14.在数学课上,老师提出了如下问题,甲、乙两个小组的方案如下:
| 老师的问题 | 甲小组的方案 | 乙小组的方案 |
| --- | --- | --- |
| 已知:如图,$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AB,CD分别相交于点E,F.
求作:$□ EMFN$,使点M,N均在BD上 | 在BD上取$BM=DN$
| 作$EM⊥ BD$于点M,
作$FN⊥ BD$于点N |
(1)方案正确的小组是；
(2)开放设题 请选择(1)中的一个正确方案进行证明.

14.解:(1)甲和乙
(2)答案有如下两种情况,任选一种即可:①选择甲小组的方案:证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore OB=OD$,$AB // CD$,$\therefore ∠ EBO=∠ FDO$,$∠ BEO=∠ DFO$,$\therefore △ OBE ≌ △ ODF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OE=OF$.$\because BM=DN$,$\therefore OB-BM=OD-DN$,即 $OM=ON$,$\therefore$ 四边形 $EMFN$ 是平行四边形;
②选择乙小组的方案:证明:同①可证 $OE=OF$.$\because EM ⊥ BD$,$FN ⊥ BD$,$\therefore ∠ OME=∠ ONF=90°$.
$\because ∠ EOM=∠ FON$,$\therefore △ OEM ≌ △ OFN(\mathrm{AAS})$,$\therefore OM=ON$,$\therefore$ 四边形 $EMFN$ 是平行四边形.

【分析】
要解决本题，首先需明确平行四边形的判定方法，本题可通过“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理分析两个小组的方案。首先利用平行四边形ABCD的性质，可证△OBE≌△ODF得到OE=OF，这是分析两个方案的基础：对于甲小组的方案，结合BM=DN可推出OM=ON，即可得到四边形EMFN的对角线互相平分；对于乙小组的方案，通过垂直条件可证△EOM≌△FON得到OM=ON，同样可得对角线互相平分，因此两个小组的方案均正确。
【解析】
(1) 方案判断：
已知四边形ABCD是平行四边形，故OB=OD，AB//CD，可得∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，可证△OBE≌△ODF（AAS），得OE=OF。
甲小组取BM=DN，则OB-BM=OD-DN，即OM=ON，四边形EMFN对角线EF、MN互相平分，是平行四边形，方案正确；
乙小组作EM⊥BD、FN⊥BD，故∠OME=∠ONF=90°，结合∠EOM=∠FON、OE=OF，可证△OEM≌△OFN（AAS），得OM=ON，四边形EMFN对角线互相平分，是平行四边形，方案正确。
(2) 证明（任选一种即可）：
①选择甲小组方案：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB//CD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
在$△ OBE$和$△ ODF$中：
$\begin{cases}∠ EBO=∠ FDO \\∠ BEO=∠ DFO \\OB=OD\end{cases}$
∴$△ OBE ≌ △ ODF(\mathrm{AAS})$，
∴OE=OF，
∵BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即$OM=ON$，
∵四边形EMFN的对角线EF、MN互相平分，
∴四边形$EMFN$是平行四边形。
②选择乙小组方案：
证明：同①可证$△ OBE ≌ △ ODF(\mathrm{AAS})$，得$OE=OF$，
∵$EM ⊥ BD$，$FN ⊥ BD$，
∴$∠ OME=∠ ONF=90°$，
在$△ OEM$和$△ OFN$中：
$\begin{cases}∠ OME=∠ ONF \\∠ EOM=∠ FON \\OE=OF\end{cases}$
∴$△ OEM ≌ △ OFN(\mathrm{AAS})$，
∴$OM=ON$，
∵四边形EMFN的对角线EF、MN互相平分，
∴四边形$EMFN$是平行四边形。
【答案】
(1) 甲和乙
(2) 证明见上述解析（任选一种即可）
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合作图方案判断考查平行四边形相关知识，需要学生灵活运用平行四边形的性质和全等三角形的判定推导结论，注重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7