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1.如图，在$□ ABCD$中，$AB// EG// FH// CD$，则图中平行四边形的个数是（
A.3
B.4
C.5
D.6
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，又给出AB//EG//FH//CD，因此任意两条横向平行线与AD、BC截取的线段都能围成平行四边形。为避免计数时重复或遗漏，我们采用分类计数的方法：按包含的小平行四边形的个数，从少到多依次计数，最后求和即可得到总数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
又
∵AB//EG//FH//CD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，分类计数如下：
1. 单个小平行四边形：▱ABGE、▱EGHF、▱FHCD，共3个；
2. 由2个小平行四边形拼成的平行四边形：▱ABHF、▱EGCD，共2个；
3. 由3个小平行四边形拼成的平行四边形：▱ABCD，共1个；
总个数为$3+2+1=6$个。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；图形分类计数
【点评】
本题考查平行四边形的判定和图形计数，解题核心是按照固定顺序分类计数，能有效防止漏数、重复数的问题，是几何计数类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，又给出AB//EG//FH//CD，因此任意两条横向平行线与AD、BC截取的线段都能围成平行四边形。为避免计数时重复或遗漏，我们采用分类计数的方法：按包含的小平行四边形的个数，从少到多依次计数，最后求和即可得到总数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
又
∵AB//EG//FH//CD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，分类计数如下：
1. 单个小平行四边形：▱ABGE、▱EGHF、▱FHCD，共3个；
2. 由2个小平行四边形拼成的平行四边形：▱ABHF、▱EGCD，共2个；
3. 由3个小平行四边形拼成的平行四边形：▱ABCD，共1个；
总个数为$3+2+1=6$个。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；图形分类计数
【点评】
本题考查平行四边形的判定和图形计数，解题核心是按照固定顺序分类计数，能有效防止漏数、重复数的问题，是几何计数类的基础题型。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$□ ABCD$中，$AB=3$，$BC=5$，$∠ ABC=60°$，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
D
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
2.D
解析
【分析】
要求EC的长度，已知BC的长，可通过EC=BC-BE转化为求BE的长度。首先根据作图的性质，以A为圆心AB为半径画弧可得AE=AB，结合∠ABC=60°，可判定△ABE是等边三角形，得到BE的长度，最后代入计算即可求出EC。
【解析】
∵ 以A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点E，
∴ AE=AB=3，
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ △ABE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BE=AB=3，
∵ 已知BC=5，
∴ EC=BC-BE=5-3=2。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合作图的性质得到AE=AB，进而判定等边三角形求出BE的长度，整体计算量小，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8
要求EC的长度，已知BC的长，可通过EC=BC-BE转化为求BE的长度。首先根据作图的性质，以A为圆心AB为半径画弧可得AE=AB，结合∠ABC=60°，可判定△ABE是等边三角形，得到BE的长度，最后代入计算即可求出EC。
【解析】
∵ 以A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点E，
∴ AE=AB=3，
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ △ABE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ BE=AB=3，
∵ 已知BC=5，
∴ EC=BC-BE=5-3=2。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合作图的性质得到AE=AB，进而判定等边三角形求出BE的长度，整体计算量小，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8
3.如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(-1,2)，则点C的坐标是 （
A.(2,-1)
B.(-2,1)
C.(1,-2)
D.(-1,-2)
C
）A.(2,-1)
B.(-2,1)
C.(1,-2)
D.(-1,-2)
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，结合本题对角线交点在原点，可知原点是对角线AC的中点，即点A和点C关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，就可以由A的坐标推出C的坐标。
