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5. 如果一个圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的$\frac{1}{2}$,那么它的体积是原来体积的(
2倍
)。答案
5. 2倍
解析
【分析】
我们的解题思路是从圆锥的体积公式出发，由于题目没有给出具体的半径和高的数值，我们可以先设出原圆锥的底面半径和高，代入体积公式计算出原体积；再根据题干给出的半径、高的变化条件，得到变化后的底面半径和高，代入公式算出变化后的新体积；最后用新体积除以原体积，就能得到新体积是原体积的倍数。
【解析】
第一步：明确圆锥体积的通用计算公式：$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，其中$r$是底面半径，$h$是圆锥的高。
第二步：设原圆锥的底面半径为$r$，高为$h$，代入公式得到原体积：
$V_{原}=\frac{1}{3}π r^2 h$
第三步：根据题干条件得到变化后的参数：底面半径扩大为原来的2倍，即新半径为$2r$；高缩小为原来的$\frac{1}{2}$，即新高为$\frac{1}{2}h$。
第四步：将新参数代入体积公式计算新体积：
$\begin{aligned}V_{新}&=\frac{1}{3}π · (2r)^2 · \frac{1}{2}h\\&=\frac{1}{3}π · 4r^2 · \frac{1}{2}h\\&=\frac{1}{3}π · 2r^2 h\\&=2· (\frac{1}{3}π r^2 h)\end{aligned}$
第五步：对比新旧体积可得$V_{新}=2V_{原}$，即新体积是原来体积的2倍。
【答案】
2倍
【知识点】
圆锥体积公式，积的变化规律
【点评】
本题是圆锥体积相关的基础变式题，不需要死记硬背变化结论，通过设参数代入公式推导即可轻松求解。解题的易错点是容易忽略圆锥体积公式中底面半径是平方项，直接用2×1/2错误得到1倍的结果，解题时要严格对应公式里的运算关系，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路是从圆锥的体积公式出发，由于题目没有给出具体的半径和高的数值，我们可以先设出原圆锥的底面半径和高，代入体积公式计算出原体积；再根据题干给出的半径、高的变化条件，得到变化后的底面半径和高，代入公式算出变化后的新体积；最后用新体积除以原体积，就能得到新体积是原体积的倍数。
【解析】
第一步：明确圆锥体积的通用计算公式：$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，其中$r$是底面半径，$h$是圆锥的高。
第二步：设原圆锥的底面半径为$r$，高为$h$，代入公式得到原体积：
$V_{原}=\frac{1}{3}π r^2 h$
第三步：根据题干条件得到变化后的参数：底面半径扩大为原来的2倍，即新半径为$2r$；高缩小为原来的$\frac{1}{2}$，即新高为$\frac{1}{2}h$。
第四步：将新参数代入体积公式计算新体积：
$\begin{aligned}V_{新}&=\frac{1}{3}π · (2r)^2 · \frac{1}{2}h\\&=\frac{1}{3}π · 4r^2 · \frac{1}{2}h\\&=\frac{1}{3}π · 2r^2 h\\&=2· (\frac{1}{3}π r^2 h)\end{aligned}$
第五步：对比新旧体积可得$V_{新}=2V_{原}$，即新体积是原来体积的2倍。
【答案】
2倍
【知识点】
圆锥体积公式，积的变化规律
【点评】
本题是圆锥体积相关的基础变式题，不需要死记硬背变化结论，通过设参数代入公式推导即可轻松求解。解题的易错点是容易忽略圆锥体积公式中底面半径是平方项，直接用2×1/2错误得到1倍的结果，解题时要严格对应公式里的运算关系，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
6. 一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等,圆锥的高是1.8分米,圆柱的高是(
0.6
)分米。答案
6. 0.6
解析
【分析】
我们可以按照以下思路解题：1. 先回忆圆柱和圆锥的体积计算公式，明确两者体积分别和底面积、高的对应关系；2. 结合题目给出的“圆柱和圆锥底面积相等、体积相等”的条件，将两个体积公式联立，消去相等的底面积和体积项，推导出两者高的数量关系；3. 代入已知的圆锥的高的数值，直接计算得到圆柱的高，注意不要混淆两者高的倍数关系，避免把圆柱的高错算成圆锥高的3倍。
【解析】
1. 写出两类立体图形的体积公式：
圆柱体积公式：$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$
