1. (教材例题变式)已知反比例函数 $y=\dfrac{8}{x}$.
(1) 当 $x＞2$ 时，$y$ 的取值范围是.
(2) 当 $0＜x≤ 2$ 时，$y$ 的取值范围是.
(3) 当 $x＜-2$ 时，$y$ 的取值范围是.
(4) 当 $-2≤ x＜0$ 时，$y$ 的取值范围是.
(5) 当 $x＞-2$ 时，$y$ 的取值范围是.
(6) 当 $-2＜x＜2$ 时，$y$ 的取值范围是.

1. (1)0＜y＜4 (2)y≥4 (3)-4＜y＜0 (4)y≤-4 (5)y＜-4 或 y＞0 (6)y＜-4 或 y＞4

【分析】
本题考查反比例函数的性质，已知反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$中$k=8＞0$，其图像分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。解题时需根据$x$的正负确定所在象限，结合$x$的范围，利用增减性和边界值分析$y$的取值范围，跨象限时要分情况讨论，避免出错。
【解析】
(1) 当$x＞2$时，$x$在第一象限。代入$x=2$得$y=\dfrac{8}{2}=4$，因第一象限内$y$随$x$增大而减小，故$x＞2$时$y＜4$，又第一象限$y＞0$，因此$0＜y＜4$；
(2) 当$0＜x≤2$时，$x$在第一象限。$x=2$时$y=4$，$x$从$0$到$2$时，$x$越小$y$越大，$x$趋近$0$时$y$趋近$+∞$，故$y≥4$；
(3) 当$x＜-2$时，$x$在第三象限。代入$x=-2$得$y=\dfrac{8}{-2}=-4$，因第三象限内$y$随$x$增大而减小，$x＜-2$时$y＞-4$，又第三象限$y＜0$，因此$-4＜y＜0$；
(4) 当$-2≤x＜0$时，$x$在第三象限。$x=-2$时$y=-4$，$x$从$-2$到$0$时，$x$越大$y$越小，$x$趋近$0$时$y$趋近$-∞$，故$y≤-4$；
(5) 当$x＞-2$时，分两种情况：①$x＞0$时，在第一象限，$y＞0$；②$-2＜x＜0$时，在第三象限，$x＞-2$则$y＜-4$，因此$y＜-4$或$y＞0$；
(6) 当$-2＜x＜2$时，分两种情况：①$-2＜x＜0$时，在第三象限，$y＜-4$；②$0＜x＜2$时，在第一象限，$y＞4$，因此$y＜-4$或$y＞4$；
【答案】
(1)0＜y＜4 (2)y≥4 (3)-4＜y＜0 (4)y≤-4 (5)y＜-4 或 y＞0 (6)y＜-4 或 y＞4
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题为教材例题变式题，核心考查反比例函数的图像与增减性，解题关键是分象限讨论$x$的范围，注意边界值的取舍，跨象限时需拆分情况分析，避免遗漏或错误，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5

2. 已知反比例函数 $y=-\dfrac{6}{x}.$
(1) 当 $y＞3$ 时，$x$ 的取值范围是.
(2) 当 $0＜y ≤ 3$ 时，$x$ 的取值范围是.
(3) 当 $y＜-3$ 时，$x$ 的取值范围是.
(4) 当 $-3 ≤ y＜0$ 时，$x$ 的取值范围是.
(5) 当 $y＜3$ 时，$x$ 的取值范围是.
(6) 当 $-3＜y ≤ 3$ 时，$x$ 的取值范围是.

2. (1)-2＜x＜0 (2)x≤-2 (3)0＜x＜2 (4)x≥2 (5)x＜-2 或 x＞0 (6)x＞2 或 x≤-2

【分析】
要解决反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的不等式问题，首先明确该函数性质：$k=-6＜0$，图像位于第二、四象限，且每个象限内$y$随$x$增大而增大。解分式不等式时，需通过移项通分转化为分子分母同号/异号的不等式组，结合$x$与$y$的符号关系（$y＞0$时$x＜0$，$y＜0$时$x＞0$）分象限讨论，避免符号错误。
【解析】
反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，$k=-6＜0$，图像在第二、四象限，分情况求解：
(1) $y＞3$时，$-\dfrac{6}{x}＞3$，移项通分：$\dfrac{-6-3x}{x}＞0$，分子分母同号：
$x＞0$时，$-6-3x＞0$→$x＜-2$，矛盾无解；
$x＜0$时，$-6-3x＜0$→$x＞-2$；
得$-2＜x＜0$。
(2) $0＜y≤3$时，由$y＞0$得$x＜0$，解$-\dfrac{6}{x}≤3$，移项通分：$\dfrac{-6-3x}{x}≤0$，$x＜0$则分子$-6-3x≥0$→$x≤-2$；
得$x≤-2$。
(3) $y＜-3$时，$-\dfrac{6}{x}＜-3$，移项通分：$\dfrac{-6+3x}{x}＜0$，分子分母异号：
$x＞0$时，$-6+3x＜0$→$x＜2$；
$x＜0$时，$-6+3x＞0$→$x＞2$，矛盾无解；
得$0＜x＜2$。
(4) $-3≤y＜0$时，由$y＜0$得$x＞0$，解$-3≤-\dfrac{6}{x}$，移项通分：$\dfrac{-6+3x}{x}≥0$，$x＞0$则分子$-6+3x≥0$→$x≥2$；
得$x≥2$。
(5) $y＜3$时，$-\dfrac{6}{x}＜3$，移项通分：$\dfrac{-6-3x}{x}＜0$，分子分母异号：
$x＞0$时，$-6-3x＜0$→$x＞-2$，结合$x＞0$得$x＞0$；
$x＜0$时，$-6-3x＞0$→$x＜-2$；
得$x＜-2$或$x＞0$。
(6) $-3＜y≤3$时，分两部分：
$0＜y≤3$：由(2)得$x≤-2$；
$-3＜y＜0$：由(4)得$x＞2$；
得$x＞2$或$x≤-2$。
【答案】
(1)$-2＜x＜0$ (2)$x≤-2$ (3)$0＜x＜2$ (4)$x≥2$ (5)$x＜-2$ 或 $x＞0$ (6)$x＞2$ 或 $x≤-2$
【知识点】
反比例函数的图像与性质、分式不等式的解法
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，核心是利用函数象限分布和符号关系，通过移项通分转化不等式，避免直接乘除的符号错误，需注意分情况讨论的完整性，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】
0.5

