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5. 如图,点$N$在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象上,点$M$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象上,线段$MN$与$y$轴的交点$A$恰为$MN$的中点,则$△ OMN$的面积是（
A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$
A
）A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$
答案
5. A 解析:如图,过点 $M$ 作 $MB ⊥ y$ 轴于点 $B$,过点 $N$ 作 $NC ⊥ y$ 轴于点 $C$,则$∠ NCA=∠ MBA=90°$.$\because$ 点 $N$ 在反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的图象上,点 $M$ 在反比例 $y=\dfrac{8}{x}$ 的图象上,$\therefore S_{△ ONC}=\dfrac{1}{2}×4=2$,$S_{△ OMB}=\dfrac{1}{2}×8=4$.$\because A$ 为 $MN$ 的中点,$\therefore NA=MA$. 又 $\because ∠ NAC=∠ MAB$,$\therefore △ NAC≌△ MAB$(AAS),$\therefore S_{△ NAC}=S_{△ MAB}$,$\therefore S_{△ OMN}=S_{△ ONC}+S_{△ NAC}+S_{△ OMB}-S_{△ MAB}=S_{△ ONC}+S_{△ OMB}=2+4=6$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合反比例函数的几何意义、全等三角形的性质来推导：首先通过作辅助线构造直角三角形，利用反比例函数k的几何意义求出相关三角形的面积；再根据AAS证明两个小三角形全等，得到它们的面积相等，进而转化求出△OMN的面积。
【解析】
过点$M$作$MB ⊥ y$轴于点$B$，过点$N$作$NC ⊥ y$轴于点$C$，则$∠ NCA=∠ MBA=90°$。
因为点$N$在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，过双曲线上一点作坐标轴垂线所得三角形面积为$\dfrac{|k|}{2}$，所以$S_{△ ONC}=\dfrac{1}{2}×| -4 | =2$。
同理，点$M$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象上，故$S_{△ OMB}=\dfrac{1}{2}×| 8 | =4$。
因为$A$为$MN$的中点，所以$NA=MA$，又$∠ NAC=∠ MAB$（对顶角相等），因此$△ NAC≌△ MAB$（AAS），可得$S_{△ NAC}=S_{△ MAB}$。
则$S_{△ OMN}=S_{△ ONC}+S_{△ NAC}+S_{△ OMB}-S_{△ MAB}=S_{△ ONC}+S_{△ OMB}=2+4=6$。
【答案】
A.$6$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，全等三角形判定，三角形面积计算
【点评】
本题通过构造辅助线，结合反比例函数的几何意义和全等三角形的面积相等性质，巧妙转化得到目标三角形的面积，是反比例函数与几何结合的典型题型，需掌握辅助线构造和面积转化的方法。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合反比例函数的几何意义、全等三角形的性质来推导：首先通过作辅助线构造直角三角形，利用反比例函数k的几何意义求出相关三角形的面积；再根据AAS证明两个小三角形全等，得到它们的面积相等，进而转化求出△OMN的面积。
【解析】
过点$M$作$MB ⊥ y$轴于点$B$，过点$N$作$NC ⊥ y$轴于点$C$，则$∠ NCA=∠ MBA=90°$。
因为点$N$在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，过双曲线上一点作坐标轴垂线所得三角形面积为$\dfrac{|k|}{2}$，所以$S_{△ ONC}=\dfrac{1}{2}×| -4 | =2$。
同理，点$M$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象上，故$S_{△ OMB}=\dfrac{1}{2}×| 8 | =4$。
因为$A$为$MN$的中点，所以$NA=MA$，又$∠ NAC=∠ MAB$（对顶角相等），因此$△ NAC≌△ MAB$（AAS），可得$S_{△ NAC}=S_{△ MAB}$。
则$S_{△ OMN}=S_{△ ONC}+S_{△ NAC}+S_{△ OMB}-S_{△ MAB}=S_{△ ONC}+S_{△ OMB}=2+4=6$。
【答案】
A.$6$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，全等三角形判定，三角形面积计算
【点评】