2. 根据题干条件推导高的关系：
已知圆柱和圆锥底面积相等、体积相等，即$S_{柱}=S_{锥}$，$V_{柱}=V_{锥}$，代入两个体积公式可得：
$S_{柱}h_{柱}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$
约去相等的底面积$S_{柱}$和$S_{锥}$，可得$h_{柱}=\frac{1}{3}h_{锥}$。
3. 代入数值计算：
已知圆锥的高$h_{锥}=1.8$分米，因此圆柱的高$h_{柱}=1.8×\frac{1}{3}=0.6$分米。
【答案】
0.6
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算
【点评】
本题是基础的等体积等底面积的圆柱圆锥关系计算题，运算难度很低，核心考点是对两类立体图形体积公式的掌握，同学们不需要死记硬背高的倍数结论，临场通过公式简单推导就可以避免记错倍数关系导致的错误。
【难度系数】
0.7
我们可以按照以下思路解题：1. 先回忆圆柱和圆锥的体积计算公式，明确两者体积分别和底面积、高的对应关系；2. 结合题目给出的“圆柱和圆锥底面积相等、体积相等”的条件，将两个体积公式联立，消去相等的底面积和体积项，推导出两者高的数量关系；3. 代入已知的圆锥的高的数值，直接计算得到圆柱的高，注意不要混淆两者高的倍数关系，避免把圆柱的高错算成圆锥高的3倍。
【解析】
1. 写出两类立体图形的体积公式：
圆柱体积公式：$V_{柱}=S_{柱}h_{柱}$
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$
2. 根据题干条件推导高的关系：
已知圆柱和圆锥底面积相等、体积相等，即$S_{柱}=S_{锥}$，$V_{柱}=V_{锥}$，代入两个体积公式可得：
$S_{柱}h_{柱}=\frac{1}{3}S_{锥}h_{锥}$
约去相等的底面积$S_{柱}$和$S_{锥}$，可得$h_{柱}=\frac{1}{3}h_{锥}$。
3. 代入数值计算：
已知圆锥的高$h_{锥}=1.8$分米，因此圆柱的高$h_{柱}=1.8×\frac{1}{3}=0.6$分米。
【答案】
0.6
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算
【点评】
本题是基础的等体积等底面积的圆柱圆锥关系计算题，运算难度很低，核心考点是对两类立体图形体积公式的掌握，同学们不需要死记硬背高的倍数结论，临场通过公式简单推导就可以避免记错倍数关系导致的错误。
【难度系数】
0.7
7. 把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥形钢坯,要削去1.8立方厘米,未削前圆柱形钢坯的体积是(
2.7
)立方厘米。答案
7. 2.7
解析
【分析】
首先我们要明确，把圆柱削成最大的圆锥时，得到的圆锥和原圆柱是完全等底等高的，这是本题的核心前提。接下来回忆体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，那么削去部分的体积就占原圆柱体积的1-1/3=2/3。现在已知削去部分的体积是1.8立方厘米，我们只需要用对应量（削去体积）除以它对应的分率，就能求出原圆柱的总体积了。
【解析】
1. 确定体积关系：将圆柱削成最大的圆锥，该圆锥与原圆柱等底等高，根据体积公式，此时圆锥体积 = $\frac{1}{3}$ × 圆柱体积。
2. 计算削去部分占圆柱体积的比例：削去部分体积占比 = $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
3. 计算原圆柱体积：已知削去体积为1.8立方厘米，因此原圆柱体积 = $1.8 ÷ \frac{2}{3} = 1.8 × \frac{3}{2} = 2.7$ 立方厘米。
【答案】
2.7
【知识点】
等底等高圆柱圆锥体积关系；分数除法应用
【点评】
本题属于圆柱圆锥体积关系的基础应用题，易错点是部分同学会误以为削去部分体积是圆柱的1/3，直接用1.8乘3得到错误结果5.4，解题时要先明确最大圆锥和原圆柱的等底等高属性，理清削去部分、圆锥、原圆柱三者的体积份数关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确，把圆柱削成最大的圆锥时，得到的圆锥和原圆柱是完全等底等高的，这是本题的核心前提。接下来回忆体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，那么削去部分的体积就占原圆柱体积的1-1/3=2/3。现在已知削去部分的体积是1.8立方厘米，我们只需要用对应量（削去体积）除以它对应的分率，就能求出原圆柱的总体积了。
【解析】
1. 确定体积关系：将圆柱削成最大的圆锥，该圆锥与原圆柱等底等高，根据体积公式，此时圆锥体积 = $\frac{1}{3}$ × 圆柱体积。