【解析】
∵平行四边形的对角线互相平分，且本题中平行四边形的对角线交点在原点O，
∴点A与点C关于原点O对称，
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，已知A(-1,2)，
∴点C的坐标为(1,-2)。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题是基础题，将平行四边形的性质和平面直角坐标系中点的对称规律结合考查，掌握核心性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，结合本题对角线交点在原点，可知原点是对角线AC的中点，即点A和点C关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，就可以由A的坐标推出C的坐标。
【解析】
∵平行四边形的对角线互相平分，且本题中平行四边形的对角线交点在原点O，
∴点A与点C关于原点O对称，
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，已知A(-1,2)，
∴点C的坐标为(1,-2)。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题是基础题，将平行四边形的性质和平面直角坐标系中点的对称规律结合考查，掌握核心性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$BC$，$AD$上，连接$AE$，$CF$，$AC$，$EF$，$AC$与$EF$相交于点$O$，则添加下列条件后，不能使四边形$AECF$成为平行四边形的是（
A.$BE=DF$
B.$AE// CF$
C.$OE=OF$
D.$AF=AE$
D
）A.$BE=DF$
B.$AE// CF$
C.$OE=OF$
D.$AF=AE$
答案
4.D
解析
【分析】
本题可先根据平行四边形ABCD的性质得到$AF// EC$这一基础条件，再结合平行四边形的判定定理，逐一分析各选项添加的条件能否推出四边形AECF满足平行四边形的判定要求，进而选出符合题意的选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，即$AF// EC$。
A选项：若$BE=DF$，则$AD-DF=BC-BE$，即$AF=EC$，
又
∵$AF// EC$，
∴一组对边平行且相等，四边形AECF是平行四边形，不符合题意；
B选项：若$AE// CF$，已知$AF// EC$，
∴两组对边分别平行，四边形AECF是平行四边形，不符合题意；
C选项：若$OE=OF$，
∵$AF// EC$，
∴$∠ OAF=∠ OCE$，$∠ AFO=∠ CEO$，
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCE\\ ∠ AFO=∠ CEO\\ OF=OE\end{array} $
∴$△ AOF≌△ COE$（AAS），
∴$AF=CE$，又$AF// CE$，
∴四边形AECF是平行四边形，不符合题意；
D选项：若$AF=AE$，仅能得到一组邻边相等，结合$AF// EC$，无法证明$AF=EC$，也无法证明$AE// CF$，不能判定四边形AECF是平行四边形，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础应用类题目，解题关键是先从已知平行四边形中推导出待判定四边形已有一组对边平行，再结合各选项条件对照判定定理验证即可，需注意区分平行四边形的判定条件，不要和性质混淆。
【难度系数】
0.7
本题可先根据平行四边形ABCD的性质得到$AF// EC$这一基础条件，再结合平行四边形的判定定理，逐一分析各选项添加的条件能否推出四边形AECF满足平行四边形的判定要求，进而选出符合题意的选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，即$AF// EC$。
A选项：若$BE=DF$，则$AD-DF=BC-BE$，即$AF=EC$，
又
∵$AF// EC$，
∴一组对边平行且相等，四边形AECF是平行四边形，不符合题意；
B选项：若$AE// CF$，已知$AF// EC$，
∴两组对边分别平行，四边形AECF是平行四边形，不符合题意；
C选项：若$OE=OF$，
∵$AF// EC$，
∴$∠ OAF=∠ OCE$，$∠ AFO=∠ CEO$，
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAF=∠ OCE\\ ∠ AFO=∠ CEO\\ OF=OE\end{array} $
∴$△ AOF≌△ COE$（AAS），
∴$AF=CE$，又$AF// CE$，
∴四边形AECF是平行四边形，不符合题意；
D选项：若$AF=AE$，仅能得到一组邻边相等，结合$AF// EC$，无法证明$AF=EC$，也无法证明$AE// CF$，不能判定四边形AECF是平行四边形，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础应用类题目，解题关键是先从已知平行四边形中推导出待判定四边形已有一组对边平行，再结合各选项条件对照判定定理验证即可，需注意区分平行四边形的判定条件，不要和性质混淆。
【难度系数】
0.7
5.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，$AC=4$.若 $□ ABCD$ 的周长为 $12$，则 $△ COE$ 的周长为 （
A.4
B.5
C.6
D.8
B
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
5.B
