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8.一个多边形的边数从$x$减少到$x-2$($x＞5$，且$x$为正整数)，下列说法正确的是 （
A.内角和、外角和都不变
B.内角和不变，外角和减少$360°$
C.内角和减少$360°$，外角和不变
D.内角和、外角和都减少$360°$
C
）A.内角和、外角和都不变
B.内角和不变，外角和减少$360°$
C.内角和减少$360°$，外角和不变
D.内角和、外角和都减少$360°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形的两个核心性质：一是任意多边形的外角和固定为360°，和边数无关；二是多边形内角和随边数变化，公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）。第一步先根据外角和性质排除外角和变化的选项，第二步再通过内角和公式计算边数减少2时内角和的变化量，最终确定正确选项。
【解析】
1. 分析外角和变化：任意多边形的外角和均为$360°$，与边数多少无关，因此边数从$x$减少到$x-2$时，外角和保持不变，可直接排除B、D选项。
2. 分析内角和变化：根据多边形内角和公式，边数为$x$时，内角和为$(x-2)×180°$；边数变为$x-2$时，内角和为$(x-2-2)×180°=(x-4)×180°$。
两者的差值为：
$(x-2)×180° - (x-4)×180° = 180°×[(x-2)-(x-4)] = 180°×2=360°$
即内角和减少了$360°$。
综上，内角和减少$360°$，外角和不变，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形内外角和的基础性质，解题的关键是牢记多边形外角和恒为$360°$，能熟练运用内角和公式计算边数变化时内角和的变化量，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多边形的两个核心性质：一是任意多边形的外角和固定为360°，和边数无关；二是多边形内角和随边数变化，公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）。第一步先根据外角和性质排除外角和变化的选项，第二步再通过内角和公式计算边数减少2时内角和的变化量，最终确定正确选项。
【解析】
1. 分析外角和变化：任意多边形的外角和均为$360°$，与边数多少无关，因此边数从$x$减少到$x-2$时，外角和保持不变，可直接排除B、D选项。
2. 分析内角和变化：根据多边形内角和公式，边数为$x$时，内角和为$(x-2)×180°$；边数变为$x-2$时，内角和为$(x-2-2)×180°=(x-4)×180°$。
两者的差值为：
$(x-2)×180° - (x-4)×180° = 180°×[(x-2)-(x-4)] = 180°×2=360°$
即内角和减少了$360°$。
综上，内角和减少$360°$，外角和不变，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形内外角和的基础性质，解题的关键是牢记多边形外角和恒为$360°$，能熟练运用内角和公式计算边数变化时内角和的变化量，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9.如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA.若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E为 （
A.220°
B.240°
C.260°
D.280°
D
）A.220°
B.240°
C.260°
D.280°
答案
9.D
解析
【分析】
解决本题可通过添加辅助线连接BD，将不规则的角度求和问题转化为我们熟悉的三角形、四边形内角和问题求解。首先利用三角形内角和定理求出△BCD中剩余两个角的和，再结合四边形内角和公式，通过角的和差关系即可推导出所求角的度数和。
【解析】
解：连接BD。
在△BCD中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ CBD + ∠ CDB + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=100°$，代入得：
$∠ CBD + ∠ CDB = 180° - 100° = 80°$
四边形ABDE的内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ A + ∠ ABD + ∠ BDE + ∠ E = 360°$
其中$∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD$，$∠ BDE = ∠ CDE + ∠ CDB$，代入上式可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ CBD + ∠ CDE + ∠ CDB + ∠ E = 360°$
整理得：
$∠ A + ∠ B + ∠ D + ∠ E = 360° - (∠ CBD + ∠ CDB) = 360° - 80° = 280°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，核心是通过合理添加辅助线，将未知的角度和转化为已学的多边形内角和公式求解，能较好地考查学生的转化思想和几何构图能力。
【难度系数】
0.7
解决本题可通过添加辅助线连接BD，将不规则的角度求和问题转化为我们熟悉的三角形、四边形内角和问题求解。首先利用三角形内角和定理求出△BCD中剩余两个角的和，再结合四边形内角和公式，通过角的和差关系即可推导出所求角的度数和。
【解析】
解：连接BD。
在△BCD中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ CBD + ∠ CDB + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=100°$，代入得：
$∠ CBD + ∠ CDB = 180° - 100° = 80°$
四边形ABDE的内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ A + ∠ ABD + ∠ BDE + ∠ E = 360°$
其中$∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD$，$∠ BDE = ∠ CDE + ∠ CDB$，代入上式可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ CBD + ∠ CDE + ∠ CDB + ∠ E = 360°$
整理得：
$∠ A + ∠ B + ∠ D + ∠ E = 360° - (∠ CBD + ∠ CDB) = 360° - 80° = 280°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，四边形内角和