本题通过构造辅助线，结合反比例函数的几何意义和全等三角形的面积相等性质，巧妙转化得到目标三角形的面积，是反比例函数与几何结合的典型题型，需掌握辅助线构造和面积转化的方法。
【难度系数】
0.5
6. 设函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 与 $y=x+1$ 的图象的交点为 $(a,b)$ , 则 $\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{a}$ 的值为
-1
答案
6. $-1$ 解析:$\because$ 函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 与 $y=x+1$ 的图象的交点为 $(a,b)$,$\therefore b=\dfrac{2}{a}$,$b=a+1$,$\therefore a=\dfrac{2}{b}$,$a-b=-1$,$\therefore \dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{a}=a-b=-1$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用函数图象交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式。首先将交点$(a,b)$代入两个函数，得到关于$a,b$的关系式，再对所求代数式变形，通过整体代入的方法计算结果，无需直接求解$a,b$的具体值。
【解析】
因为函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=x+1$的图象交点为$(a,b)$，所以：
1. 代入反比例函数得：$b=\dfrac{2}{a}$，即$ab=2$；
2. 代入一次函数得：$b=a+1$，移项得$a - b=-1$；
对所求代数式$\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{a}$通分变形：
$\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{a}=\dfrac{2a - 2b}{ab}=\dfrac{2(a - b)}{ab}$；
将$a - b=-1$、$ab=2$代入上式：
$\dfrac{2×(-1)}{2}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
函数交点性质，代数式求值
【点评】
本题考查函数交点的应用及代数式的整体代入求值，核心是利用交点坐标满足函数解析式得到$a,b$的关系，通过变形所求式简化计算，避免复杂运算，属于基础题型，注重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用函数图象交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式。首先将交点$(a,b)$代入两个函数，得到关于$a,b$的关系式，再对所求代数式变形，通过整体代入的方法计算结果，无需直接求解$a,b$的具体值。
【解析】
因为函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=x+1$的图象交点为$(a,b)$，所以：
1. 代入反比例函数得：$b=\dfrac{2}{a}$，即$ab=2$；
2. 代入一次函数得：$b=a+1$，移项得$a - b=-1$；
对所求代数式$\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{a}$通分变形：
$\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{a}=\dfrac{2a - 2b}{ab}=\dfrac{2(a - b)}{ab}$；
将$a - b=-1$、$ab=2$代入上式：
$\dfrac{2×(-1)}{2}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
函数交点性质，代数式求值
【点评】
本题考查函数交点的应用及代数式的整体代入求值，核心是利用交点坐标满足函数解析式得到$a,b$的关系，通过变形所求式简化计算，避免复杂运算，属于基础题型，注重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$与$y=-\dfrac{7}{x}(x＜0)$的图象上,点$P$在$x$轴上.若$AB// x$轴,则$△ PAB$的面积为
5
.答案
7. $5$ 解析:如图,连接 $OA$、$OB$,设 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $E$.$\because AB// x$ 轴,$\therefore S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}×|3|=1.5$,$S_{△ OBE}=\dfrac{1}{2}×|-7|=3.5$,$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ OAB}=S_{△ OAE}+S_{△ OBE}=1.5+3.5=5$.