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的性质，平行四边形对边相等、对角线互相平分，由此可先求出相邻两边之和，以及对角线交点O是AC的中点；再结合E是BC中点，可判断OE是△ABC的中位线，根据中位线定理得到OE与AB的关系，CE与BC的关系，最后将△COE的三边用已知量表示出来计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为12
∴$2(AB + BC) = 12$，即$AB + BC = 6$
又
∵平行四边形对角线互相平分，$AC=4$
∴O是AC的中点，$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∵E是BC的中点，O是AC的中点
∴OE是△ABC的中位线，$CE = \frac{1}{2}BC$
根据三角形中位线定理，得$OE = \frac{1}{2}AB$
∴△COE的周长 = $OC + OE + CE = 2 + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC = 2 + \frac{1}{2}(AB + BC) = 2 + \frac{1}{2}×6 = 5$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质和三角形中位线定理，将所求三角形的边长转化为已知条件对应的线段，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先回忆平行四边形的性质，平行四边形对边相等、对角线互相平分，由此可先求出相邻两边之和，以及对角线交点O是AC的中点；再结合E是BC中点，可判断OE是△ABC的中位线，根据中位线定理得到OE与AB的关系，CE与BC的关系，最后将△COE的三边用已知量表示出来计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为12
∴$2(AB + BC) = 12$，即$AB + BC = 6$
又
∵平行四边形对角线互相平分，$AC=4$
∴O是AC的中点，$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∵E是BC的中点，O是AC的中点
∴OE是△ABC的中位线，$CE = \frac{1}{2}BC$
根据三角形中位线定理，得$OE = \frac{1}{2}AB$
∴△COE的周长 = $OC + OE + CE = 2 + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC = 2 + \frac{1}{2}(AB + BC) = 2 + \frac{1}{2}×6 = 5$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质和三角形中位线定理，将所求三角形的边长转化为已知条件对应的线段，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$□ ABCD$中,$AB=5$,$AD=8$,$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,点$F$是$DC$的中点,连接$EF$并延长交$BC$的延长线于点$G$,则$BG=$
11
.答案
6.11
解析
【分析】解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的条件可推出等腰三角形，求出ED的长度；再利用中点条件，结合平行线的内错角相等证明△EDF和△GCF全等，得到CG的长度，最后将BC与CG相加即可得到BG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC=8$，$AB=CD=5$，
∴$∠AEB=∠EBC$，
∵BE平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠EBC$，
∴$∠ABE=∠AEB$，
∴$AE=AB=5$，
∴$ED=AD-AE=8-5=3$，
∵$AD// BC$，
∴$∠DEF=∠G$，$∠EDF=∠GCF$，
∵点F是DC的中点，
∴$DF=CF$，
在$△ EDF$和$△ GCF$中：
$\begin{cases}∠DEF=∠G \\∠EDF=∠GCF \\DF=CF\end{cases}$
∴$△ EDF≌△ GCF(AAS)$，
∴$CG=ED=3$，
∴$BG=BC+CG=8+3=11$。
【答案】
11
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查了常见的“平行线+角平分线得等腰三角形”的模型，以及全等三角形转化线段长度的方法，解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC=8$，$AB=CD=5$，
∴$∠AEB=∠EBC$，
∵BE平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠EBC$，
∴$∠ABE=∠AEB$，
∴$AE=AB=5$，
∴$ED=AD-AE=8-5=3$，
∵$AD// BC$，
∴$∠DEF=∠G$，$∠EDF=∠GCF$，
∵点F是DC的中点，
∴$DF=CF$，
在$△ EDF$和$△ GCF$中：
$\begin{cases}∠DEF=∠G \\∠EDF=∠GCF \\DF=CF\end{cases}$
∴$△ EDF≌△ GCF(AAS)$，
∴$CG=ED=3$，
∴$BG=BC+CG=8+3=11$。
【答案】
11
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查了常见的“平行线+角平分线得等腰三角形”的模型，以及全等三角形转化线段长度的方法，解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.7
7.如图，$AB=DC$，$AD=BC$，$E$，$F$是$DB$上两点且$BF=DE$.若$∠ AEB=110°$，$∠ ADB=35°$，则$∠ BCF$的度数是________.