2. 计算削去部分占圆柱体积的比例：削去部分体积占比 = $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
3. 计算原圆柱体积：已知削去体积为1.8立方厘米，因此原圆柱体积 = $1.8 ÷ \frac{2}{3} = 1.8 × \frac{3}{2} = 2.7$ 立方厘米。
【答案】
2.7
【知识点】
等底等高圆柱圆锥体积关系；分数除法应用
【点评】
本题属于圆柱圆锥体积关系的基础应用题，易错点是部分同学会误以为削去部分体积是圆柱的1/3，直接用1.8乘3得到错误结果5.4，解题时要先明确最大圆锥和原圆柱的等底等高属性，理清削去部分、圆锥、原圆柱三者的体积份数关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
8. 如下图,把底面直径为8厘米的圆柱切成若干等份,拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米,那么长方体的体积是(
160π
)立方厘米。答案
8. $160π$
解析
【分析】
首先我们要回忆圆柱切拼成近似长方体的特征：切拼前后物体的总体积是不变的，长方体的体积就等于原圆柱的体积。接下来分析表面积增加的部分：拼完之后相比原圆柱，多出来两个完全相同的长方形侧面，这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径，长等于圆柱的高。我们可以先根据已知的底面直径算出底面半径，再用增加的总表面积求出圆柱的高，最后代入圆柱体积公式就能算出结果，也就是长方体的体积。
【解析】
1. 计算圆柱的底面半径：
已知圆柱底面直径为8厘米，因此底面半径 $ r = 8÷2 = 4 \, \mathrm{cm} $。
2. 推导圆柱的高：
切拼后长方体表面积比圆柱多80平方厘米，这部分新增面积是2个以圆柱高h为长、底面半径r为宽的长方形的面积之和，因此有：
$ 2× r × h = 80 $
将r=4代入得：
$ 2×4× h = 80 $
$ 8h = 80 $
解得 $ h = 10 \, \mathrm{cm} $。
3. 计算长方体的体积：
切拼前后体积不变，长方体体积等于原圆柱体积，代入圆柱体积公式 $ V=π r^2 h $：
$ V = π × 4^2 × 10 = 160π \, \mathrm{立方厘米} $
【答案】
$ 160π $
【知识点】
圆柱切拼特征，圆柱体积计算
【点评】
本题的核心是理解圆柱切拼为近似长方体时的面的变化，很多同学容易搞错新增表面积对应的边长，误把直径当成新增面的宽，只要明确新增的两个面的边长分别是底面半径和圆柱的高，结合体积不变的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.6
首先我们要回忆圆柱切拼成近似长方体的特征：切拼前后物体的总体积是不变的，长方体的体积就等于原圆柱的体积。接下来分析表面积增加的部分：拼完之后相比原圆柱，多出来两个完全相同的长方形侧面，这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径，长等于圆柱的高。我们可以先根据已知的底面直径算出底面半径，再用增加的总表面积求出圆柱的高，最后代入圆柱体积公式就能算出结果，也就是长方体的体积。
【解析】
1. 计算圆柱的底面半径：
已知圆柱底面直径为8厘米，因此底面半径 $ r = 8÷2 = 4 \, \mathrm{cm} $。
2. 推导圆柱的高：
切拼后长方体表面积比圆柱多80平方厘米，这部分新增面积是2个以圆柱高h为长、底面半径r为宽的长方形的面积之和，因此有：
$ 2× r × h = 80 $
将r=4代入得：
$ 2×4× h = 80 $
$ 8h = 80 $
解得 $ h = 10 \, \mathrm{cm} $。
3. 计算长方体的体积：
切拼前后体积不变，长方体体积等于原圆柱体积，代入圆柱体积公式 $ V=π r^2 h $：
$ V = π × 4^2 × 10 = 160π \, \mathrm{立方厘米} $
【答案】
$ 160π $
【知识点】
圆柱切拼特征，圆柱体积计算
【点评】
本题的核心是理解圆柱切拼为近似长方体时的面的变化，很多同学容易搞错新增表面积对应的边长，误把直径当成新增面的宽，只要明确新增的两个面的边长分别是底面半径和圆柱的高，结合体积不变的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.6
9. 一个底面半径为6厘米的圆柱形玻璃鱼缸中有一个底面半径为4厘米的圆锥形铁块,铁块完全浸没在水中,把这个铁块拿出后,鱼缸里的水面下降了2厘米。这个圆锥形铁块的高是(
13.5
)厘米。答案
9. 13.5
解析
【分析】
