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3. 如下图,工人师傅用薄铝板裁剪下2个相同的圆和一个长方形,用它们刚好能焊接成一个圆柱。已知圆的直径是5分米,则焊接成的圆柱的容积是多少升?(6分)
答案
3. $π×(5÷2)^{2}×(5×2)=62.5π$(立方分米) $62.5π$立方分米$=62.5π$升
解析
【分析】
要计算焊接成的圆柱的容积，首先回忆圆柱容积的计算公式：容积=底面积×高。第一步先确定圆柱的底面参数：已知用来做底面的圆的直径是5分米，可直接算出底面半径。第二步结合题图判断圆柱的高：图中两个完全相同的圆上下叠放，总长度刚好等于右侧长方形的宽，也就是焊接后圆柱的高，等于2个圆的直径长度。第三步把底面半径和高代入容积公式计算，最后利用1立方分米=1升完成单位转换即可得到结果。
【解析】
1. 计算圆柱的底面半径：
已知底面圆的直径为5分米，因此底面半径 $r = 5÷2 = 2.5$ 分米
2. 确定圆柱的高：
由题图结构可知，两个圆上下拼接的总高度就是圆柱的高，因此 $h = 5×2 = 10$ 分米
3. 代入圆柱容积公式计算：
根据圆柱容积公式 $V=π r^2 h$，代入数值得：
$V=π×(5÷2)^2×(5×2)=62.5π$ 立方分米
4. 容积单位转换：
因为1立方分米=1升，因此 $62.5π$ 立方分米 $=62.5π$ 升
【答案】
$62.5π$ 升
【知识点】
圆柱体积计算，圆半径直径关系，体积单位换算
【点评】
本题的核心易错点是对圆柱高的判断，不少同学会误将单个圆的直径当成圆柱的高，忽略题图中两个圆上下叠放、总高度对应圆柱高的隐含条件，解题时要结合焊接成圆柱的实际逻辑，对应各部分铝板和圆柱结构的对应关系再计算。
【难度系数】
0.6
要计算焊接成的圆柱的容积，首先回忆圆柱容积的计算公式：容积=底面积×高。第一步先确定圆柱的底面参数：已知用来做底面的圆的直径是5分米，可直接算出底面半径。第二步结合题图判断圆柱的高：图中两个完全相同的圆上下叠放，总长度刚好等于右侧长方形的宽，也就是焊接后圆柱的高，等于2个圆的直径长度。第三步把底面半径和高代入容积公式计算，最后利用1立方分米=1升完成单位转换即可得到结果。
【解析】
1. 计算圆柱的底面半径：
已知底面圆的直径为5分米，因此底面半径 $r = 5÷2 = 2.5$ 分米
2. 确定圆柱的高：
由题图结构可知，两个圆上下拼接的总高度就是圆柱的高，因此 $h = 5×2 = 10$ 分米
3. 代入圆柱容积公式计算：
根据圆柱容积公式 $V=π r^2 h$，代入数值得：
$V=π×(5÷2)^2×(5×2)=62.5π$ 立方分米
4. 容积单位转换：
因为1立方分米=1升，因此 $62.5π$ 立方分米 $=62.5π$ 升
【答案】
$62.5π$ 升
【知识点】
圆柱体积计算，圆半径直径关系，体积单位换算
【点评】
本题的核心易错点是对圆柱高的判断，不少同学会误将单个圆的直径当成圆柱的高，忽略题图中两个圆上下叠放、总高度对应圆柱高的隐含条件，解题时要结合焊接成圆柱的实际逻辑，对应各部分铝板和圆柱结构的对应关系再计算。
【难度系数】
0.6
4. 一个直角梯形如下图所示,如果以直角梯形的上底AB所在的直线为轴旋转一周,那么所形成的立体图形的体积是多少立方厘米?(单位:厘米)(6分)
答案
4. $π×3^{2}×2-\frac{1}{3}×π×3^{2}×(2-1)=15π$(立方厘米)
解析
【分析】
首先我们明确旋转轴是长度为1cm的上底AB，观察直角梯形的参数：AB=1cm，BC=3cm，CD=2cm，∠C为直角。直接拆分梯形计算旋转体体积比较麻烦，我们可以用补形法简化思路：将直角梯形补全为长3cm、高2cm的长方形，这个完整长方形绕AB轴旋转一周，会得到一个底面半径为3cm、高为2cm的完整圆柱；而我们补出来的直角三角形，两条直角边分别为3cm和(2-1)=1cm，它绕AB轴旋转一周会得到一个底面半径为3cm、高为1cm的圆锥。因此原直角梯形旋转得到的立体体积，就等于大圆柱的体积减去这个小圆锥的体积，代入对应体积公式即可算出结果。
【解析】
解：以AB所在直线为轴旋转一周后，所得立体图形可看作底面半径r=3cm、高H=2cm的圆柱，挖去一个底面半径r=3cm、高h=2-1=1cm的圆锥。
根据圆柱体积公式$V_{柱}=π r^2 H$，圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入计算：
