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四、实践操作。(共8分)
请你制作一个无盖的圆柱形水桶,有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。
1. 你选择的铁皮是(
2. 用你选择的铁皮做成的水桶最多能装水多少千克?(1L水重1kg)(6分)
请你制作一个无盖的圆柱形水桶,有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。
1. 你选择的铁皮是(
①
)号和(②(或③ ④)
)号。(2分)2. 用你选择的铁皮做成的水桶最多能装水多少千克?(1L水重1kg)(6分)
答案
1. ① ②(或③ ④)
@@2. $π×(4÷2)^{2}×2×1=8π(\mathrm{dm}^{3})$ $8π\ \mathrm{dm}^{3}=8π\ \mathrm{L}$ $8π×1=8π(\mathrm{kg})$或$π×(3÷2)^{2}×5×1=11.25π(\mathrm{dm}^{3})$ $11.25π\ \mathrm{dm}^{3}=11.25π\ \mathrm{L}$$11.25×1=11.25π(\mathrm{kg})$
@@2. $π×(4÷2)^{2}×2×1=8π(\mathrm{dm}^{3})$ $8π\ \mathrm{dm}^{3}=8π\ \mathrm{L}$ $8π×1=8π(\mathrm{kg})$或$π×(3÷2)^{2}×5×1=11.25π(\mathrm{dm}^{3})$ $11.25π\ \mathrm{dm}^{3}=11.25π\ \mathrm{L}$$11.25×1=11.25π(\mathrm{kg})$
解析
【分析】
要制作无盖圆柱形水桶，首先要明确：圆柱的侧面沿高展开是长方形，这个长方形的其中一条边的长度必须等于底面圆的周长，另一条边作为圆柱的高，才能刚好拼接成水桶。所以第一步先分别计算两个圆形铁皮的周长，再和给出的两个长方形的边长对比，找到边长和圆周长相等的长方形，就能完成铁皮配对。配对完成后，再用圆柱容积公式「容积=底面积×高」计算水桶的容积，结合1L水重1kg的条件，就能算出最多装水的质量。
【解析】
1. 铁皮配对计算：
先算②号圆的周长：已知直径d=4dm，根据圆的周长公式C=πd，得C=π×4=12.56dm，刚好和①号长方形的长12.56dm相等，①号长方形的宽2dm可作为圆柱的高，因此①和②可以搭配。
再算④号圆的周长：已知直径d=3dm，根据圆的周长公式C=πd，得C=π×3=9.42dm，刚好和③号长方形的长9.42dm相等，③号长方形的宽5dm可作为圆柱的高，因此③和④也可以搭配。
2. 装水质量计算：
情况1：选择①号和②号铁皮
圆柱底面半径r=4÷2=2dm，高h=2dm
水桶容积V=πr²h=π×2²×2=8π dm³
因为1dm³=1L，所以8π dm³=8π L，水的质量=8π×1=8π kg
情况2：选择③号和④号铁皮
圆柱底面半径r=3÷2=1.5dm，高h=5dm
水桶容积V=πr²h=π×1.5²×5=11.25π dm³
因为1dm³=1L，所以11.25π dm³=11.25π L，水的质量=11.25π×1=11.25π kg
【答案】
1. ① ②(或③ ④)
2. 若选①②，水桶最多装水8π kg；若选③④，水桶最多装水11.25π kg
【知识点】
圆的周长计算，圆柱侧面展开图，圆柱容积计算
【点评】
本题是圆柱实际应用的基础题型，核心考点是圆柱侧面和底面的匹配逻辑，很多同学容易忽略「长方形边长必须等于底面圆周长」这个拼接前提，导致选错铁皮。配对完成后套用圆柱容积公式计算即可，注意体积单位和容积单位的换算，题目提供了两种合法搭配，任选其一计算都符合要求。
【难度系数】
0.6
