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6. 一次函数$y=kx-k$和反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}(k≠0)$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
B
）答案
B 解析:当$k＜0$时,反比例函数的图象位于第一、三象限,一次函数的图象经过第一、二、四象限,故A、C选项错误;当$k＞0$时,反比例函数的图象位于第二、四象限,一次函数的图象经过第一、三、四象限,故B选项正确,D选项错误.
解析
【分析】要判断一次函数$y=kx-k$和反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图像，需分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别确定两个函数的图像所在象限，再对比选项排除错误答案。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
对于反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$，因为$-k＜0$，所以其图像位于第二、四象限；
对于一次函数$y=kx-k$，斜率$k＞0$，截距为$-k＜0$，因此一次函数图像经过第一、三、四象限；
观察选项：A选项反比例函数在第一、三象限（不符合），C选项反比例函数在第一、三象限（不符合），D选项一次函数截距为正（不符合），仅B选项符合。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$中，$-k＞0$，图像位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，截距$-k＞0$，图像经过第一、二、四象限；
此时A选项一次函数截距为负（不符合），无符合选项。
综上，只有B选项正确。
【答案】B
【知识点】反比例函数图像、一次函数图像
【点评】本题结合一次函数与反比例函数的图像性质，通过分类讨论$k$的正负来判断图像位置，是函数图像题的典型考法，需掌握两类函数的图像特征。
【难度系数】0.5
【解析】分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
对于反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$，因为$-k＜0$，所以其图像位于第二、四象限；
对于一次函数$y=kx-k$，斜率$k＞0$，截距为$-k＜0$，因此一次函数图像经过第一、三、四象限；
观察选项：A选项反比例函数在第一、三象限（不符合），C选项反比例函数在第一、三象限（不符合），D选项一次函数截距为正（不符合），仅B选项符合。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$中，$-k＞0$，图像位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，截距$-k＞0$，图像经过第一、二、四象限；
此时A选项一次函数截距为负（不符合），无符合选项。
综上，只有B选项正确。
【答案】B
【知识点】反比例函数图像、一次函数图像
【点评】本题结合一次函数与反比例函数的图像性质，通过分类讨论$k$的正负来判断图像位置，是函数图像题的典型考法，需掌握两类函数的图像特征。
【难度系数】0.5
7. 如图,直线 $y=x-2$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,与 $x$ 轴交于点 $B$,与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A$,连接 $OA$. 若 $S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$,则 $k$ 的值为（
A.2
B.3
C.4
D.6
B
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
B 解析:$\because$直线$y=x-2$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$B$,$\therefore C(0,-2)$,$B(2,0)$,$\therefore S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}×2×2=2$.$\because S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$,$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}S_{△ BOC}=1$,$\therefore \dfrac{1}{2}×2× y_A=1$,$\therefore y_A=1$.把$y=1$代入$y=x-2$,得$1=x-2$,解得$x=3$,$\therefore A(3,1)$.$\because$反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象过点$A$,$\therefore k=3×1=3$.
解析
【分析】
首先，我们先求出直线$y=x-2$与坐标轴的交点B、C的坐标，计算$△ BOC$的面积；再根据两个三角形的面积比，得到$△ AOB$的面积，结合$△ AOB$的底OB的长度，求出点A的纵坐标；接着将点A的纵坐标代入直线方程，得到点A的横坐标；最后利用反比例函数的性质，代入点A的坐标计算出k的值。
【解析】
1. 求直线$y=x-2$与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=-2$，故点$C(0,-2)$；
当$y=0$时，$0=x-2$，解得$x=2$，故点$B(2,0)$。
2. 计算$△ BOC$的面积：
$OB=2$，$OC=2$，则$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × OC = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
3. 根据面积比求$△ AOB$的面积：
由$S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$，得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × S_{△ BOC}=1$。
4. 求点A的纵坐标：
$△ AOB$中，底$OB=2$，高为点A的纵坐标$y_A$，则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × 2 × y_A = y_A$，故$y_A=1$。
5. 求点A的横坐标：
点A在直线$y=x-2$上，将$y=1$代入得$1=x-2$，解得$x=3$，故点$A(3,1)$。
6. 计算k的值：
点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得$k=3 × 1=3$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点、反比例函数k的确定、三角形面积计算