$\begin{aligned}V&=V_{柱}-V_{锥}\\&=π×3^2×2 - \frac{1}{3}×π×3^2×(2-1)\\&=18π - 3π\\&=15π\end{aligned}$
答：所形成的立体图形的体积是15π立方厘米。
【答案】
$15π$立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，平面图形旋转
【点评】
本题的核心是掌握平面图形绕轴旋转形成立体图形的规律，易错点是容易误将该旋转体当成普通圆台计算，使用补形法将不规则组合体转化为熟悉的圆柱减圆锥的形式，能大幅简化计算过程，避免拆分图形的复杂运算，提升解题准确率。
【难度系数】
0.3
首先我们明确旋转轴是长度为1cm的上底AB，观察直角梯形的参数：AB=1cm，BC=3cm，CD=2cm，∠C为直角。直接拆分梯形计算旋转体体积比较麻烦，我们可以用补形法简化思路：将直角梯形补全为长3cm、高2cm的长方形，这个完整长方形绕AB轴旋转一周，会得到一个底面半径为3cm、高为2cm的完整圆柱；而我们补出来的直角三角形，两条直角边分别为3cm和(2-1)=1cm，它绕AB轴旋转一周会得到一个底面半径为3cm、高为1cm的圆锥。因此原直角梯形旋转得到的立体体积，就等于大圆柱的体积减去这个小圆锥的体积，代入对应体积公式即可算出结果。
【解析】
解：以AB所在直线为轴旋转一周后，所得立体图形可看作底面半径r=3cm、高H=2cm的圆柱，挖去一个底面半径r=3cm、高h=2-1=1cm的圆锥。
根据圆柱体积公式$V_{柱}=π r^2 H$，圆锥体积公式$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入计算：
$\begin{aligned}V&=V_{柱}-V_{锥}\\&=π×3^2×2 - \frac{1}{3}×π×3^2×(2-1)\\&=18π - 3π\\&=15π\end{aligned}$
答：所形成的立体图形的体积是15π立方厘米。
【答案】
$15π$立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，平面图形旋转
【点评】
本题的核心是掌握平面图形绕轴旋转形成立体图形的规律，易错点是容易误将该旋转体当成普通圆台计算，使用补形法将不规则组合体转化为熟悉的圆柱减圆锥的形式，能大幅简化计算过程，避免拆分图形的复杂运算，提升解题准确率。
【难度系数】
0.3
5. 一个圆柱,底面直径与高的比为8:5,如果这个圆柱的表面积是1800平方分米,那么这个圆柱的底面积是多少平方分米?(6分)
答案
5. $[π×(8÷2)^{2}]:(π×8×5)=2:5$ $1800×\frac{2}{2+2+5}=400$(平方分米)
解析
【分析】
这道题不需要硬设未知数求解半径和高，核心思路是利用题目给出的直径与高的比例关系，先推导圆柱各部分面积的比值：首先把底面直径看作8份、高看作5份，分别代入底面积公式和侧面积公式，消去公共参数后得到单个底面积和侧面积的最简比；再结合圆柱表面积=2个底面积+侧面积的构成，算出总份数，用按比例分配的方法直接求出底面积，大幅简化计算步骤。
【解析】
1. 由底面直径与高的比为8:5，我们将底面直径记为8份，高记为5份。
2. 计算单个底面积：
$S_{底}=π×(\frac{8}{2})^2=16π$
3. 计算圆柱侧面积：
$S_{侧}=π×底面直径×高=π×8×5=40π$
4. 得到单个底面积与侧面积的最简比：
$S_{底}:S_{侧}=16π:40π=2:5$
5. 圆柱总表面积由2个底面积和1个侧面积组成，对应总份数为$2+2+5=9$份，其中单个底面积占2份。
6. 按比例分配计算底面积：
$S_{底}=1800×\frac{2}{9}=400$（平方分米）
【答案】
400平方分米
【知识点】
圆柱表面积计算，比的应用，圆柱侧面积计算
【点评】
本题的巧解思路避开了常规设未知数列方程求半径的复杂运算，灵活利用给定的比例关系直接推导各部分面积的占比，用按比分配快速得到结果，考察学生对比例和圆柱表面积公式的综合运用能力，避免了无意义的代数计算。
【难度系数】
0.4
这道题不需要硬设未知数求解半径和高，核心思路是利用题目给出的直径与高的比例关系，先推导圆柱各部分面积的比值：首先把底面直径看作8份、高看作5份，分别代入底面积公式和侧面积公式，消去公共参数后得到单个底面积和侧面积的最简比；再结合圆柱表面积=2个底面积+侧面积的构成，算出总份数，用按比例分配的方法直接求出底面积，大幅简化计算步骤。
【解析】
1. 由底面直径与高的比为8:5，我们将底面直径记为8份，高记为5份。
2. 计算单个底面积：