3. 已知反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过 $M(1,4)$、$N(m,-1)$ 两点.
(1)求 $k$、$m$ 的值.
(2)这个函数图象位于哪些象限? 当 $-6＜x＜-2$ 时,直接写出 $y$ 的取值范围.

3. (1)将 $M(1,4)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $4=\dfrac{k}{1}$,解得 $k=4$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$,将 $N(m,-1)$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}$,得 $-1=\dfrac{4}{m}$,解得 $m=-4$.
(2)由(1)知,反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$,$\therefore$ 此函数图象位于第一、三象限. $\because$ 当 $x＜0$ 时,$y$ 随着 $x$ 的增大而减小,当 $x=-6$ 时,$y=\dfrac{4}{-6}=-\dfrac{2}{3}$;当 $x=-2$ 时,$y=\dfrac{4}{-2}=-2$,$\therefore$ 当 $-6＜x＜-2$ 时,$y$ 的取值范围为 $-2＜y＜-\dfrac{2}{3}$.

【分析】
解题思路：(1) 反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点M(1,4)代入$y=\dfrac{k}{x}$可求出k的值，得到函数表达式后，再将点N(m,-1)代入表达式即可求出m的值；(2) 根据k的符号判断反比例函数图象所在象限，再结合反比例函数在x＜0时的增减性，代入区间端点的x值计算对应y值，进而确定y的取值范围。
【解析】
(1) 因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$M(1,4)$，将$M(1,4)$代入函数解析式得：
$4=\dfrac{k}{1}$，解得$k=4$，
所以反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
又因为图象经过点$N(m,-1)$，将$N(m,-1)$代入$y=\dfrac{4}{x}$得：
$-1=\dfrac{4}{m}$，解得$m=-4$。
(2) 由(1)知反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$，其中$k=4＞0$，根据反比例函数性质，当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限。
对于反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-6$时，$y=\dfrac{4}{-6}=-\dfrac{2}{3}$；当$x=-2$时，$y=\dfrac{4}{-2}=-2$。
因为$-6＜x＜-2$，且$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，所以此时$y$的取值范围是$-2＜y＜-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $k=4$，$m=-4$；(2) 图象位于第一、三象限，$y$的取值范围为$-2＜y＜-\dfrac{2}{3}$。
【知识点】
反比例函数解析式、反比例函数图像性质、反比例函数取值范围
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，核心是利用点在函数图象上的性质求参数，以及根据k值判断象限、结合增减性确定函数取值范围，属于常规基础题，注重对反比例函数核心性质的考察。
【难度系数】
0.6

4. 已知函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过点 $A(-1,4)$.
(1) 求 $k$ 的值.
(2) 画出该函数的图象.
(3) 根据图象直接写出 $y ≤ 4$ 时 $x$ 的取值范围.

4. (1)$\because$ 函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过点 $A(-1,4)$,$\therefore 4=\dfrac{k}{-1}$,$\therefore k=-4$.
(2)如图所示.

(3)由图象可知,当 $y=4$ 时,$x=-1$,$\therefore$ 当 $y≤ 4$ 时,$x$ 的取值范围为 $x＞0$ 或 $x≤ -1$.

【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，分三步解决：①求k值：利用待定系数法，将已知点坐标代入反比例函数解析式即可算出k；②画图象：根据k的正负确定双曲线所在象限，结合已知点位置绘制图象；③求x的范围：观察图象，分x＜0和x＞0两部分，结合函数在各象限的图象特征，找出满足y≤4的x取值。
【解析】
(1) 因为反比例函数$ y=\dfrac{k}{x} $的图象经过点$ A(-1,4) $，将点坐标代入解析式得：$ 4=\dfrac{k}{-1} $，解得$ k=-4 $；
(2) 由$ k=-4＜0 $，可知函数图象是位于第二、四象限的双曲线，且过点$ (-1,4) $，据此画出图象；
(3) 观察图象：在第二象限内，当$ x=-1 $时$ y=4 $，且第二象限内函数值随x增大而增大，故当$ y≤4 $时，$ x≤-1 $；在第四象限内，所有x对应的y值均为负数，显然满足$ y≤4 $，故$ x＞0 $也符合条件。综上，$ y≤4 $时x的取值范围为$ x＞0 $或$ x≤-1 $。
【答案】
(1)$ k=-4 $；(2)$$；(3)$ x＞0 $或$ x≤ -1 $
【知识点】
反比例函数，待定系数法，函数图象与不等式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，涵盖待定系数法求解析式、图象绘制、利用图象解不等式，注重对函数基本性质的理解与应用，适合巩固反比例函数的基础知识点。
【难度系数】
0.7