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13.阅读理解 (1)问题发现 由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角.
如图①,∠1,∠2是四边形ABCD的两个外角,
∵四边形ABCD的内角和是360°,
∴∠A+∠D+(∠3+∠4)=360°.
又∠1+∠3+∠2+∠4=360°,
由此可得∠1,∠2与∠A,∠D的数量关系是
(2)知识应用 如图②,已知四边形ABCD,AE,DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线,若∠B+∠C=230°,求∠E的度数;
(3)拓展提升 如图③,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CDN和∠CBM是它的两个外角,且$∠ CDP = \frac{1}{4}∠ CDN$,$∠ CBP = \frac{1}{4}∠ CBM$,求∠P的度数.
如图①,∠1,∠2是四边形ABCD的两个外角,
∵四边形ABCD的内角和是360°,
∴∠A+∠D+(∠3+∠4)=360°.
又∠1+∠3+∠2+∠4=360°,
由此可得∠1,∠2与∠A,∠D的数量关系是
∠1+∠2=∠A+∠D
;(2)知识应用 如图②,已知四边形ABCD,AE,DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线,若∠B+∠C=230°,求∠E的度数;
(3)拓展提升 如图③,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CDN和∠CBM是它的两个外角,且$∠ CDP = \frac{1}{4}∠ CDN$,$∠ CBP = \frac{1}{4}∠ CBM$,求∠P的度数.
答案
13.解:(1)$∠1+∠2=∠A+∠D$;
(2)$\because ∠B+∠C=230°,∴∠MDA+∠NAD=230°.∵AE,DE$分别是$∠NAD,∠MDA$的平分线,
$∠ADE=\frac{1}{2}∠MDA,∠DAE=\frac{1}{2}∠NAD,∴∠ADE+∠DAE=\frac{1}{2}(∠MDA+∠NAD)=\frac{1}{2}×230°=115°,∴∠E=180°-(∠ADE+∠DAE)=180°-115°=65°;$
(3)$\because ∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠CBM+∠CDN=180°.∵∠CDP=\frac{1}{4}∠CDN,∠CBP=\frac{1}{4}∠CBM,∴∠CDP+∠CBP=\frac{1}{4}(∠CDN+∠CBM)=\frac{1}{4}×180°=45°.$
$\because ∠ABP+∠ADP=∠ABC+∠CBP+∠ADC+∠CDP=180°+45°=225°,∴∠P=360°-∠A-(∠ABP+∠ADP)=360°-90°-225°=45°.$
(2)$\because ∠B+∠C=230°,∴∠MDA+∠NAD=230°.∵AE,DE$分别是$∠NAD,∠MDA$的平分线,
$∠ADE=\frac{1}{2}∠MDA,∠DAE=\frac{1}{2}∠NAD,∴∠ADE+∠DAE=\frac{1}{2}(∠MDA+∠NAD)=\frac{1}{2}×230°=115°,∴∠E=180°-(∠ADE+∠DAE)=180°-115°=65°;$
(3)$\because ∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠CBM+∠CDN=180°.∵∠CDP=\frac{1}{4}∠CDN,∠CBP=\frac{1}{4}∠CBM,∴∠CDP+∠CBP=\frac{1}{4}(∠CDN+∠CBM)=\frac{1}{4}×180°=45°.$
$\because ∠ABP+∠ADP=∠ABC+∠CBP+∠ADC+∠CDP=180°+45°=225°,∴∠P=360°-∠A-(∠ABP+∠ADP)=360°-90°-225°=45°.$
解析
【分析】
(1) 结合四边形内角和为360°，以及两个平角的和也为360°，将两个等式消去公共的∠3、∠4，即可推导得到∠1、∠2与∠A、∠D的数量关系。
(2) 先利用(1)得到的四边形外角规律，求出∠MDA+∠NAD的和，再结合角平分线的定义，计算出△ADE中两个锐角的和，最后用三角形内角和180°减去该和即可求出∠E的度数。
(3) 首先由四边形ABCD中两个直角的条件，推导得出两个外角∠CBM+∠CDN的和，再结合已知的角度比例关系，算出∠CDP+∠CBP的度数，最后利用四边形ABPD的内角和计算出∠P的度数。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴$∠ A+∠ D+(∠ 3+∠ 4)=360°$，
又
∵$∠ 1+∠ 3=180°$，$∠ 2+∠ 4=180°$，即$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°$，
对比两个等式可得$∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ D$。
(2) 由(1)的结论可知，四边形ABCD中$∠ MDA+∠ NAD=∠ B+∠ C$，
∵$∠ B+∠ C=230°$，
∴$∠ MDA+∠ NAD=230°$，
∵AE、DE分别是$∠ NAD$、$∠ MDA$的平分线，