$S_{底}=π×(\frac{8}{2})^2=16π$
3. 计算圆柱侧面积：
$S_{侧}=π×底面直径×高=π×8×5=40π$
4. 得到单个底面积与侧面积的最简比：
$S_{底}:S_{侧}=16π:40π=2:5$
5. 圆柱总表面积由2个底面积和1个侧面积组成，对应总份数为$2+2+5=9$份，其中单个底面积占2份。
6. 按比例分配计算底面积：
$S_{底}=1800×\frac{2}{9}=400$（平方分米）
【答案】
400平方分米
【知识点】
圆柱表面积计算，比的应用，圆柱侧面积计算
【点评】
本题的巧解思路避开了常规设未知数列方程求半径的复杂运算，灵活利用给定的比例关系直接推导各部分面积的占比，用按比分配快速得到结果，考察学生对比例和圆柱表面积公式的综合运用能力，避免了无意义的代数计算。
【难度系数】
0.4
6. 圆柱的底面半径和高都是3厘米,如图,把它浸没在一个装有水的水槽中,量得水位上升了1厘米。再把一个底面直径为4厘米的圆锥完全浸入水中,水位又上升了0.6厘米。圆锥的高是多少厘米?(水未溢出)(6分)
答案
6. $\frac{π×3^{2}×3÷1×0.6×3}{π×(4÷2)^{2}}=12.15$(厘米)
解析
【分析】
这道题的核心是利用排水法的原理：完全浸没在水中的物体的体积，等于排开的水的体积，也就是水位上升部分对应的水的体积。我们的解题思路可以分三步：
1. 先计算已知参数的圆柱的体积，圆柱完全浸没后水位上升1厘米，说明上升1厘米的水的体积就等于圆柱的体积，由此可以算出水槽的底面积。
2. 再用水槽的底面积乘以后续圆锥浸入后水位上升的0.6厘米，就能得到圆锥的总体积。
3. 最后利用圆锥的体积公式，反推求出圆锥的高即可，计算过程中π可以直接约去，简化运算。
【解析】
步骤1：计算浸没的圆柱的体积
圆柱体积公式为$V_{圆柱}=π r^2 h$，已知圆柱底面半径3cm，高3cm：
$V_{圆柱}=π × 3^2 × 3 = 27π$（立方厘米）
步骤2：求水槽的底面积
圆柱浸没后水位上升1cm，上升部分水的体积等于圆柱体积，因此水槽底面积：
$S_{水槽}=V_{圆柱}÷ 1 = 27π ÷ 1 = 27π$（平方厘米）
步骤3：计算圆锥的体积
圆锥完全浸入后水位上升0.6cm，上升部分水的体积等于圆锥体积：
$V_{圆锥}=S_{水槽} × 0.6 = 27π × 0.6 = 16.2π$（立方厘米）
步骤4：计算圆锥的底面积
已知圆锥底面直径为4cm，底面半径为$4÷2=2$cm：
$S_{圆锥底}=π × (4÷2)^2 = 4π$（平方厘米）
步骤5：反推圆锥的高
圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S h$，变形得$h=\frac{3V_{圆锥}}{S_{圆锥底}}$，代入数值：
$h=\frac{3×16.2π}{4π} = \frac{48.6}{4} = 12.15$（厘米）
【答案】
12.15厘米
【知识点】
排水法求体积，圆柱体积计算，圆锥体积计算
【点评】
本题是立体图形体积结合排水法的典型应用题，解题的关键是先通过已知圆柱的参数间接求出水槽的底面积，再利用水位上升体积等于浸没物体体积的关系求解。学生容易出错的点是忘记圆锥体积公式中存在的$\frac{1}{3}$，反求高时漏乘3导致结果错误，解题时要注意区分圆柱和圆锥的体积公式差异。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是利用排水法的原理：完全浸没在水中的物体的体积，等于排开的水的体积，也就是水位上升部分对应的水的体积。我们的解题思路可以分三步：
1. 先计算已知参数的圆柱的体积，圆柱完全浸没后水位上升1厘米，说明上升1厘米的水的体积就等于圆柱的体积，由此可以算出水槽的底面积。
2. 再用水槽的底面积乘以后续圆锥浸入后水位上升的0.6厘米，就能得到圆锥的总体积。
3. 最后利用圆锥的体积公式，反推求出圆锥的高即可，计算过程中π可以直接约去，简化运算。
【解析】
步骤1：计算浸没的圆柱的体积
圆柱体积公式为$V_{圆柱}=π r^2 h$，已知圆柱底面半径3cm，高3cm：
$V_{圆柱}=π × 3^2 × 3 = 27π$（立方厘米）
步骤2：求水槽的底面积
圆柱浸没后水位上升1cm，上升部分水的体积等于圆柱体积，因此水槽底面积：
$S_{水槽}=V_{圆柱}÷ 1 = 27π ÷ 1 = 27π$（平方厘米）
步骤3：计算圆锥的体积
圆锥完全浸入后水位上升0.6cm，上升部分水的体积等于圆锥体积：
