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1. 如图,点 B 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 C 在反比例函数 $y=-\dfrac{2}{x}(x＞0)$ 的图象上,且 $BC// y$ 轴, $AC⊥ BC$, 垂足为 C, 交 y 轴于点 A, 则 $△ ABC$ 的面积为（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. A 解析:设点 B 的坐标为 $(m,\frac{4}{m})(m＞0).\because$ 点 C 在反比例函数 $y=-\frac{2}{x}(x＞0)$ 的图象上,且 $BC// y$ 轴, $AC⊥ BC$,
$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(m,-\frac{2}{m})$,点 A 的坐标为 $(0,-\frac{2}{m}),\therefore AC= m,BC=\frac{4}{m}-(-\frac{2}{m})=\frac{6}{m},\therefore△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}m·\frac{6}{m}=3.$
$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(m,-\frac{2}{m})$,点 A 的坐标为 $(0,-\frac{2}{m}),\therefore AC= m,BC=\frac{4}{m}-(-\frac{2}{m})=\frac{6}{m},\therefore△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}m·\frac{6}{m}=3.$
解析
【分析】本题需利用反比例函数图象上点的坐标特征，结合平行于坐标轴的直线的坐标特点求解。首先由$BC// y$轴得B、C横坐标相同，设点B坐标后推出点C坐标；再由$AC⊥ BC$得$AC// x$轴，进而得到点A坐标；最后计算$△ ABC$的底和高，用面积公式得出结果。
【解析】设点B的坐标为$(m,\frac{4}{m})(m＞0)$。因为$BC// y$轴，所以点C的横坐标与点B相等，又点C在反比例函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，因此点C的坐标为$(m,-\frac{2}{m})$。由于$AC⊥ BC$，$BC// y$轴，故$AC// x$轴，点A在y轴上，所以点A的纵坐标与点C相同，即点A的坐标为$(0,-\frac{2}{m})$。由此可得：$AC=m$，$BC=\frac{4}{m}-(-\frac{2}{m})=\frac{6}{m}$。根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× m×\frac{6}{m}=3$。
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、平面直角坐标系、三角形面积计算
【点评】本题是反比例函数的常规基础题，核心是利用平行于坐标轴的直线的坐标关系确定各点坐标，进而求出三角形的底和高，解题思路清晰，能考查学生对反比例函数性质的掌握情况。
【难度系数】0.7
【解析】设点B的坐标为$(m,\frac{4}{m})(m＞0)$。因为$BC// y$轴，所以点C的横坐标与点B相等，又点C在反比例函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，因此点C的坐标为$(m,-\frac{2}{m})$。由于$AC⊥ BC$，$BC// y$轴，故$AC// x$轴，点A在y轴上，所以点A的纵坐标与点C相同，即点A的坐标为$(0,-\frac{2}{m})$。由此可得：$AC=m$，$BC=\frac{4}{m}-(-\frac{2}{m})=\frac{6}{m}$。根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× m×\frac{6}{m}=3$。
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、平面直角坐标系、三角形面积计算
【点评】本题是反比例函数的常规基础题，核心是利用平行于坐标轴的直线的坐标关系确定各点坐标，进而求出三角形的底和高，解题思路清晰，能考查学生对反比例函数性质的掌握情况。
【难度系数】0.7
2. 如图,平行于 $y$ 轴的直线分别交反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 与 $y=\dfrac{k_2}{x}$ 的图象(部分)于点 $A$、$B$,$C$ 是$y$ 轴上的动点,则 $△ ABC$ 的面积为（
A.$k_1 - k_2$
B.$\dfrac{1}{2}(k_1 - k_2)$
C.$k_2 - k_1$
D.$\dfrac{1}{2}(k_2 - k_1)$
B
）A.$k_1 - k_2$
B.$\dfrac{1}{2}(k_1 - k_2)$
C.$k_2 - k_1$
D.$\dfrac{1}{2}(k_2 - k_1)$
答案
2. B 解析:在 $△ ABC$ 中, $AB=\frac{k_1}{x}-\frac{k_2}{x}$,边AB上的高为 $x,\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}·(\frac{k_1}{x}-\frac{k_2}{x})· x=\frac{1}{2}(k_1-k_2).$
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，需先确定AB的长度和AB边上的高：平行于y轴的直线与两个反比例函数交于A、B两点，因此A、B横坐标相同，设该横坐标为$x$；C在y轴上，故AB边上的高为该直线到y轴的水平距离（即横坐标$x$），再结合三角形面积公式计算即可。
【解析】
设平行于y轴的直线的横坐标为$x$（$x＞0$），则点$A(x,\frac{k_1}{x})$，点$B(x,\frac{k_2}{x})$。
因为A在B上方，所以$AB=\frac{k_1}{x}-\frac{k_2}{x}$；
又AB边上的高为该直线到y轴的距离，即高为$x$；