首先我们要明确核心等量关系：圆锥形铁块完全浸没在水中，拿出铁块后水面下降，下降部分的水的体积就等于圆锥形铁块的体积。解题思路分两步走：第一步先利用圆柱体积公式计算出水面下降2厘米对应的水的体积，也就是得到圆锥的体积；第二步再利用圆锥的体积公式反推求出圆锥的高，注意圆锥体积公式中存在1/3的系数，反求高的时候要记得乘以3再除以底面积。
【解析】
1. 计算下降部分水的体积（即圆锥形铁块的体积）
下降部分的水是底面半径为6cm、高为2cm的圆柱，根据圆柱体积公式$V_{柱}=π r^2 h$：
$V_{铁}=V_{降}=π × 6^2 × 2 = 72π$（立方厘米）
2. 计算圆锥形铁块的底面积
已知圆锥底面半径为4cm，圆锥底面积：
$S_{锥底}=π × 4^2 = 16π$（平方厘米）
3. 反推圆锥的高
根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}S h$，变形得$h = \frac{3V_{锥}}{S}$，代入数值：
$h_{锥}=\frac{3×72π}{16π} = \frac{216}{16} = 13.5$（厘米）
【答案】
13.5
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，排水法求体积
【点评】
本题是小学立体几何中典型的等积转化题型，核心考点是浸没状态下排开水的体积等于浸没物体的体积，多数学生容易出错的点是忘记圆锥体积公式中的“乘3”步骤，解题时要注意区分圆柱和圆锥的体积公式差异，理清体积等量关系后再分步计算即可轻松得出结果。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确核心等量关系：圆锥形铁块完全浸没在水中，拿出铁块后水面下降，下降部分的水的体积就等于圆锥形铁块的体积。解题思路分两步走：第一步先利用圆柱体积公式计算出水面下降2厘米对应的水的体积，也就是得到圆锥的体积；第二步再利用圆锥的体积公式反推求出圆锥的高，注意圆锥体积公式中存在1/3的系数，反求高的时候要记得乘以3再除以底面积。
【解析】
1. 计算下降部分水的体积（即圆锥形铁块的体积）
下降部分的水是底面半径为6cm、高为2cm的圆柱，根据圆柱体积公式$V_{柱}=π r^2 h$：
$V_{铁}=V_{降}=π × 6^2 × 2 = 72π$（立方厘米）
2. 计算圆锥形铁块的底面积
已知圆锥底面半径为4cm，圆锥底面积：
$S_{锥底}=π × 4^2 = 16π$（平方厘米）
3. 反推圆锥的高
根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}S h$，变形得$h = \frac{3V_{锥}}{S}$，代入数值：
$h_{锥}=\frac{3×72π}{16π} = \frac{216}{16} = 13.5$（厘米）
【答案】
13.5
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，排水法求体积
【点评】
本题是小学立体几何中典型的等积转化题型，核心考点是浸没状态下排开水的体积等于浸没物体的体积，多数学生容易出错的点是忘记圆锥体积公式中的“乘3”步骤，解题时要注意区分圆柱和圆锥的体积公式差异，理清体积等量关系后再分步计算即可轻松得出结果。
【难度系数】
0.7
三、择优录取。(每题2分,共12分)
1. 把底面直径和高相等的圆柱的侧面展开,得到的可能是(
A. 梯形 B. 长方形 C. 正方形 D. 以上答案都不对
1. 把底面直径和高相等的圆柱的侧面展开,得到的可能是(
B
)。A. 梯形 B. 长方形 C. 正方形 D. 以上答案都不对
答案
1. B
解析
【分析】
我们首先要回忆圆柱侧面展开图的核心特征：圆柱沿高展开后得到的图形，一组邻边分别对应圆柱的高、圆柱的底面周长。解题时先根据题目给出的“底面直径和高相等”的条件，设出直径参数，分别计算出底面周长和高的数值，对比二者的大小，再逐一排除错误选项：首先梯形不可能，因为圆柱侧面展开的两组对边都平行，不符合梯形的定义；再通过周长和高的大小对比，就能判断展开图是长方形还是正方形。
【解析】
解：设该圆柱的底面直径为d，由题意可知圆柱的高h = d。
根据圆的周长公式，圆柱的底面周长C=πd，其中π≈3.14，显然πd ＞ d，也就是底面周长的长度大于圆柱的高。
圆柱侧面沿高展开后得到的四边形，两组对边分别相等，两条邻边的长度分别为πd和d，二者长度不相等，因此该图形是长方形，既不可能是只有一组对边平行的梯形，也不可能是邻边相等的正方形。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】圆柱侧面展开图；圆的周长计算
【点评】本题的高频易错点是很多同学会误选C，错把底面直径当成侧面展开图的长边，忽略了侧面展开图的长边对应的是圆柱的底面周长，需要明确区分底面直径和底面周长的概念，避免概念混淆。
【难度系数】0.6