要制作无盖圆柱形水桶，首先要明确：圆柱的侧面沿高展开是长方形，这个长方形的其中一条边的长度必须等于底面圆的周长，另一条边作为圆柱的高，才能刚好拼接成水桶。所以第一步先分别计算两个圆形铁皮的周长，再和给出的两个长方形的边长对比，找到边长和圆周长相等的长方形，就能完成铁皮配对。配对完成后，再用圆柱容积公式「容积=底面积×高」计算水桶的容积，结合1L水重1kg的条件，就能算出最多装水的质量。
【解析】
1. 铁皮配对计算：
先算②号圆的周长：已知直径d=4dm，根据圆的周长公式C=πd，得C=π×4=12.56dm，刚好和①号长方形的长12.56dm相等，①号长方形的宽2dm可作为圆柱的高，因此①和②可以搭配。
再算④号圆的周长：已知直径d=3dm，根据圆的周长公式C=πd，得C=π×3=9.42dm，刚好和③号长方形的长9.42dm相等，③号长方形的宽5dm可作为圆柱的高，因此③和④也可以搭配。
2. 装水质量计算：
情况1：选择①号和②号铁皮
圆柱底面半径r=4÷2=2dm，高h=2dm
水桶容积V=πr²h=π×2²×2=8π dm³
因为1dm³=1L，所以8π dm³=8π L，水的质量=8π×1=8π kg
情况2：选择③号和④号铁皮
圆柱底面半径r=3÷2=1.5dm，高h=5dm
水桶容积V=πr²h=π×1.5²×5=11.25π dm³
因为1dm³=1L，所以11.25π dm³=11.25π L，水的质量=11.25π×1=11.25π kg
【答案】
1. ① ②(或③ ④)
2. 若选①②，水桶最多装水8π kg；若选③④，水桶最多装水11.25π kg
【知识点】
圆的周长计算，圆柱侧面展开图，圆柱容积计算
【点评】
本题是圆柱实际应用的基础题型，核心考点是圆柱侧面和底面的匹配逻辑，很多同学容易忽略「长方形边长必须等于底面圆周长」这个拼接前提，导致选错铁皮。配对完成后套用圆柱容积公式计算即可，注意体积单位和容积单位的换算，题目提供了两种合法搭配，任选其一计算都符合要求。
【难度系数】
0.6
五、说理题。(3分)
一种饮料采用圆柱形易拉罐包装,从易拉罐的里面量,底面直径是6厘米,高是14厘米。易拉罐侧面上印的标注是真实的还是虚假的?(计算说明)
一种饮料采用圆柱形易拉罐包装,从易拉罐的里面量,底面直径是6厘米,高是14厘米。易拉罐侧面上印的标注是真实的还是虚假的?(计算说明)
答案
易拉罐容积:$3.14×(6÷2)^{2}×14=395.64$(立方厘米) 395.64立方厘米=395.64毫升 $395.64＜400$ 该标注虚假
解析
【分析】
要判断易拉罐的净含量标注是否真实，核心是计算出这个易拉罐内部实际能容纳的最大容积，再和标注的400mL对比：
1. 首先明确：标注的净含量是容器能装下的饮料体积，不可能超过容器自身的内部容积。
2. 已知易拉罐内部是圆柱形，题目给出了内部底面直径和高，直接套用圆柱容积公式V=πr²h计算即可，其中半径r=底面直径÷2。
3. 计算得到容积后，将体积单位立方厘米转换为毫升（1立方厘米=1毫升），再和400mL比较，若计算出的容积小于400mL，说明容器根本装不下400mL饮料，标注就是虚假的。
【解析】
1. 计算易拉罐内部底面半径：
r = 6÷2 = 3 cm
2. 代入圆柱容积公式计算内部容积：
V = πr²h = 3.14×3²×14
= 3.14×9×14
= 395.64 立方厘米
3. 单位换算：
因为1立方厘米=1毫升，所以395.64立方厘米=395.64毫升
4. 对比验证：
395.64毫升 ＜ 400毫升，说明该易拉罐内部最多只能装395.64毫升的饮料，达不到标注的400毫升，因此标注是虚假的。
【答案】
该标注虚假
【知识点】
圆柱容积计算，体积单位换算
【点评】
本题是结合生活场景的圆柱容积应用题，既考察了圆柱体积公式的掌握程度，也引导学生用数学知识验证生活中的商品标注现象，解题时需要注意区分容器的内部容积和外部体积，牢记立方厘米和毫升的等量转换关系。
【难度系数】
0.7
要判断易拉罐的净含量标注是否真实，核心是计算出这个易拉罐内部实际能容纳的最大容积，再和标注的400mL对比：
1. 首先明确：标注的净含量是容器能装下的饮料体积，不可能超过容器自身的内部容积。