解析
【分析】
要计算△PAB的面积，首先观察到AB平行于x轴，利用反比例函数的k的几何意义，以及同底等高的三角形面积相等的性质解题：1. 设AB与y轴交于点E，将△PAB的面积转化为△OAB的面积（AB为公共底，P和O到AB的距离相等）；2. 分别计算△OAE和△OBE的面积，两者之和即为△OAB的面积，也就是△PAB的面积。
【解析】
设AB交y轴于点E，连接OA、OB。
因为AB//x轴，所以△PAB与△OAB同底AB，且高均为AB到x轴的垂直距离，故$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}$。
对于反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$，点A在该图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}×|3|=\frac{3}{2}$；
对于反比例函数$y=-\frac{7}{x}(x＜0)$，点B在该图象上，同理$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}×|-7|=\frac{7}{2}$；
因此$S_{△ OAB}=S_{△ OAE}+S_{△ OBE}=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5$，所以$S_{△ PAB}=5$。
【答案】
5
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的k的几何意义，利用同底等高的三角形面积相等的性质，将所求三角形面积转化为易计算的两个小三角形面积之和，考查学生对反比例函数性质的掌握和转化思想的运用，是反比例函数中常见的面积问题。
【难度系数】
0.5
要计算△PAB的面积，首先观察到AB平行于x轴，利用反比例函数的k的几何意义，以及同底等高的三角形面积相等的性质解题：1. 设AB与y轴交于点E，将△PAB的面积转化为△OAB的面积（AB为公共底，P和O到AB的距离相等）；2. 分别计算△OAE和△OBE的面积，两者之和即为△OAB的面积，也就是△PAB的面积。
【解析】
设AB交y轴于点E，连接OA、OB。
因为AB//x轴，所以△PAB与△OAB同底AB，且高均为AB到x轴的垂直距离，故$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}$。
对于反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$，点A在该图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}×|3|=\frac{3}{2}$；
对于反比例函数$y=-\frac{7}{x}(x＜0)$，点B在该图象上，同理$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}×|-7|=\frac{7}{2}$；
因此$S_{△ OAB}=S_{△ OAE}+S_{△ OBE}=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5$，所以$S_{△ PAB}=5$。
【答案】
5
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的k的几何意义，利用同底等高的三角形面积相等的性质，将所求三角形面积转化为易计算的两个小三角形面积之和，考查学生对反比例函数性质的掌握和转化思想的运用，是反比例函数中常见的面积问题。
【难度系数】
0.5
8. 如图,一次函数 $y_1=kx+b(k ≠ 0)$ 的图象与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(m ≠ 0)$ 的图象交于第二、四象限内的 A、B 两点,点 A 的坐标为 $(-2,3)$,点 B 的坐标为 $(6,n)$.
(1)$m=$
(2) 当 $y_1 ≤ y_2$ 时,$x$ 的取值范围是
(3) 过点 B 作 $BC ⊥ y$ 轴于点 C,连接 AC,过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D,求线段 CD 的长.
(1)$m=$
-6
,$n=$-1
.(2) 当 $y_1 ≤ y_2$ 时,$x$ 的取值范围是
-2≤x＜0 或 x≥6
.(3) 过点 B 作 $BC ⊥ y$ 轴于点 C,连接 AC,过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D,求线段 CD 的长.
答案
8. (1)$-6$ $-1$ 解析:$\because$ 点 $A(-2,3)$ 在反比例函数 $y_2=\dfrac{m}{x}$ 的图象上,$\therefore m=-2×3=-6$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y_2=-\dfrac{6}{x}$.$\because$ 点 $B(6,n)$ 在反比例函数 $y_2=-\dfrac{6}{x}$ 的图象上,$\therefore 6n=-6$,$\therefore n=-1$.
(2)$-2≤ x＜0$ 或 $x≥6$ 解析:由(1)知,$n=-1$,$\therefore B(6,-1)$,由图象可知,当 $y_1≤ y_2$ 时,$-2≤ x＜0$ 或 $x≥6$.
(3)$\because BC⊥ y$ 轴,$B(6,-1)$,$\therefore BC=6$. $\because A(-2,3)$,$\therefore$ 点 $A$ 到 $BC$ 的距离 $h=3-(-1)=4$. $\because A(-2,3)$,$B(6,-1)$,$\therefore AB=\sqrt{(-2-6)^2+[3-(-1)]^2}=4\sqrt{5}$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· h=\dfrac{1}{2}AB· CD$,$\therefore CD=\dfrac{BC· h}{AB}=\dfrac{6×4}{4\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
(2)$-2≤ x＜0$ 或 $x≥6$ 解析:由(1)知,$n=-1$,$\therefore B(6,-1)$,由图象可知,当 $y_1≤ y_2$ 时,$-2≤ x＜0$ 或 $x≥6$.