答案
7.75°
解析
【分析】
首先根据两组对边分别相等可判定四边形ABCD是平行四边形，由此得到AD//BC，推出内错角∠ADB=∠CBD；再结合已知的AD=BC、DE=BF，利用SAS证明△ADE≌△CBF，可得∠BCF=∠DAE；最后根据三角形外角的性质，∠AEB是△ADE的外角，等于∠ADB与∠DAE的和，代入已知角度计算出∠DAE，即可得到∠BCF的度数。
【解析】
1. 已知$AB=DC$，$AD=BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形，因此$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，推出$∠ ADE=∠ CBF$。
2. 在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AD=BC（已知）\\∠ ADE=∠ CBF（已证）\\DE=BF（已知）\end{cases}$
因此$△ ADE≌△ CBF（SAS）$，可得$∠ BCF=∠ DAE$。
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，$∠ AEB$是$△ ADE$的外角，因此$∠ AEB=∠ ADB+∠ DAE$。
已知$∠ AEB=110°$，$∠ ADB=35°$，代入得$∠ DAE=∠ AEB-∠ ADB=110°-35°=75°$，因此$∠ BCF=∠ DAE=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、全等三角形、三角形外角的知识点结合考查，解题的核心是通过平行四边形的性质得到全等三角形的判定条件，再结合外角性质完成角度推导。
【难度系数】
0.7
首先根据两组对边分别相等可判定四边形ABCD是平行四边形，由此得到AD//BC，推出内错角∠ADB=∠CBD；再结合已知的AD=BC、DE=BF，利用SAS证明△ADE≌△CBF，可得∠BCF=∠DAE；最后根据三角形外角的性质，∠AEB是△ADE的外角，等于∠ADB与∠DAE的和，代入已知角度计算出∠DAE，即可得到∠BCF的度数。
【解析】
1. 已知$AB=DC$，$AD=BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形，因此$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，推出$∠ ADE=∠ CBF$。
2. 在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AD=BC（已知）\\∠ ADE=∠ CBF（已证）\\DE=BF（已知）\end{cases}$
因此$△ ADE≌△ CBF（SAS）$，可得$∠ BCF=∠ DAE$。
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，$∠ AEB$是$△ ADE$的外角，因此$∠ AEB=∠ ADB+∠ DAE$。
已知$∠ AEB=110°$，$∠ ADB=35°$，代入得$∠ DAE=∠ AEB-∠ ADB=110°-35°=75°$，因此$∠ BCF=∠ DAE=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、全等三角形、三角形外角的知识点结合考查，解题的核心是通过平行四边形的性质得到全等三角形的判定条件，再结合外角性质完成角度推导。
【难度系数】
0.7
8.如图,在四边形ABCD中,P是对角线AC的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠FPE=128°,则∠PFE的度数是
26°
.答案
8.26°
解析
【分析】
题目中出现多个边的中点，优先考虑三角形中位线定理解题：首先根据P是AC中点、E是AB中点，可得PE是△ABC的中位线，推出PE=½BC；再根据P是AC中点、F是CD中点，可得PF是△ADC的中位线，推出PF=½AD。结合已知AD=BC，可证PE=PF，即△EPF是等腰三角形，已知顶角∠FPE的度数，根据等腰三角形内角和的性质即可求出底角∠PFE的度数。
【解析】
解：
∵P是AC的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABC的中位线，
∴$PE=\frac{1}{2}BC$。
同理，
∵P是AC的中点，F是CD的中点，
∴PF是△ADC的中位线，
∴$PF=\frac{1}{2}AD$。
又
∵AD=BC，
∴PE=PF，即△PEF为等腰三角形。
在等腰△PEF中，∠FPE=128°，
∴$∠ PFE=\frac{180°-∠ FPE}{2}=\frac{180°-128°}{2}=26°$。
【答案】
26°
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是根据中点条件利用中位线定理推导边相等，得到等腰三角形后结合内角和计算角度，思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
题目中出现多个边的中点，优先考虑三角形中位线定理解题：首先根据P是AC中点、E是AB中点，可得PE是△ABC的中位线，推出PE=½BC；再根据P是AC中点、F是CD中点，可得PF是△ADC的中位线，推出PF=½AD。结合已知AD=BC，可证PE=PF，即△EPF是等腰三角形，已知顶角∠FPE的度数，根据等腰三角形内角和的性质即可求出底角∠PFE的度数。
【解析】
解：
∵P是AC的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABC的中位线，
∴$PE=\frac{1}{2}BC$。
同理，
∵P是AC的中点，F是CD的中点，
∴PF是△ADC的中位线，
∴$PF=\frac{1}{2}AD$。
又
∵AD=BC，
∴PE=PF，即△PEF为等腰三角形。
在等腰△PEF中，∠FPE=128°，
∴$∠ PFE=\frac{180°-∠ FPE}{2}=\frac{180°-128°}{2}=26°$。
【答案】
26°
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是根据中点条件利用中位线定理推导边相等，得到等腰三角形后结合内角和计算角度，思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