2. 已知易拉罐内部是圆柱形，题目给出了内部底面直径和高，直接套用圆柱容积公式V=πr²h计算即可，其中半径r=底面直径÷2。
3. 计算得到容积后，将体积单位立方厘米转换为毫升（1立方厘米=1毫升），再和400mL比较，若计算出的容积小于400mL，说明容器根本装不下400mL饮料，标注就是虚假的。
【解析】
1. 计算易拉罐内部底面半径：
r = 6÷2 = 3 cm
2. 代入圆柱容积公式计算内部容积：
V = πr²h = 3.14×3²×14
= 3.14×9×14
= 395.64 立方厘米
3. 单位换算：
因为1立方厘米=1毫升，所以395.64立方厘米=395.64毫升
4. 对比验证：
395.64毫升 ＜ 400毫升，说明该易拉罐内部最多只能装395.64毫升的饮料，达不到标注的400毫升，因此标注是虚假的。
【答案】
该标注虚假
【知识点】
圆柱容积计算，体积单位换算
【点评】
本题是结合生活场景的圆柱容积应用题，既考察了圆柱体积公式的掌握程度，也引导学生用数学知识验证生活中的商品标注现象，解题时需要注意区分容器的内部容积和外部体积，牢记立方厘米和毫升的等量转换关系。
【难度系数】
0.7
六、走进生活。(共36分)
1. 一个圆锥形沙堆,底面周长是25.12米,高是1.8米。如果每立方米沙子重1.7吨,那么这堆沙子重多少吨?(π取3.14)(6分)
1. 一个圆锥形沙堆,底面周长是25.12米,高是1.8米。如果每立方米沙子重1.7吨,那么这堆沙子重多少吨?(π取3.14)(6分)
答案
1. $25.12÷3.14÷2=4$(米) $\frac{1}{3}×3.14×4^{2}×1.8×1.7=51.2448$(吨)
解析
【分析】
要计算这堆沙子的总重量，解题思路可以按三步梳理：
1. 沙子总重量=沙堆总体积×每立方米沙子重量，因此首先需要求出圆锥形沙堆的体积；
2. 圆锥体积需要底面半径和高两个条件，题目已经给出高，仅已知底面周长，因此可以利用圆的周长公式反向推导求出底面半径；
3. 代入圆锥体积公式算出体积后，再乘1.7吨/立方米即可得到总重量，计算时要注意不要遗漏圆锥体积公式里的1/3，这是这类题的常见易错点。
【解析】
步骤1：求圆锥底面半径
圆的周长公式为$C=2π r$，已知底面周长是25.12米，因此底面半径：
$r=25.12÷3.14÷2=4$（米）
步骤2：求圆锥形沙堆的体积
圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，已知高$h=1.8$米，代入数值计算：
$V=\frac{1}{3}×3.14×4^2×1.8=30.144$（立方米）
步骤3：求沙子总重量
用沙堆体积乘每立方米沙子的重量：
$30.144×1.7=51.2448$（吨）
【答案】51.2448吨
【知识点】圆锥体积计算；圆的周长计算
【点评】本题是圆锥体积的生活化应用题型，核心考查对圆锥体积公式的掌握，易错点是计算圆锥体积时容易漏乘$\frac{1}{3}$，同时要求学生掌握通过底面周长推导底面半径的方法，理清体积和总重量的对应关系，属于小学立体几何部分的常规基础题。
【难度系数】0.7
要计算这堆沙子的总重量，解题思路可以按三步梳理：
1. 沙子总重量=沙堆总体积×每立方米沙子重量，因此首先需要求出圆锥形沙堆的体积；
2. 圆锥体积需要底面半径和高两个条件，题目已经给出高，仅已知底面周长，因此可以利用圆的周长公式反向推导求出底面半径；
3. 代入圆锥体积公式算出体积后，再乘1.7吨/立方米即可得到总重量，计算时要注意不要遗漏圆锥体积公式里的1/3，这是这类题的常见易错点。
【解析】
步骤1：求圆锥底面半径
圆的周长公式为$C=2π r$，已知底面周长是25.12米，因此底面半径：
$r=25.12÷3.14÷2=4$（米）
步骤2：求圆锥形沙堆的体积
圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，已知高$h=1.8$米，代入数值计算：