$V_{圆锥}=S_{水槽} × 0.6 = 27π × 0.6 = 16.2π$（立方厘米）
步骤4：计算圆锥的底面积
已知圆锥底面直径为4cm，底面半径为$4÷2=2$cm：
$S_{圆锥底}=π × (4÷2)^2 = 4π$（平方厘米）
步骤5：反推圆锥的高
圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S h$，变形得$h=\frac{3V_{圆锥}}{S_{圆锥底}}$，代入数值：
$h=\frac{3×16.2π}{4π} = \frac{48.6}{4} = 12.15$（厘米）
【答案】
12.15厘米
【知识点】
排水法求体积，圆柱体积计算，圆锥体积计算
【点评】
本题是立体图形体积结合排水法的典型应用题，解题的关键是先通过已知圆柱的参数间接求出水槽的底面积，再利用水位上升体积等于浸没物体体积的关系求解。学生容易出错的点是忘记圆锥体积公式中存在的$\frac{1}{3}$，反求高时漏乘3导致结果错误，解题时要注意区分圆柱和圆锥的体积公式差异。
【难度系数】
0.6
一个皮球掉进盛有水的圆柱形玻璃缸内,从里面量玻璃缸的底面直径是20厘米,皮球有$\frac{2}{5}$的体积浸入水中(如图)。若把皮球从水中取出,玻璃缸内水面下降2厘米,则这个皮球的体积是多少立方厘米?
答案
$π×(20÷2)^{2}×2÷\frac{2}{5}=500π$(立方厘米)
解析
【分析】
我们可以按照两步思路来解题：首先明确核心等量关系，把皮球取出后，玻璃缸内下降的那部分水的体积，正好等于皮球浸入水中的体积。第一步先利用圆柱体积公式，算出水面下降2厘米对应的水的体积，这部分体积就是皮球总体积的$\frac{2}{5}$；第二步根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”的规则，就能算出皮球的总体积。
【解析】
1. 计算玻璃缸的底面半径
已知玻璃缸内部底面直径为20厘米，因此底面半径：
$r = 20÷2 = 10$ 厘米
2. 计算水面下降2厘米对应的水的体积（即皮球浸入水中部分的体积）
圆柱体积公式为$V=π r^2 h$，代入半径10厘米、下降高度2厘米：
$V_{\mathrm{浸}}=π×10^2×2 = 200π$ 立方厘米
3. 计算皮球的总体积
已知浸入水中的体积是皮球总体积的$\frac{2}{5}$，因此皮球总体积：
$V_{\mathrm{球}}=200π ÷ \frac{2}{5}=500π$ 立方厘米
【答案】
$500π$立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，排水法求体积，分数除法应用
【点评】
本题是排水法求不规则物体体积的经典题型，很容易出现直接把下降的水的体积当成皮球总体积的错误，解题的核心是找准“下降的水的体积和皮球浸入部分体积相等”的对应关系，再结合分数的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
我们可以按照两步思路来解题：首先明确核心等量关系，把皮球取出后，玻璃缸内下降的那部分水的体积，正好等于皮球浸入水中的体积。第一步先利用圆柱体积公式，算出水面下降2厘米对应的水的体积，这部分体积就是皮球总体积的$\frac{2}{5}$；第二步根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”的规则，就能算出皮球的总体积。
【解析】
1. 计算玻璃缸的底面半径
已知玻璃缸内部底面直径为20厘米，因此底面半径：
$r = 20÷2 = 10$ 厘米
2. 计算水面下降2厘米对应的水的体积（即皮球浸入水中部分的体积）
圆柱体积公式为$V=π r^2 h$，代入半径10厘米、下降高度2厘米：
$V_{\mathrm{浸}}=π×10^2×2 = 200π$ 立方厘米
3. 计算皮球的总体积
已知浸入水中的体积是皮球总体积的$\frac{2}{5}$，因此皮球总体积：
$V_{\mathrm{球}}=200π ÷ \frac{2}{5}=500π$ 立方厘米
【答案】
$500π$立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，排水法求体积，分数除法应用
【点评】
本题是排水法求不规则物体体积的经典题型，很容易出现直接把下降的水的体积当成皮球总体积的错误，解题的核心是找准“下降的水的体积和皮球浸入部分体积相等”的对应关系，再结合分数的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
