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9.如图，$□ ABCD$ 的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点.求证：四边形EGFH是平行四边形.
答案
9.证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD // BC$,$OA=OC$,$\therefore ∠ OAE=∠ OCF$,$∠ OEA=∠ OFC$,
$\therefore △ AOE ≌ △ COF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=OF$.$\because G$ 是 $OA$ 的中点,$H$ 是 $OC$ 的中点,$\therefore OG=\dfrac{1}{2}OA$,$OH=\dfrac{1}{2}OC$,$\therefore OG=OH$,$\therefore$ 四边形 $EGFH$ 是平行四边形.
$\therefore △ AOE ≌ △ COF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=OF$.$\because G$ 是 $OA$ 的中点,$H$ 是 $OC$ 的中点,$\therefore OG=\dfrac{1}{2}OA$,$OH=\dfrac{1}{2}OC$,$\therefore OG=OH$,$\therefore$ 四边形 $EGFH$ 是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形EGFH是平行四边形，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法简化证明。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC、OA=OC，通过角的关系证明△AOE和△COF全等，得到OE=OF；再结合G、H分别是OA、OC的中点，推出OG=OH，此时四边形EGFH的两条对角线互相平分，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$OA=OC$，
∴ $∠OAE=∠OCF$，$∠OEA=∠OFC$，
∴ $△AOE ≌ △COF(\mathrm{AAS})$，
∴ $OE=OF$。
∵ G是OA的中点，H是OC的中点，
∴ $OG=\dfrac{1}{2}OA$，$OH=\dfrac{1}{2}OC$，
∴ $OG=OH$，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
四边形EGFH是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；中点的定义
【点评】
本题属于平行四边形判定的常规题型，解题的关键是结合已知条件选择合适的平行四边形判定方法，需要熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的证明思路。
【难度系数】
0.7
要证明四边形EGFH是平行四边形，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法简化证明。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC、OA=OC，通过角的关系证明△AOE和△COF全等，得到OE=OF；再结合G、H分别是OA、OC的中点，推出OG=OH，此时四边形EGFH的两条对角线互相平分，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$OA=OC$，
∴ $∠OAE=∠OCF$，$∠OEA=∠OFC$，
∴ $△AOE ≌ △COF(\mathrm{AAS})$，
∴ $OE=OF$。
∵ G是OA的中点，H是OC的中点，
∴ $OG=\dfrac{1}{2}OA$，$OH=\dfrac{1}{2}OC$，
∴ $OG=OH$，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
四边形EGFH是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；中点的定义
【点评】
本题属于平行四边形判定的常规题型，解题的关键是结合已知条件选择合适的平行四边形判定方法，需要熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的证明思路。
【难度系数】
0.7
10.如图，E是$□ ABCD$的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，其中不能判定四边形BCED为平行四边形的是 （
A.$∠ ABD=∠ DCE$
B.$DF=CF$
C.$∠ AEB=∠ BCD$
D.$∠ AEC=∠ CBD$
C
）A.$∠ ABD=∠ DCE$
B.$DF=CF$
C.$∠ AEB=∠ BCD$
D.$∠ AEC=∠ CBD$
答案
10.C
解析
【分析】
首先由平行四边形ABCD的性质可得DE//BC，要判定四边形BCED为平行四边形，只需再证BD//CE或DE=BC即可，我们结合平行四边形判定定理逐一分析每个选项的条件能否推出上述结论即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴DE//BC，∠ABD=∠CDB。
A、若∠ABD=∠DCE，则∠CDB=∠DCE，
∴BD//CE，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故A不符合题意；
B、若DF=CF，在△DFE和△CFB中：
$\{\begin{array}{l}∠ EDF=∠ BCF\\ DF=CF\\ ∠ DFE=∠ CFB\end{array} $
∴△DFE≌△CFB（ASA），
∴DE=BC，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故B不符合题意；
C、若∠AEB=∠BCD，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠EBC=∠BCD，可得FB=FC，无法推出DE=BC或BD//CE，不能判定四边形BCED是平行四边形，故C符合题意；
D、若∠AEC=∠CBD，