∴$∠ ADE=\frac{1}{2}∠ MDA$，$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ NAD$，
∴$∠ ADE+∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ MDA+∠ NAD)=\frac{1}{2}×230°=115°$，
在$△ ADE$中，$∠ E=180°-(∠ ADE+∠ DAE)=180°-115°=65°$。
(3) 在四边形ABCD中，内角和为360°，$∠ A=∠ C=90°$，
∴$∠ ABC+∠ ADC=360°-90°-90°=180°$，
∵$∠ CBM+∠ ABC=180°$，$∠ CDN+∠ ADC=180°$，
∴$∠ CBM+∠ CDN=360°-(∠ ABC+∠ ADC)=180°$，
∵$∠ CDP=\frac{1}{4}∠ CDN$，$∠ CBP=\frac{1}{4}∠ CBM$，
∴$∠ CDP+∠ CBP=\frac{1}{4}(∠ CDN+∠ CBM)=\frac{1}{4}×180°=45°$，
∴$∠ ABP+∠ ADP=(∠ ABC+∠ CBP)+(∠ ADC+∠ CDP)=(∠ ABC+∠ ADC)+(∠ CDP+∠ CBP)=180°+45°=225°$，
在四边形ABPD中，$∠ P=360°-∠ A-(∠ ABP+∠ ADP)=360°-90°-225°=45°$。
【答案】
(1) $∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ D$
(2) $∠ E=65°$
(3) $∠ P=45°$
【知识点】
多边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题为规律探究类题型，从三角形外角性质延伸到四边形外角的规律应用，设问由浅入深，既考查了基础几何定理的掌握程度，也锻炼了知识迁移和逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 结合四边形内角和为360°，以及两个平角的和也为360°，将两个等式消去公共的∠3、∠4，即可推导得到∠1、∠2与∠A、∠D的数量关系。
(2) 先利用(1)得到的四边形外角规律，求出∠MDA+∠NAD的和，再结合角平分线的定义，计算出△ADE中两个锐角的和，最后用三角形内角和180°减去该和即可求出∠E的度数。
(3) 首先由四边形ABCD中两个直角的条件，推导得出两个外角∠CBM+∠CDN的和，再结合已知的角度比例关系，算出∠CDP+∠CBP的度数，最后利用四边形ABPD的内角和计算出∠P的度数。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴$∠ A+∠ D+(∠ 3+∠ 4)=360°$，
又
∵$∠ 1+∠ 3=180°$，$∠ 2+∠ 4=180°$，即$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°$，
对比两个等式可得$∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ D$。
(2) 由(1)的结论可知，四边形ABCD中$∠ MDA+∠ NAD=∠ B+∠ C$，
∵$∠ B+∠ C=230°$，
∴$∠ MDA+∠ NAD=230°$，
∵AE、DE分别是$∠ NAD$、$∠ MDA$的平分线，
∴$∠ ADE=\frac{1}{2}∠ MDA$，$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ NAD$，
∴$∠ ADE+∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ MDA+∠ NAD)=\frac{1}{2}×230°=115°$，
在$△ ADE$中，$∠ E=180°-(∠ ADE+∠ DAE)=180°-115°=65°$。
(3) 在四边形ABCD中，内角和为360°，$∠ A=∠ C=90°$，
∴$∠ ABC+∠ ADC=360°-90°-90°=180°$，
∵$∠ CBM+∠ ABC=180°$，$∠ CDN+∠ ADC=180°$，
∴$∠ CBM+∠ CDN=360°-(∠ ABC+∠ ADC)=180°$，
∵$∠ CDP=\frac{1}{4}∠ CDN$，$∠ CBP=\frac{1}{4}∠ CBM$，
∴$∠ CDP+∠ CBP=\frac{1}{4}(∠ CDN+∠ CBM)=\frac{1}{4}×180°=45°$，
∴$∠ ABP+∠ ADP=(∠ ABC+∠ CBP)+(∠ ADC+∠ CDP)=(∠ ABC+∠ ADC)+(∠ CDP+∠ CBP)=180°+45°=225°$，
在四边形ABPD中，$∠ P=360°-∠ A-(∠ ABP+∠ ADP)=360°-90°-225°=45°$。
【答案】
(1) $∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ D$
(2) $∠ E=65°$
(3) $∠ P=45°$
【知识点】
多边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题为规律探究类题型，从三角形外角性质延伸到四边形外角的规律应用，设问由浅入深，既考查了基础几何定理的掌握程度，也锻炼了知识迁移和逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.65