(3)$\because BC⊥ y$ 轴,$B(6,-1)$,$\therefore BC=6$. $\because A(-2,3)$,$\therefore$ 点 $A$ 到 $BC$ 的距离 $h=3-(-1)=4$. $\because A(-2,3)$,$B(6,-1)$,$\therefore AB=\sqrt{(-2-6)^2+[3-(-1)]^2}=4\sqrt{5}$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· h=\dfrac{1}{2}AB· CD$,$\therefore CD=\dfrac{BC· h}{AB}=\dfrac{6×4}{4\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：利用反比例函数图像上点的横纵坐标乘积等于比例系数$m$，代入点$A$的坐标求出$m$，再代入点$B$的坐标求出$n$；
2. 第(2)问：结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方（含交点）对应的$x$的取值范围；
3. 第(3)问：通过坐标确定$BC$的长度、点$A$到$BC$的距离，用勾股定理求出$AB$，再利用三角形面积的两种计算方式建立等式，求解$CD$的长度。
【解析】
(1) 因为点$A(-2,3)$在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象上，所以$m = (-2)×3 = -6$，即反比例函数解析式为$y_2 = -\frac{6}{x}$。
又点$B(6,n)$在反比例函数图象上，所以$6n = -6$，解得$n = -1$。
(2) 由(1)知$B(6,-1)$，观察图象，一次函数$y_1$与反比例函数$y_2$交于$A(-2,3)$、$B(6,-1)$，当$y_1≤y_2$时，一次函数图象在反比例图象下方（含交点），对应$x$的取值范围是$-2≤x＜0$或$x≥6$。
(3) 因为$BC⊥y$轴，$B(6,-1)$，所以$C$点坐标为$(0,-1)$，则$BC = 6$；点$A(-2,3)$到直线$BC$（$y=-1$）的距离为$3 - (-1) = 4$。
由$A(-2,3)$、$B(6,-1)$，根据勾股定理得：
$AB = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
$△ ABC$的面积可表示为：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×BC×\mathrm{高} = \frac{1}{2}×6×4 = 12$；
又因为$CD⊥AB$，所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×AB×CD$，即$12 = \frac{1}{2}×4\sqrt{5}×CD$，解得$CD = \frac{12×2}{4\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $-6$；$-1$
(2) $-2≤x＜0$或$x≥6$
(3) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、三角形面积
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及函数图像上点的坐标特征、数形结合思想及面积法求线段长度，需熟练掌握相关知识点的应用。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：利用反比例函数图像上点的横纵坐标乘积等于比例系数$m$，代入点$A$的坐标求出$m$，再代入点$B$的坐标求出$n$；
2. 第(2)问：结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方（含交点）对应的$x$的取值范围；
3. 第(3)问：通过坐标确定$BC$的长度、点$A$到$BC$的距离，用勾股定理求出$AB$，再利用三角形面积的两种计算方式建立等式，求解$CD$的长度。
【解析】
(1) 因为点$A(-2,3)$在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象上，所以$m = (-2)×3 = -6$，即反比例函数解析式为$y_2 = -\frac{6}{x}$。
又点$B(6,n)$在反比例函数图象上，所以$6n = -6$，解得$n = -1$。
(2) 由(1)知$B(6,-1)$，观察图象，一次函数$y_1$与反比例函数$y_2$交于$A(-2,3)$、$B(6,-1)$，当$y_1≤y_2$时，一次函数图象在反比例图象下方（含交点），对应$x$的取值范围是$-2≤x＜0$或$x≥6$。
(3) 因为$BC⊥y$轴，$B(6,-1)$，所以$C$点坐标为$(0,-1)$，则$BC = 6$；点$A(-2,3)$到直线$BC$（$y=-1$）的距离为$3 - (-1) = 4$。
由$A(-2,3)$、$B(6,-1)$，根据勾股定理得：
$AB = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
$△ ABC$的面积可表示为：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×BC×\mathrm{高} = \frac{1}{2}×6×4 = 12$；
又因为$CD⊥AB$，所以$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×AB×CD$，即$12 = \frac{1}{2}×4\sqrt{5}×CD$，解得$CD = \frac{12×2}{4\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $-6$；$-1$
(2) $-2≤x＜0$或$x≥6$
(3) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、三角形面积
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及函数图像上点的坐标特征、数形结合思想及面积法求线段长度，需熟练掌握相关知识点的应用。
【难度系数】
0.5