我们首先要回忆圆柱侧面展开图的核心特征：圆柱沿高展开后得到的图形，一组邻边分别对应圆柱的高、圆柱的底面周长。解题时先根据题目给出的“底面直径和高相等”的条件，设出直径参数，分别计算出底面周长和高的数值，对比二者的大小，再逐一排除错误选项：首先梯形不可能，因为圆柱侧面展开的两组对边都平行，不符合梯形的定义；再通过周长和高的大小对比，就能判断展开图是长方形还是正方形。
【解析】
解：设该圆柱的底面直径为d，由题意可知圆柱的高h = d。
根据圆的周长公式，圆柱的底面周长C=πd，其中π≈3.14，显然πd ＞ d，也就是底面周长的长度大于圆柱的高。
圆柱侧面沿高展开后得到的四边形，两组对边分别相等，两条邻边的长度分别为πd和d，二者长度不相等，因此该图形是长方形，既不可能是只有一组对边平行的梯形，也不可能是邻边相等的正方形。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】圆柱侧面展开图；圆的周长计算
【点评】本题的高频易错点是很多同学会误选C，错把底面直径当成侧面展开图的长边，忽略了侧面展开图的长边对应的是圆柱的底面周长，需要明确区分底面直径和底面周长的概念，避免概念混淆。
【难度系数】0.6
2. 一个圆柱形容器内装有一些水,现将一个土豆浸没在水中,水面升高了3厘米,要求这个土豆的体积还需知道(
A. 容器的高 B. 原来水面的高度 C. 容器的底面周长
C
)。A. 容器的高 B. 原来水面的高度 C. 容器的底面周长
答案
2. C
解析
【分析】
首先我们用排水法求不规则物体体积的逻辑来思考：土豆完全浸没在水中时，土豆的体积等于排开的水的体积，也就是水面上升那部分对应的水的体积。已知水面升高了3厘米，说明上升部分的水是高为3厘米的圆柱，要计算这个小圆柱的体积，根据圆柱体积公式V=底面积×高，现在高已经是已知的3厘米，只需要得到圆柱容器的底面积就能算出体积。接下来我们逐个判断选项：要得到底面积，要么直接给出底面积，要么给出底面半径、直径或者周长来推导底面积，对比三个选项，只有容器的底面周长可以用来推导底面积，其余两个选项的参数都和底面积计算无关，这样就能选出正确答案。
【解析】
1. 由浸没式排水法的原理可知：土豆完全浸没在水中，土豆的体积 = 水面上升部分的水的体积。
2. 上升部分的水的形状是圆柱体，已知该圆柱的高h=3cm，根据圆柱体积公式$V=S_{底}h$，要计算体积，仅缺少容器的底面积$S_{底}$这一条件。
3. 逐一分析选项：
选项A：容器的总高，无法推导出容器的底面积，不能满足计算要求；
选项B：原来水面的高度，和上升部分水柱的底面积无关，无法参与体积计算；
选项C：已知容器的底面周长，可通过圆的周长公式$C=2π r$求出底面半径$r=\frac{C}{2π}$，进而算出底面积$S_{底}=π r^2$，代入圆柱体积公式即可求出土豆的体积，符合要求。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
排水法求体积，圆柱体积计算，圆的周长应用
【点评】
本题属于排水法求不规则体积的基础变式题，核心考察学生对排水法原理和圆柱体积各参数关联的理解，避免学生死套公式，引导学生判断哪些条件是求解体积的必要条件，排除无关干扰项，夯实这类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
首先我们用排水法求不规则物体体积的逻辑来思考：土豆完全浸没在水中时，土豆的体积等于排开的水的体积，也就是水面上升那部分对应的水的体积。已知水面升高了3厘米，说明上升部分的水是高为3厘米的圆柱，要计算这个小圆柱的体积，根据圆柱体积公式V=底面积×高，现在高已经是已知的3厘米，只需要得到圆柱容器的底面积就能算出体积。接下来我们逐个判断选项：要得到底面积，要么直接给出底面积，要么给出底面半径、直径或者周长来推导底面积，对比三个选项，只有容器的底面周长可以用来推导底面积，其余两个选项的参数都和底面积计算无关，这样就能选出正确答案。
【解析】
1. 由浸没式排水法的原理可知：土豆完全浸没在水中，土豆的体积 = 水面上升部分的水的体积。
2. 上升部分的水的形状是圆柱体，已知该圆柱的高h=3cm，根据圆柱体积公式$V=S_{底}h$，要计算体积，仅缺少容器的底面积$S_{底}$这一条件。
3. 逐一分析选项：
选项A：容器的总高，无法推导出容器的底面积，不能满足计算要求；
选项B：原来水面的高度，和上升部分水柱的底面积无关，无法参与体积计算；
选项C：已知容器的底面周长，可通过圆的周长公式$C=2π r$求出底面半径$r=\frac{C}{2π}$，进而算出底面积$S_{底}=π r^2$，代入圆柱体积公式即可求出土豆的体积，符合要求。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
排水法求体积，圆柱体积计算，圆的周长应用
【点评】
本题属于排水法求不规则体积的基础变式题，核心考察学生对排水法原理和圆柱体积各参数关联的理解，避免学生死套公式，引导学生判断哪些条件是求解体积的必要条件，排除无关干扰项，夯实这类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