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× 高=\frac{1}{2}×(\frac{k_1}{x}-\frac{k_2}{x})× x=\frac{1}{2}(k_1 - k_2)$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与三角形面积公式，核心是确定AB的长度和对应高，计算时约去横坐标$x$即可，属于基础题型，需掌握反比例函数上点的坐标特点。
【难度系数】
0.6
要计算△ABC的面积，需先确定AB的长度和AB边上的高：平行于y轴的直线与两个反比例函数交于A、B两点，因此A、B横坐标相同，设该横坐标为$x$；C在y轴上，故AB边上的高为该直线到y轴的水平距离（即横坐标$x$），再结合三角形面积公式计算即可。
【解析】
设平行于y轴的直线的横坐标为$x$（$x＞0$），则点$A(x,\frac{k_1}{x})$，点$B(x,\frac{k_2}{x})$。
因为A在B上方，所以$AB=\frac{k_1}{x}-\frac{k_2}{x}$；
又AB边上的高为该直线到y轴的距离，即高为$x$；
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× 高=\frac{1}{2}×(\frac{k_1}{x}-\frac{k_2}{x})× x=\frac{1}{2}(k_1 - k_2)$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与三角形面积公式，核心是确定AB的长度和对应高，计算时约去横坐标$x$即可，属于基础题型，需掌握反比例函数上点的坐标特点。
【难度系数】
0.6
3. 如图,直线 $x=2$ 与反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 和 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象分别交于 $A$、$B$ 两点. 若 $P$ 是 $y$ 轴上任意一点,则 $△ PAB$ 的面积是
2.5
.答案
3. 2.5 解析:如图,连接 AO、BO.
$\because AB// y$ 轴, $\therefore△ OAB$ 与 $△ PAB$ 的面积相等. 又$\because$ 反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 和 $y=-\frac{2}{x}$ 的图象分别过 A、B 两点,
$\therefore S_{△ AOC}=1.5,S_{△ BOC}=1,\therefore S_{△ OAB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=1.5+1=2.5,$
$\therefore S_{△ PAB}=2.5.$
解析
【分析】要计算△PAB的面积，首先需确定A、B两点的坐标：直线x=2与两个反比例函数相交，代入x=2可求出A、B的纵坐标，进而得到AB的长度；由于P在y轴上，AB平行于y轴，可利用同底等高的性质，将△PAB的面积转化为△OAB的面积简化计算，也可直接通过底和高计算面积。
【解析】解：当x=2时，对于反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$，$y=\dfrac{3}{2}$，故A点坐标为$(2,\dfrac{3}{2})$；对于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$，$y=-\dfrac{2}{2}=-1$，故B点坐标为$(2,-1)$。
设AB与x轴交于点C，则C点坐标为$(2,0)$。
计算△AOC的面积：$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}× OC× y_A=\dfrac{1}{2}×2×\dfrac{3}{2}=1.5$；
计算△BOC的面积：$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× OC×|y_B|=\dfrac{1}{2}×2×1=1$；
因此$S_{△ OAB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=1.5+1=2.5$。
因为AB平行于y轴，△PAB与△OAB同底AB，且高均为AB到y轴的距离，所以$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}=2.5$。
【答案】2.5
【知识点】反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及三角形面积的计算，核心是利用反比例函数求点坐标，通过同底等高转化面积，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】解：当x=2时，对于反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$，$y=\dfrac{3}{2}$，故A点坐标为$(2,\dfrac{3}{2})$；对于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$，$y=-\dfrac{2}{2}=-1$，故B点坐标为$(2,-1)$。
设AB与x轴交于点C，则C点坐标为$(2,0)$。
计算△AOC的面积：$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}× OC× y_A=\dfrac{1}{2}×2×\dfrac{3}{2}=1.5$；
计算△BOC的面积：$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× OC×|y_B|=\dfrac{1}{2}×2×1=1$；
因此$S_{△ OAB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=1.5+1=2.5$。
因为AB平行于y轴，△PAB与△OAB同底AB，且高均为AB到y轴的距离，所以$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}=2.5$。
【答案】2.5
【知识点】反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及三角形面积的计算，核心是利用反比例函数求点坐标，通过同底等高转化面积，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5