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，核心是通过合理添加辅助线，将未知的角度和转化为已学的多边形内角和公式求解，能较好地考查学生的转化思想和几何构图能力。
【难度系数】
0.7
10.传统文化 图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，若$∠ 1=35°$，则$∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5=$
325
°.答案
10.325
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，图②是由五条线段围成的五边形，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是这个五边形的5个外角。回忆多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°，因此先得到五个角的总和，再减去已知的∠1的度数，即可求出剩余四个角的和。
【解析】
根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和为360°。
观察图形可得，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是该五边形的五个外角，因此：
$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°$
将$∠1=35°$代入上式，得：
$∠2+∠3+∠4+∠5=360° - 35°=325°$
【答案】
325
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题结合传统建筑窗格的文化背景出题，既体现了数学在生活中的应用，也考查了基础定理的运用，解题关键是准确识别多边形外角，牢记多边形外角和恒为360°即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，图②是由五条线段围成的五边形，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是这个五边形的5个外角。回忆多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°，因此先得到五个角的总和，再减去已知的∠1的度数，即可求出剩余四个角的和。
【解析】
根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和为360°。
观察图形可得，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是该五边形的五个外角，因此：
$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°$
将$∠1=35°$代入上式，得：
$∠2+∠3+∠4+∠5=360° - 35°=325°$
【答案】
325
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题结合传统建筑窗格的文化背景出题，既体现了数学在生活中的应用，也考查了基础定理的运用，解题关键是准确识别多边形外角，牢记多边形外角和恒为360°即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
1.如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为
36
度。答案
11.36
解析
【分析】
解题可按照三步推导：第一步，先利用多边形内角和公式计算正五边形的内角和，再结合正多边形各内角相等的性质，算出单个内角的度数；第二步，找到∠F所在的△FBC，利用邻补角的性质，算出△FBC两个底角的度数；第三步，结合三角形内角和定理，即可求出∠F的大小。
【解析】
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的边数$n=5$，因此内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
正五边形每个内角相等，因此单个内角的度数为：
$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$
因为AB、DC延长交于点F，$∠ FBC$是$∠ ABC$的邻补角，$∠ FCB$是$∠ BCD$的邻补角，所以：
$∠ FBC=180°-108°=72°$，$∠ FCB=180°-108°=72°$
在$△ FBC$中，由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ F=180°-72°-72°=36°$
【答案】
36
【知识点】
多边形内角和，正多边形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是多边形与三角形性质结合的基础题，解题核心是先求出正五边形的内角度数，再转化到三角形中计算未知角，考察对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按照三步推导：第一步，先利用多边形内角和公式计算正五边形的内角和，再结合正多边形各内角相等的性质，算出单个内角的度数；第二步，找到∠F所在的△FBC，利用邻补角的性质，算出△FBC两个底角的度数；第三步，结合三角形内角和定理，即可求出∠F的大小。
【解析】
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的边数$n=5$，因此内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
正五边形每个内角相等，因此单个内角的度数为：
$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$
因为AB、DC延长交于点F，$∠ FBC$是$∠ ABC$的邻补角，$∠ FCB$是$∠ BCD$的邻补角，所以：
$∠ FBC=180°-108°=72°$，$∠ FCB=180°-108°=72°$
在$△ FBC$中，由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ F=180°-72°-72°=36°$
【答案】
36
【知识点】
多边形内角和，正多边形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是多边形与三角形性质结合的基础题，解题核心是先求出正五边形的内角度数，再转化到三角形中计算未知角，考察对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
12.已知$n$边形的内角和$θ=(n-2)·180°$.