3. 一个圆柱与一个圆锥的底面积相等,圆柱和圆锥的体积比是3:2,圆柱和圆锥的高的比是(
A. 1:2 B. 1:3 C. 3:2
A
)。A. 1:2 B. 1:3 C. 3:2
答案
3. A
解析
【分析】
我们要推导底面积相等的圆柱和圆锥的高的比，可以按以下思路思考：首先明确圆柱、圆锥的体积计算公式，题目给出两者底面积相等、体积比为3:2，我们可以先设共同的底面积为S，为了简化计算，把圆柱体积设为3份、圆锥体积设为2份，对应给定的体积比。接着分别通过体积公式反推圆柱的高和圆锥的高的表达式，注意圆锥体积公式里有1/3的系数，反求高的时候要乘3。最后把两个高作比，约掉相同的未知量，就能得到高的最简整数比。
【解析】
解：设圆柱和圆锥的底面积均为S，设圆柱体积为3V，圆锥体积为2V（V≠0，满足体积比$V_{柱}:V_{锥}=3:2$）
1. 根据圆柱体积公式$V_{柱}=S h_{柱}$，变形可得圆柱的高：
$h_{柱}=\frac{V_{柱}}{S}=\frac{3V}{S}$
2. 根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}S h_{锥}$，变形可得圆锥的高：
$h_{锥}=\frac{3V_{锥}}{S}=\frac{3×2V}{S}=\frac{6V}{S}$
3. 计算圆柱和圆锥的高的比：
$h_{柱}:h_{锥}=\frac{3V}{S}:\frac{6V}{S}=3:6=1:2$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】圆柱体积计算，圆锥体积计算，比的化简
【点评】本题的易错点是容易忽略圆锥体积公式中$\frac{1}{3}$的系数，直接将体积比3:2当作高的比错选C，解题时要牢记圆锥体积是等底等高圆柱体积的$\frac{1}{3}$，反求圆锥高时不要漏乘3。
【难度系数】0.6
我们要推导底面积相等的圆柱和圆锥的高的比，可以按以下思路思考：首先明确圆柱、圆锥的体积计算公式，题目给出两者底面积相等、体积比为3:2，我们可以先设共同的底面积为S，为了简化计算，把圆柱体积设为3份、圆锥体积设为2份，对应给定的体积比。接着分别通过体积公式反推圆柱的高和圆锥的高的表达式，注意圆锥体积公式里有1/3的系数，反求高的时候要乘3。最后把两个高作比，约掉相同的未知量，就能得到高的最简整数比。
【解析】
解：设圆柱和圆锥的底面积均为S，设圆柱体积为3V，圆锥体积为2V（V≠0，满足体积比$V_{柱}:V_{锥}=3:2$）
1. 根据圆柱体积公式$V_{柱}=S h_{柱}$，变形可得圆柱的高：
$h_{柱}=\frac{V_{柱}}{S}=\frac{3V}{S}$
2. 根据圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}S h_{锥}$，变形可得圆锥的高：
$h_{锥}=\frac{3V_{锥}}{S}=\frac{3×2V}{S}=\frac{6V}{S}$
3. 计算圆柱和圆锥的高的比：
$h_{柱}:h_{锥}=\frac{3V}{S}:\frac{6V}{S}=3:6=1:2$
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】圆柱体积计算，圆锥体积计算，比的化简
【点评】本题的易错点是容易忽略圆锥体积公式中$\frac{1}{3}$的系数，直接将体积比3:2当作高的比错选C，解题时要牢记圆锥体积是等底等高圆柱体积的$\frac{1}{3}$，反求圆锥高时不要漏乘3。
【难度系数】0.6
4. 一个圆柱,如果把它的高截短3 cm,它的表面积减少$94.2\mathrm{cm}^{2}$,那么这个圆柱的体积减少(
A. 30 B. 31.4 C. 235.5 D. 94.2
C
)$\mathrm{cm}^{3}$。(π取3.14)A. 30 B. 31.4 C. 235.5 D. 94.2
答案
4. C
解析
【分析】
首先要明确：把圆柱的高截短3cm时，上下两个底面的总面积并没有发生变化，减少的94.2cm²表面积实际是高为3cm的那段小圆柱的侧面积。解题思路分四步走：第一步，用减少的侧面积除以截短的高度，算出圆柱的底面周长；第二步，结合圆的周长公式反推出圆柱的底面半径；第三步，根据圆的面积公式算出圆柱的底面积；第四步，用底面积乘截短的高度，就能得到减少部分的圆柱体积。
【解析】
1. 求圆柱的底面周长：
截短后减少的表面积是高3cm的圆柱侧面积，根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=C× h$，可得底面周长$C=94.2÷3=31.4\ \mathrm{cm}$。