$V=\frac{1}{3}×3.14×4^2×1.8=30.144$（立方米）
步骤3：求沙子总重量
用沙堆体积乘每立方米沙子的重量：
$30.144×1.7=51.2448$（吨）
【答案】51.2448吨
【知识点】圆锥体积计算；圆的周长计算
【点评】本题是圆锥体积的生活化应用题型，核心考查对圆锥体积公式的掌握，易错点是计算圆锥体积时容易漏乘$\frac{1}{3}$，同时要求学生掌握通过底面周长推导底面半径的方法，理清体积和总重量的对应关系，属于小学立体几何部分的常规基础题。
【难度系数】0.7
2. 压路机的滚筒是一个圆柱形,它的宽是2米,横截面的半径是0.6米。以每分钟滚5周计算,1小时压的路面面积是多少平方米?(6分)
答案
2. $0.6π×2×2×5×60=720π$(平方米)
解析
【分析】
首先我们要明确压路机压路的核心原理：滚筒滚动一周压过的路面是长方形，对应的面积就是圆柱形滚筒的侧面积，不需要计算圆柱的两个底面积。解题思路可以分四步走：第一步先统一时间单位，把1小时换算为60分钟；第二步根据圆柱侧面积公式，代入横截面半径和滚筒宽度，算出滚筒滚动1周的压路面积；第三步用单周压路面积乘每分钟滚动的5周，得到每分钟的压路面积；第四步用每分钟压路面积乘总分钟数60，就能得到1小时的总压路面积。
【解析】
1. 先进行时间单位换算：$1\mathrm{小时}=60\mathrm{分钟}$
2. 计算圆柱形滚筒的侧面积（即滚动1周的压路面积）：
圆柱侧面积公式为 $S_{侧}=2π r h$，其中横截面半径$r=0.6\mathrm{m}$，滚筒宽度对应圆柱的高$h=2\mathrm{m}$，代入得：
$S_{侧}=2×π×0.6×2=2.4π$ 平方米
3. 计算每分钟压路面积：每分钟滚动5周，因此每分钟压路面积为单周侧面积乘5：
$2.4π×5=12π$ 平方米
4. 计算1小时总压路面积：总时长为60分钟，因此总面积为：
$12π×60=720π$ 平方米
综合列式可得：$0.6π×2×2×5×60=720π$（平方米）
【答案】
$720π$平方米
【知识点】
圆柱侧面积计算，时间单位换算
【点评】
本题是圆柱侧面积的生活实际应用题，属于小学阶段的常考题型，易错点是容易误算圆柱的完整表面积、忘记将1小时换算为60分钟，解题时要明确压路机压路的接触面只有滚筒的侧面，不需要额外计算两个圆形底面的面积。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确压路机压路的核心原理：滚筒滚动一周压过的路面是长方形，对应的面积就是圆柱形滚筒的侧面积，不需要计算圆柱的两个底面积。解题思路可以分四步走：第一步先统一时间单位，把1小时换算为60分钟；第二步根据圆柱侧面积公式，代入横截面半径和滚筒宽度，算出滚筒滚动1周的压路面积；第三步用单周压路面积乘每分钟滚动的5周，得到每分钟的压路面积；第四步用每分钟压路面积乘总分钟数60，就能得到1小时的总压路面积。
【解析】
1. 先进行时间单位换算：$1\mathrm{小时}=60\mathrm{分钟}$
2. 计算圆柱形滚筒的侧面积（即滚动1周的压路面积）：
圆柱侧面积公式为 $S_{侧}=2π r h$，其中横截面半径$r=0.6\mathrm{m}$，滚筒宽度对应圆柱的高$h=2\mathrm{m}$，代入得：
$S_{侧}=2×π×0.6×2=2.4π$ 平方米
3. 计算每分钟压路面积：每分钟滚动5周，因此每分钟压路面积为单周侧面积乘5：
$2.4π×5=12π$ 平方米
4. 计算1小时总压路面积：总时长为60分钟，因此总面积为：
$12π×60=720π$ 平方米
综合列式可得：$0.6π×2×2×5×60=720π$（平方米）
【答案】
$720π$平方米
【知识点】
圆柱侧面积计算，时间单位换算
【点评】
本题是圆柱侧面积的生活实际应用题，属于小学阶段的常考题型，易错点是容易误算圆柱的完整表面积、忘记将1小时换算为60分钟，解题时要明确压路机压路的接触面只有滚筒的侧面，不需要额外计算两个圆形底面的面积。
【难度系数】
0.7