4. 点 $P 、 Q 、 R$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ (常数 $k＞0,x＞0$ ) 的图象上的位置如图所示, 分别过这三个点作 $x$ 轴、$y$ 轴的平行线. 图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为 $S_1 、 S_2 、 S_3$. 若 $OE=ED=DC,S_2+S_3=20$, 则 $S_1$ 的值为
10
.答案
4. 10 解析:$\because OE=ED=DC,\therefore S_1=\frac{1}{3}k,$
$S_{四边形CGQD}=k,\therefore S_2=\frac{1}{2}(k-\frac{1}{3}k×2)=\frac{1}{6}k,S_3=k-\frac{1}{3}k-\frac{1}{6}k=\frac{1}{2}k.$ 又$\because S_2+S_3=20,\therefore\frac{1}{6}k+\frac{1}{2}k=20,\therefore k=30,$
$\therefore S_1=\frac{1}{3}k=10.$
$S_{四边形CGQD}=k,\therefore S_2=\frac{1}{2}(k-\frac{1}{3}k×2)=\frac{1}{6}k,S_3=k-\frac{1}{3}k-\frac{1}{6}k=\frac{1}{2}k.$ 又$\because S_2+S_3=20,\therefore\frac{1}{6}k+\frac{1}{2}k=20,\therefore k=30,$
$\therefore S_1=\frac{1}{3}k=10.$
解析
【分析】
首先利用反比例函数的性质：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上任意一点作x轴、y轴的平行线，所得矩形面积为定值$k$。结合$OE=ED=DC$的条件，设每段长度为$a$，表示出点$P、Q、R$的纵坐标，再通过反比例函数表达式求出各点横坐标，进而推导三个阴影面积$S_1、S_2、S_3$的表达式，最后根据$S_2+S_3=20$求出$k$，计算$S_1$。
【解析】
设$OE=ED=DC=a$，则点$P、Q、R$的纵坐标分别为$3a、2a、a$。
因为点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以各点横坐标为：
$x_P=\frac{k}{3a}$，$x_Q=\frac{k}{2a}$，$x_R=\frac{k}{a}$。
根据反比例函数性质，过各点作坐标轴平行线形成的矩形面积均为$k$：
1. $S_1$是长为$OF=x_P=\frac{k}{3a}$、宽为$OE=a$的矩形面积，故$S_1=OF× OE=\frac{k}{3a}× a=\frac{k}{3}$；
2. $S_2$的宽度为$FG=x_Q - x_P=\frac{k}{2a}-\frac{k}{3a}=\frac{k}{6a}$，高度为$DE=a$，故$S_2=FG× DE=\frac{k}{6a}× a=\frac{k}{6}$；
3. $S_3$的宽度为$GA=x_R - x_Q=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a}$，高度为$CD=a$，故$S_3=GA× CD=\frac{k}{2a}× a=\frac{k}{2}$。
已知$S_2+S_3=20$，代入得：
$\frac{k}{6}+\frac{k}{2}=20$，
通分计算：$\frac{4k}{6}=20$，解得$k=30$。
因此$S_1=\frac{k}{3}=\frac{30}{3}=10$。
【答案】
10
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积计算
【点评】
本题核心是利用反比例函数的矩形面积定值性质，通过设参数简化计算，结合已知条件求解，思路清晰，属于中等难度的反比例函数应用题型。
【难度系数】
0.5
首先利用反比例函数的性质：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上任意一点作x轴、y轴的平行线，所得矩形面积为定值$k$。结合$OE=ED=DC$的条件，设每段长度为$a$，表示出点$P、Q、R$的纵坐标，再通过反比例函数表达式求出各点横坐标，进而推导三个阴影面积$S_1、S_2、S_3$的表达式，最后根据$S_2+S_3=20$求出$k$，计算$S_1$。
【解析】
设$OE=ED=DC=a$，则点$P、Q、R$的纵坐标分别为$3a、2a、a$。
因为点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以各点横坐标为：
$x_P=\frac{k}{3a}$，$x_Q=\frac{k}{2a}$，$x_R=\frac{k}{a}$。
根据反比例函数性质，过各点作坐标轴平行线形成的矩形面积均为$k$：
1. $S_1$是长为$OF=x_P=\frac{k}{3a}$、宽为$OE=a$的矩形面积，故$S_1=OF× OE=\frac{k}{3a}× a=\frac{k}{3}$；
2. $S_2$的宽度为$FG=x_Q - x_P=\frac{k}{2a}-\frac{k}{3a}=\frac{k}{6a}$，高度为$DE=a$，故$S_2=FG× DE=\frac{k}{6a}× a=\frac{k}{6}$；
3. $S_3$的宽度为$GA=x_R - x_Q=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a}$，高度为$CD=a$，故$S_3=GA× CD=\frac{k}{2a}× a=\frac{k}{2}$。
已知$S_2+S_3=20$，代入得：
$\frac{k}{6}+\frac{k}{2}=20$，
通分计算：$\frac{4k}{6}=20$，解得$k=30$。
因此$S_1=\frac{k}{3}=\frac{30}{3}=10$。
【答案】
10
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积计算
【点评】
本题核心是利用反比例函数的矩形面积定值性质，通过设参数简化计算，结合已知条件求解，思路清晰，属于中等难度的反比例函数应用题型。
【难度系数】
0.5
5. 两个反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$和$y=\dfrac{k_{2}}{x}(k_{1}＞k_{2}＞0)$在第一象限内的图象如图所示,动点$P$在$y=\dfrac{k_{1}}{x}$的图象上,$PC ⊥ x$轴于点$C$,交$y=\dfrac{k_{2}}{x}$的图象于点$A$,$PD ⊥ y$轴于点$D$,交$y=\dfrac{k_{2}}{x}$的图象于点$B$.求证:四边形$PAOB$的面积是定值.