2. 求圆柱的底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入π=3.14，可得半径$r=31.4÷(2×3.14)=5\ \mathrm{cm}$。
3. 计算减少的体积：
减少的部分是高为3cm的小圆柱，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，代入数值计算：
$V_{减少}=3.14×5^2×3=3.14×25×3=235.5\ \mathrm{cm}^3$。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆柱体积计算
【点评】
本题的核心易错点是容易误认为截短圆柱后减少的表面积包含底面积，实际上截短后剩余圆柱的上底面依然存在，减少的部分仅为截去段的侧面积，理清这个逻辑后结合基础公式即可快速求解，属于圆柱相关计算的典型常考题。
【难度系数】
0.6
首先要明确：把圆柱的高截短3cm时，上下两个底面的总面积并没有发生变化，减少的94.2cm²表面积实际是高为3cm的那段小圆柱的侧面积。解题思路分四步走：第一步，用减少的侧面积除以截短的高度，算出圆柱的底面周长；第二步，结合圆的周长公式反推出圆柱的底面半径；第三步，根据圆的面积公式算出圆柱的底面积；第四步，用底面积乘截短的高度，就能得到减少部分的圆柱体积。
【解析】
1. 求圆柱的底面周长：
截短后减少的表面积是高3cm的圆柱侧面积，根据圆柱侧面积公式$S_{侧}=C× h$，可得底面周长$C=94.2÷3=31.4\ \mathrm{cm}$。
2. 求圆柱的底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入π=3.14，可得半径$r=31.4÷(2×3.14)=5\ \mathrm{cm}$。
3. 计算减少的体积：
减少的部分是高为3cm的小圆柱，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，代入数值计算：
$V_{减少}=3.14×5^2×3=3.14×25×3=235.5\ \mathrm{cm}^3$。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆柱体积计算
【点评】
本题的核心易错点是容易误认为截短圆柱后减少的表面积包含底面积，实际上截短后剩余圆柱的上底面依然存在，减少的部分仅为截去段的侧面积，理清这个逻辑后结合基础公式即可快速求解，属于圆柱相关计算的典型常考题。
【难度系数】
0.6
5. 左下图是一个直角三角形,两条直角边分别是6 cm和2 cm,以较长直角边为轴,旋转一周所形成的立体图形的体积是(
A. $8π$ B. $4π$ C. $24π$
A
)$\mathrm{cm}^{3}$。A. $8π$ B. $4π$ C. $24π$
答案
5. A
解析
【分析】
首先我们要先明确：直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥。接下来先确定旋转轴对应的圆锥参数：题目要求以较长直角边为轴旋转，两条直角边分别是6cm和2cm，较长直角边是6cm，因此这个6cm就是旋转后圆锥的高，剩下的短直角边2cm就是圆锥的底面半径。最后代入圆锥体积公式计算，就能得到最终体积，匹配对应选项即可。
【解析】
直角三角形以直角边为轴旋转一周，形成的立体图形是圆锥：
1. 确定圆锥的参数：
以较长直角边6cm作为旋转轴，因此圆锥的高 $h=6\ \mathrm{cm}$；
另一条直角边2cm是旋转形成的圆锥底面半径，即 $r=2\ \mathrm{cm}$。
2. 代入圆锥体积公式计算：
圆锥体积公式为 $V=\frac{1}{3}π r^2 h$，将参数代入得：
$ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3} × π × 2^2 × 6\\ &=\frac{1}{3} × π × 4 × 6\\ &=8π\ \mathrm{cm}^3 \end{aligned} $
因此正确选项为A。
【答案】A
【知识点】
圆锥的认识，圆锥体积计算
【点评】
本题考察面动成体的基础空间想象能力，核心是区分旋转轴对应的圆锥高、另一条直角边对应的底面半径，只要不混淆两个直角边的对应参数，代入体积公式即可快速算出结果，属于圆锥相关的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
首先我们要先明确：直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥。接下来先确定旋转轴对应的圆锥参数：题目要求以较长直角边为轴旋转，两条直角边分别是6cm和2cm，较长直角边是6cm，因此这个6cm就是旋转后圆锥的高，剩下的短直角边2cm就是圆锥的底面半径。最后代入圆锥体积公式计算，就能得到最终体积，匹配对应选项即可。
【解析】