(1)甲同学说，$θ$能取$720°$，而乙同学说，$θ$也能取$820°$，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数$n$；若不对，请说明理由.
(2)若$n$边形变为$(n+x)$边形，发现内角和增加了$360°$，用列方程的方法求$x$的值.
(1)甲同学说，$θ$能取$720°$，而乙同学说，$θ$也能取$820°$，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数$n$；若不对，请说明理由.
(2)若$n$边形变为$(n+x)$边形，发现内角和增加了$360°$，用列方程的方法求$x$的值.
答案
12.解:(1)甲对,乙不对,理由如下:当θ取720°时,720°=(n-2)×180°,解得n=6;当θ取820°时,820°=(n-2)×180°,解得$n=\frac{59}{9}$.
∵n为整数,
∴θ不能取820°;
(2)依题意,得(n-2)×180+360=(n+x-2)×180,解得x=2.
∵n为整数,
∴θ不能取820°;
(2)依题意,得(n-2)×180+360=(n+x-2)×180,解得x=2.
解析
【分析】
解决本题需紧扣多边形内角和公式，明确多边形的边数n必须是大于等于3的正整数，因此内角和θ一定是180°的整数倍。（1）问可分别将甲乙所说的内角度数代入公式求解n，判断n是否为正整数即可验证两人说法是否正确，若成立则求出对应n值；（2）问根据“内角和增加360°”的等量关系，分别写出原n边形和变化后(n+x)边形的内角和，列一元一次方程求解x即可。
【解析】
(1) 甲的说法对，乙的说法不对，理由如下：
当θ取720°时，代入内角和公式θ=(n-2)·180°，得：
$720°=(n-2)×180°$
解得$n=6$，n为正整数，符合多边形边数要求。
当θ取820°时，代入公式得：
$820°=(n-2)×180°$
解得$n=\frac{59}{9}$。
∵多边形的边数n为正整数，$\frac{59}{9}$不是整数，不符合要求，
∴θ不能取820°，乙的说法错误。
(2) 依题意列方程：
$(n-2)×180 + 360=(n+x-2)×180$
化简方程，左边得$180n$，右边得$180n+180x-360$，整理得：
$180n=180n+180x-360$
两边同时消去$180n$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 甲说法对，对应边数n为6；乙说法不对，因为解得的边数不是正整数，不符合多边形定义；
(2) $x=2$
【知识点】
多边形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形章节的基础常规题，解题关键是抓住“多边形边数为正整数”的隐含条件，熟练运用内角和公式列式计算，既考查基础公式的掌握程度，也锻炼方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
解决本题需紧扣多边形内角和公式，明确多边形的边数n必须是大于等于3的正整数，因此内角和θ一定是180°的整数倍。（1）问可分别将甲乙所说的内角度数代入公式求解n，判断n是否为正整数即可验证两人说法是否正确，若成立则求出对应n值；（2）问根据“内角和增加360°”的等量关系，分别写出原n边形和变化后(n+x)边形的内角和，列一元一次方程求解x即可。
【解析】
(1) 甲的说法对，乙的说法不对，理由如下：
当θ取720°时，代入内角和公式θ=(n-2)·180°，得：
$720°=(n-2)×180°$
解得$n=6$，n为正整数，符合多边形边数要求。
当θ取820°时，代入公式得：
$820°=(n-2)×180°$
解得$n=\frac{59}{9}$。
∵多边形的边数n为正整数，$\frac{59}{9}$不是整数，不符合要求，
∴θ不能取820°，乙的说法错误。
(2) 依题意列方程：
$(n-2)×180 + 360=(n+x-2)×180$
化简方程，左边得$180n$，右边得$180n+180x-360$，整理得：
$180n=180n+180x-360$
两边同时消去$180n$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 甲说法对，对应边数n为6；乙说法不对，因为解得的边数不是正整数，不符合多边形定义；
(2) $x=2$
【知识点】
多边形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形章节的基础常规题，解题关键是抓住“多边形边数为正整数”的隐含条件，熟练运用内角和公式列式计算，既考查基础公式的掌握程度，也锻炼方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