∵AD//BC，
∴∠AEC+∠BCE=180°，
∴∠CBD+∠BCE=180°，
∴BD//CE，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查平行四边形的判定，需要同学们熟练掌握平行四边形的各类判定定理，对每个选项的条件进行逻辑推导，同时要注意审题，明确题目要求选“不能判定”的选项，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
首先由平行四边形ABCD的性质可得DE//BC，要判定四边形BCED为平行四边形，只需再证BD//CE或DE=BC即可，我们结合平行四边形判定定理逐一分析每个选项的条件能否推出上述结论即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴DE//BC，∠ABD=∠CDB。
A、若∠ABD=∠DCE，则∠CDB=∠DCE，
∴BD//CE，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故A不符合题意；
B、若DF=CF，在△DFE和△CFB中：
$\{\begin{array}{l}∠ EDF=∠ BCF\\ DF=CF\\ ∠ DFE=∠ CFB\end{array} $
∴△DFE≌△CFB（ASA），
∴DE=BC，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故B不符合题意；
C、若∠AEB=∠BCD，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠EBC=∠BCD，可得FB=FC，无法推出DE=BC或BD//CE，不能判定四边形BCED是平行四边形，故C符合题意；
D、若∠AEC=∠CBD，
∵AD//BC，
∴∠AEC+∠BCE=180°，
∴∠CBD+∠BCE=180°，
∴BD//CE，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查平行四边形的判定，需要同学们熟练掌握平行四边形的各类判定定理，对每个选项的条件进行逻辑推导，同时要注意审题，明确题目要求选“不能判定”的选项，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知P,R分别是四边形ABCD的边BC,CD上的点,E,F分别是PA,PR的中点,点P在BC上从B向C移动,点R不动,那么EF的长 （
A.逐渐增大
B.逐渐变小
C.不变
D.先增大,后变小
C
）A.逐渐增大
B.逐渐变小
C.不变
D.先增大,后变小
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件：E、F分别是PA、PR的中点，结合八年级学习的三角形中位线定理，可想到EF是某个三角形的中位线，因此连接AR构造出△PAR。接下来判断第三边AR的长度：A是四边形固定顶点，R固定在CD上不动，因此AR是定长线段，再根据中位线的长度等于第三边的一半，即可推出EF的长度变化情况。
【解析】
连接AR，
∵E是PA的中点，F是PR的中点，
∴EF是△PAR的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$。
∵点A为四边形ABCD的固定顶点，点R固定在CD上不动，即A、R均为定点，
∴线段AR的长度为定值，因此EF的长度也为定值，不随点P的移动发生变化。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、定值线段判断
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，解题的关键是连接辅助线AR，将待判断长度的EF转化为定长线段AR的一半，无需分析点P移动带来的其他线段变化，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件：E、F分别是PA、PR的中点，结合八年级学习的三角形中位线定理，可想到EF是某个三角形的中位线，因此连接AR构造出△PAR。接下来判断第三边AR的长度：A是四边形固定顶点，R固定在CD上不动，因此AR是定长线段，再根据中位线的长度等于第三边的一半，即可推出EF的长度变化情况。
【解析】
连接AR，
∵E是PA的中点，F是PR的中点，
∴EF是△PAR的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$。
∵点A为四边形ABCD的固定顶点，点R固定在CD上不动，即A、R均为定点，
∴线段AR的长度为定值，因此EF的长度也为定值，不随点P的移动发生变化。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、定值线段判断
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，解题的关键是连接辅助线AR，将待判断长度的EF转化为定长线段AR的一半，无需分析点P移动带来的其他线段变化，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
12.如图，M是$△ ABC$的边BC的中点，AN平分$∠ BAC$，且$AN ⊥ BN$于点N。若$AB=8$，$MN=3$，则AC的长是________。
答案
12.14
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：已知AN是角平分线且AN⊥BN，可通过延长BN交AC于点D构造全等三角形。首先利用角平分线、垂直及公共边证明△ABN≌△ADN，得到AB=AD且N是BD中点，再结合M是BC中点的条件，判断MN是△BCD的中位线，利用中位线性质求出CD长度，最终计算AC的长。
【解析】
解：延长BN交AC于点D。
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠DAN，
∵AN⊥BN，
∴∠ANB=∠AND=90°，
在△ABN和△ADN中：
$\{\begin{array}{l}∠BAN=∠DAN \\AN=AN \\∠ANB=∠AND\end{array} $
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴AD=AB=8，BN=DN，即N为BD的中点，
又
∵M是BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}CD$，