直角三角形以直角边为轴旋转一周，形成的立体图形是圆锥：
1. 确定圆锥的参数：
以较长直角边6cm作为旋转轴，因此圆锥的高 $h=6\ \mathrm{cm}$；
另一条直角边2cm是旋转形成的圆锥底面半径，即 $r=2\ \mathrm{cm}$。
2. 代入圆锥体积公式计算：
圆锥体积公式为 $V=\frac{1}{3}π r^2 h$，将参数代入得：
$ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3} × π × 2^2 × 6\\ &=\frac{1}{3} × π × 4 × 6\\ &=8π\ \mathrm{cm}^3 \end{aligned} $
因此正确选项为A。
【答案】A
【知识点】
圆锥的认识，圆锥体积计算
【点评】
本题考察面动成体的基础空间想象能力，核心是区分旋转轴对应的圆锥高、另一条直角边对应的底面半径，只要不混淆两个直角边的对应参数，代入体积公式即可快速算出结果，属于圆锥相关的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
6. 如右上图,圆柱①和圆柱②都从点A滚动到点B,圆柱①正好滚动了3圈,圆柱②正好滚动了2圈。圆柱①的底面半径是6厘米,则圆柱②的底面半径是(
A. 4 B. 8 C. 9 D. 12
C
)厘米。A. 4 B. 8 C. 9 D. 12答案
6. C
解析
【分析】
首先我们要明确核心等量关系：两个圆柱从A点滚动到B点，走过的总路程AB的长度是完全相等的。而圆柱滚动1圈，前进的距离刚好等于它自身的底面周长。解题思路可以分三步：第一步先根据圆柱①的底面半径算出它的底面周长，再乘滚动的3圈得到AB的总长度；第二步用总长度除以圆柱②滚动的2圈，得到圆柱②的底面周长；第三步根据圆的周长公式反推出圆柱②的底面半径即可。也可以利用路程相等时，滚动圈数和底面周长（也就是底面半径）成反比的关系，快速得到两个圆柱的半径比，直接算出结果。
【解析】
1. 计算圆柱①的底面周长：
圆的周长公式为 $ C=2π r $，已知圆柱①底面半径$ r_1=6 $厘米，代入得：
$ C_1=2×π×6=12π $ 厘米
2. 计算A、B两点之间的总路程：
圆柱①滚动了3圈走完AB，总路程 $ S = 3× C_1 = 3×12π = 36π $ 厘米
3. 计算圆柱②的底面周长：
圆柱②滚动2圈走完同样的路程S，因此它的底面周长：
$ C_2 = S÷2 = 36π÷2 = 18π $ 厘米
4. 反求圆柱②的底面半径：
根据周长公式变形得 $ r = C÷(2π) $，代入$ C_2 $得：
$ r_2 = 18π÷(2π) = 9 $ 厘米
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算，等量代换
【点评】
本题的隐藏条件是两个圆柱滚动的总路程相等，核心考点是理解圆柱滚动一周的前进距离等于自身底面周长，既可以用常规分步计算求解，也可以利用“路程相等时，滚动圈数与底面半径成反比”的规律快速得到半径比为2:3，直接算出结果，难度不高，易错点是容易颠倒两个圆柱的半径比例关系。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确核心等量关系：两个圆柱从A点滚动到B点，走过的总路程AB的长度是完全相等的。而圆柱滚动1圈，前进的距离刚好等于它自身的底面周长。解题思路可以分三步：第一步先根据圆柱①的底面半径算出它的底面周长，再乘滚动的3圈得到AB的总长度；第二步用总长度除以圆柱②滚动的2圈，得到圆柱②的底面周长；第三步根据圆的周长公式反推出圆柱②的底面半径即可。也可以利用路程相等时，滚动圈数和底面周长（也就是底面半径）成反比的关系，快速得到两个圆柱的半径比，直接算出结果。
【解析】
1. 计算圆柱①的底面周长：
圆的周长公式为 $ C=2π r $，已知圆柱①底面半径$ r_1=6 $厘米，代入得：
$ C_1=2×π×6=12π $ 厘米
2. 计算A、B两点之间的总路程：
圆柱①滚动了3圈走完AB，总路程 $ S = 3× C_1 = 3×12π = 36π $ 厘米
3. 计算圆柱②的底面周长：
圆柱②滚动2圈走完同样的路程S，因此它的底面周长：
$ C_2 = S÷2 = 36π÷2 = 18π $ 厘米
4. 反求圆柱②的底面半径：
根据周长公式变形得 $ r = C÷(2π) $，代入$ C_2 $得：
$ r_2 = 18π÷(2π) = 9 $ 厘米
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算，等量代换
【点评】
本题的隐藏条件是两个圆柱滚动的总路程相等，核心考点是理解圆柱滚动一周的前进距离等于自身底面周长，既可以用常规分步计算求解，也可以利用“路程相等时，滚动圈数与底面半径成反比”的规律快速得到半径比为2:3，直接算出结果，难度不高，易错点是容易颠倒两个圆柱的半径比例关系。
【难度系数】
0.7