答案
5. 证明:$\because$ 动点 P 在 $y=\frac{k_1}{x}$ 的图象上,
$PC⊥ x$ 轴于点 C, 交 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象于点 A, $PD⊥ y$ 轴于点 D,
交 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象于点 B, $\therefore S_{矩形OCPD}=k_1,S_{△ AOC}=S_{△ DBO}=\frac{1}{2}k_2,\therefore S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ AOC}-S_{△ DBO}=k_1-\frac{1}{2}k_2-\frac{1}{2}k_2=k_1-k_2$,即四边形 PAOB 的面积是定值.
$PC⊥ x$ 轴于点 C, 交 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象于点 A, $PD⊥ y$ 轴于点 D,
交 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象于点 B, $\therefore S_{矩形OCPD}=k_1,S_{△ AOC}=S_{△ DBO}=\frac{1}{2}k_2,\therefore S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ AOC}-S_{△ DBO}=k_1-\frac{1}{2}k_2-\frac{1}{2}k_2=k_1-k_2$,即四边形 PAOB 的面积是定值.
解析
【分析】要证明四边形PAOB的面积是定值，需利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|，所得三角形的面积为|k|的一半。先确定矩形OCPD的面积，再求出两个小三角形AOC和DBO的面积，最后用矩形面积减去这两个三角形的面积，即可得到四边形PAOB的面积，判断其为定值。
【解析】
证明：
∵ 点P在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，且$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，
∴ 矩形OCPD的面积$S_{矩形OCPD}=k_1$（反比例函数k的几何意义：过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形面积为|k|，$k_1＞0$，故面积为$k_1$）。
又
∵ 点A在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，且$AC⊥x$轴，
∴ $S_{△AOC}=\frac{1}{2}k_2$（过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$）。
同理，点B在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，$BD⊥y$轴，
∴ $S_{△DBO}=\frac{1}{2}k_2$。
因此，四边形PAOB的面积为：
$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD} - S_{△AOC} - S_{△DBO}=k_1 - \frac{1}{2}k_2 - \frac{1}{2}k_2=k_1 - k_2$。
由于$k_1$、$k_2$是定值，故四边形PAOB的面积是定值。
【答案】四边形PAOB的面积为定值$k_1 - k_2$，证明如上。
【知识点】反比例函数k的几何意义、四边形面积计算
【点评】本题利用反比例函数k的几何意义，将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积差，体现了数形结合思想，是反比例函数的典型应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】
证明：
∵ 点P在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，且$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，
∴ 矩形OCPD的面积$S_{矩形OCPD}=k_1$（反比例函数k的几何意义：过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形面积为|k|，$k_1＞0$，故面积为$k_1$）。
又
∵ 点A在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，且$AC⊥x$轴，
∴ $S_{△AOC}=\frac{1}{2}k_2$（过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$）。
同理，点B在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，$BD⊥y$轴，
∴ $S_{△DBO}=\frac{1}{2}k_2$。
因此，四边形PAOB的面积为：
$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD} - S_{△AOC} - S_{△DBO}=k_1 - \frac{1}{2}k_2 - \frac{1}{2}k_2=k_1 - k_2$。
由于$k_1$、$k_2$是定值，故四边形PAOB的面积是定值。
【答案】四边形PAOB的面积为定值$k_1 - k_2$，证明如上。
【知识点】反比例函数k的几何意义、四边形面积计算
【点评】本题利用反比例函数k的几何意义，将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积差，体现了数形结合思想，是反比例函数的典型应用题型。
【难度系数】0.5
