择三角形的底和高，或通过割补法转化面积，求解含绝对值的方程时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.65
（1）求△ABE的面积时，先确定三角形的底和对应高：由题可知AE是水平线段，长度等于C点的横坐标3，AE所在直线为y=4，点B到该直线的垂直距离等于OA的长度4，代入三角形面积公式即可计算。
（2）先算出△AOB的面积，由于点P在垂直x轴的直线CD上，可设P坐标为(3,m)，用割补法将△PAB拆分为△PAD和△PBD的面积和，用含m的绝对值式子表示△PAB的面积，再根据面积相等列方程求解，注意绝对值方程有两个解。
【解析】
(1) 由题意得，AE⊥CD，CD⊥x轴，因此AE平行于x轴，AE的长度等于OC的长度3，AE边上的高等于OA的长度4。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×AE×OA=\frac{1}{2}×3×4=6$
(2) 先计算△AOB的面积：已知A(0,4)，B(4,0)，则OA=4，OB=4
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×AO×OB=\frac{1}{2}×4×4=8$
因为点P在直线CD（x=3）上，设P坐标为$(3,m)$，D点坐标为(3,1)，因此$PD=|m-1|$。
△PAB的面积可拆分为△PAD和△PBD的面积和：
$S_{△ PAB}=S_{△ PAD}+S_{△ PBD}=\frac{1}{2}×PD×AE+\frac{1}{2}×PD×BC$
其中$AE=3$，$BC=4-3=1$，$AE+BC=OB=4$，代入得：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×|m-1|×4=2|m-1|$
根据$S_{△ PAB}=S_{△ AOB}$，列方程：
$2|m-1|=8$，即$|m-1|=4$
解得$m=5$或$m=-3$，因此点P坐标为(3,5)或(3,-3)
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{(3,5)}$或$\boxed{(3,-3)}$
【知识点】
坐标系面积计算，绝对值方程，割补法求面积
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形面积计算和动点问题，解题的核心是合理选择三角形的底和高，或通过割补法转化面积，求解含绝对值的方程时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.65
13. 在平面直角坐标系中，将三角形$ABC$平移后得到三角形$A'B'C'$，它们的各顶点坐标如表所示.
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：
①$a=$
②三角形$ABC$先向
（2）如图，网格中每个小正方形的边长为1，画出三角形$ABC$及平移后的三角形$A'B'C'$.
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：
①$a=$
-1
，$b=$3
，$c=$8
，$d=$8
；②三角形$ABC$先向
上
平移3
个单位长度，再向右
平移5
个单位长度可以得到三角形$A'B'C'$；（2）如图，网格中每个小正方形的边长为1，画出三角形$ABC$及平移后的三角形$A'B'C'$.
答案
13. 解：(1) ①-1 3 8 8 ②上 3 右 5（或右 5 上 3）
(2) 如图所示.
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形平移的相关知识，解题核心是利用平移的性质：图形平移时，所有对应点的平移方向、平移距离完全相同，坐标变化遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规律。首先通过已知对应点的坐标差，确定横坐标和纵坐标的统一变化量，再用这个变化量计算未知的对应点坐标，判断平移方式；最后根据各点坐标在坐标系中描点连线即可完成作图。
【解析】
(1) ① 观察图形中对应点的坐标，可知平移后所有点的横坐标统一增加5，纵坐标统一增加3，结合对应点的坐标关系，计算可得$a=-1$，$b=3$，$c=8$，$d=8$。
② 横坐标增加5，说明图形向右平移了5个单位长度；纵坐标增加3，说明图形向上平移了3个单位长度，平移顺序可互换，即也可以先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度。
(2) 先根据各点坐标在平面直角坐标系中描出点A、B、C，顺次连接三点得到$△ ABC$；再描出平移后的点$A'$、$B'$、$C'$，顺次连接三点得到$△ A'B'C'$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{8}$；②$\boldsymbol{上}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{右}$，$\boldsymbol{5}$（或$\boldsymbol{右}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{上}$，$\boldsymbol{3}$）
(2)
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律
2. 平面直角坐标系作图
【点评】
本题是平移相关的基础题，重点考查平移前后对应点的坐标变化特点，需牢记平移时所有点的坐标变化量完全一致，同时掌握坐标系中描点、连线的基本作图方法。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中图形平移的相关知识，解题核心是利用平移的性质：图形平移时，所有对应点的平移方向、平移距离完全相同，坐标变化遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规律。首先通过已知对应点的坐标差，确定横坐标和纵坐标的统一变化量，再用这个变化量计算未知的对应点坐标，判断平移方式；最后根据各点坐标在坐标系中描点连线即可完成作图。
【解析】
(1) ① 观察图形中对应点的坐标，可知平移后所有点的横坐标统一增加5，纵坐标统一增加3，结合对应点的坐标关系，计算可得$a=-1$，$b=3$，$c=8$，$d=8$。
② 横坐标增加5，说明图形向右平移了5个单位长度；纵坐标增加3，说明图形向上平移了3个单位长度，平移顺序可互换，即也可以先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度。
(2) 先根据各点坐标在平面直角坐标系中描出点A、B、C，顺次连接三点得到$△ ABC$；再描出平移后的点$A'$、$B'$、$C'$，顺次连接三点得到$△ A'B'C'$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{8}$；②$\boldsymbol{上}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{右}$，$\boldsymbol{5}$（或$\boldsymbol{右}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{上}$，$\boldsymbol{3}$）
(2)
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律
2. 平面直角坐标系作图
【点评】
本题是平移相关的基础题，重点考查平移前后对应点的坐标变化特点，需牢记平移时所有点的坐标变化量完全一致，同时掌握坐标系中描点、连线的基本作图方法。
【难度系数】
0.8