∵MN=3，
∴CD=2MN=6，
∴AC=AD+CD=8+6=14。
【答案】
14
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何中等难度题，核心考察角平分线+垂直的经典几何模型的应用，解题关键是通过辅助线构造全等三角形得到中点条件，结合中位线定理建立已知线段和未知线段的联系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征：已知AN是角平分线且AN⊥BN，可通过延长BN交AC于点D构造全等三角形。首先利用角平分线、垂直及公共边证明△ABN≌△ADN，得到AB=AD且N是BD中点，再结合M是BC中点的条件，判断MN是△BCD的中位线，利用中位线性质求出CD长度，最终计算AC的长。
【解析】
解：延长BN交AC于点D。
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠DAN，
∵AN⊥BN，
∴∠ANB=∠AND=90°，
在△ABN和△ADN中：
$\{\begin{array}{l}∠BAN=∠DAN \\AN=AN \\∠ANB=∠AND\end{array} $
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴AD=AB=8，BN=DN，即N为BD的中点，
又
∵M是BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}CD$，
∵MN=3，
∴CD=2MN=6，
∴AC=AD+CD=8+6=14。
【答案】
14
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何中等难度题，核心考察角平分线+垂直的经典几何模型的应用，解题关键是通过辅助线构造全等三角形得到中点条件，结合中位线定理建立已知线段和未知线段的联系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
13.如图，点E为$□ ABCD$的边AD上的一点，连接EB并延长，使$BF＝BE$，连接EC并延长，使$CG＝CE$.连接FG，H为FG的中点，连接DH，AF.求证：四边形AFHD为平行四边形.
答案
13.证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD=BC$,$AD // BC$,$\because BF=BE$,$CG=CE$,$\therefore BC$ 是$△ EFG$ 的中位线,$\therefore BC // FG$,$BC=\dfrac{1}{2}FG$,$\because H$ 为 $FG$ 的中点,$\therefore FH=\dfrac{1}{2}FG$,$\therefore BC // FH$,$BC=FH$,$\therefore AD // FH$,$AD=FH$,$\therefore$ 四边形$AFHD$是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形AFHD是平行四边形，可通过证明其一组对边平行且相等来推导。首先回忆平行四边形的性质，由□ABCD可得AD与BC平行且相等；再观察已知条件中BE=BF、CE=CG，可知B、C分别是EF、EG的中点，因此BC是△EFG的中位线，利用中位线定理可得到BC和FG的位置、数量关系；最后结合H是FG中点的条件，将BC的关系替换为AD与FH的关系，即可满足平行四边形的判定条件。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD // BC$，
$\because BF=BE$，$CG=CE$，
$\therefore BC$ 是$△ EFG$ 的中位线，
$\therefore BC // FG$，$BC=\dfrac{1}{2}FG$，
$\because H$ 为 $FG$ 的中点，
$\therefore FH=\dfrac{1}{2}FG$，
$\therefore BC // FH$，$BC=FH$，
$\therefore AD // FH$，$AD=FH$，
$\therefore$ 四边形$AFHD$是平行四边形。
【答案】
四边形AFHD为平行四边形，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质
平行四边形的判定
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查平行四边形性质与判定的综合应用，解题的关键是借助三角形中位线定理，以BC为中间量推导出待证四边形一组对边平行且相等的关系，能够检验学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明四边形AFHD是平行四边形，可通过证明其一组对边平行且相等来推导。首先回忆平行四边形的性质，由□ABCD可得AD与BC平行且相等；再观察已知条件中BE=BF、CE=CG，可知B、C分别是EF、EG的中点，因此BC是△EFG的中位线，利用中位线定理可得到BC和FG的位置、数量关系；最后结合H是FG中点的条件，将BC的关系替换为AD与FH的关系，即可满足平行四边形的判定条件。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD // BC$，
$\because BF=BE$，$CG=CE$，
$\therefore BC$ 是$△ EFG$ 的中位线，
$\therefore BC // FG$，$BC=\dfrac{1}{2}FG$，
$\because H$ 为 $FG$ 的中点，
$\therefore FH=\dfrac{1}{2}FG$，
$\therefore BC // FH$，$BC=FH$，
$\therefore AD // FH$，$AD=FH$，
$\therefore$ 四边形$AFHD$是平行四边形。
【答案】
四边形AFHD为平行四边形，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质
平行四边形的判定
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查平行四边形性质与判定的综合应用，解题的关键是借助三角形中位线定理，以BC为中间量推导出待证四边形一组对边平行且相等的关系，能够检验学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