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数，考查坐标与图形面积的转换，解题关键是通过面积关系求出点A的坐标，属于基础题型，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
首先，我们先求出直线$y=x-2$与坐标轴的交点B、C的坐标，计算$△ BOC$的面积；再根据两个三角形的面积比，得到$△ AOB$的面积，结合$△ AOB$的底OB的长度，求出点A的纵坐标；接着将点A的纵坐标代入直线方程，得到点A的横坐标；最后利用反比例函数的性质，代入点A的坐标计算出k的值。
【解析】
1. 求直线$y=x-2$与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=-2$，故点$C(0,-2)$；
当$y=0$时，$0=x-2$，解得$x=2$，故点$B(2,0)$。
2. 计算$△ BOC$的面积：
$OB=2$，$OC=2$，则$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × OC = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
3. 根据面积比求$△ AOB$的面积：
由$S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$，得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × S_{△ BOC}=1$。
4. 求点A的纵坐标：
$△ AOB$中，底$OB=2$，高为点A的纵坐标$y_A$，则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × 2 × y_A = y_A$，故$y_A=1$。
5. 求点A的横坐标：
点A在直线$y=x-2$上，将$y=1$代入得$1=x-2$，解得$x=3$，故点$A(3,1)$。
6. 计算k的值：
点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得$k=3 × 1=3$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数交点、反比例函数k的确定、三角形面积计算
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数，考查坐标与图形面积的转换，解题关键是通过面积关系求出点A的坐标，属于基础题型，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
8. 如图,将边长为 4 的等边三角形 $AOB$ 放置在平面直角坐标系中. 若点 $B$ 绕点 $A$ 旋转 $30°$ 后,恰好落在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上,则 $k=$
$4\sqrt{3}-8$或$8$
.答案
$4\sqrt{3}-8$或$8$ 解析:若点$B$绕点$A$顺时针旋转$30°$得到$B'$,如图,连接$AB'$,交$OB$于点$H$,$\because △ AOB$是等边三角形,$\therefore ∠ OAB=60°$,$\because ∠ BAB'=30°$,$\therefore ∠ OAB'=∠ BAB'$,$\therefore AH⊥ OB$,$OH=BH=2$,$\therefore AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,$\because AB'=AB=4$,$\therefore HB'=4-2\sqrt{3}$,$\therefore B'(2,2\sqrt{3}-4)$,$\because$点$B'$在$y=\dfrac{k}{x}$上,$\therefore k=2×(2\sqrt{3}-4)=4\sqrt{3}-8$;若点$B$绕点$A$逆时针旋转$30°$得到$B''$,如图,连接$AB''$,过点$A$作$AM⊥ y$轴于点$M$,过点$B''$作$B''N⊥ MA$交$MA$的延长线于点$N$,$\because ∠ OAB=60°$,$∠ BAB''=30°$,$\therefore ∠ OAB''=90°$,$\therefore ∠ B''AN+∠ OAM=90°$,$\because ∠ AMO=∠ N=90°$,$\therefore ∠ AOM+∠ OAM=90°$,$\therefore ∠ AOM=∠ B''AN$,$\because AO=AB=AB''$,$\therefore △ AMO≌△ B''NA(\mathrm{AAS})$,$\therefore AM=B''N=2$,$AN=OM=2\sqrt{3}$,$\therefore MN=AM+AN=2+2\sqrt{3}$,$\therefore B''(2+2\sqrt{3},2\sqrt{3}-2)$,$\because$点$B''$在$y=\dfrac{k}{x}$上,$\therefore k=(2+2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-2)=8$.综上所述,满足条件的$k$的值为$4\sqrt{3}-8$或$8$.
解析
【分析】
首先确定边长为4的等边三角形AOB各点坐标：O(0,0)，B(4,0)，A(2,2√3)。点B绕点A旋转30°分为顺时针、逆时针两种情况，需分别求出旋转后点的坐标，再代入反比例函数y=k/x，利用k=xy计算对应k值，最后综合两种情况结果。
【解析】
1. 确定等边三角形AOB的坐标：
∵△AOB是边长为4的等边三角形，
∴O(0,0)，B(4,0)，A的横坐标为OB中点的横坐标2，纵坐标为等边三角形的高：√(4²-2²)=2√3，即A(2,2√3)。
2. 情况1：点B绕点A顺时针旋转30°得到B'
连接AB'，
∵AB=AB'=4，∠BAB'=30°，∠OAB=60°，
∴∠OAB'=∠OAB - ∠BAB'=30°，故AB'与OB的交点H平分∠OAB，AH⊥OB，OH=BH=2，AH=2√3。
∴HB'=AB' - AH=4 - 2√3，B'的坐标为(2, 2√3 - 4)，代入y=k/x得：k=2×(2√3 - 4)=4√3 - 8。
3. 情况2：点B绕点A逆时针旋转30°得到B''
∵∠BAB''=30°，∠OAB=60°，
∴∠OAB''=90°，即OA⊥AB''。过A作AM⊥y轴于M，过B''作B''N⊥MA延长线于N，易证△AMO≌△B''NA（AAS），得AM=2，OM=2√3，故AN=OM=2√3，B''N=AM=2，因此B''的横坐标为2+2√3，纵坐标为2√3 - 2，代入y=k/x得：k=(2+2√3)(2√3 - 2)=8。
综上，满足条件的k值为4√3 -8或8。
【答案】
4√3 -8或8
【知识点】
反比例函数、图形旋转、等边三角形性质
【点评】
本题结合等边三角形性质与图形旋转，需分两种情况讨论点的位置，关键是准确计算旋转后点的坐标，考查分类讨论思想和坐标与函数的结合应用。
【难度系数】
0.5
首先确定边长为4的等边三角形AOB各点坐标：O(0,0)，B(4,0)，A(2,2√3)。点B绕点A旋转30°分为顺时针、逆时针两种情况，需分别求出旋转后点的坐标，再代入反比例函数y=k/x，利用k=xy计算对应k值，最后综合两种情况结果。
【解析】
1. 确定等边三角形AOB的坐标：
∵△AOB是边长为4的等边三角形，
∴O(0,0)，B(4,0)，A的横坐标为OB中点的横坐标2，纵坐标为等边三角形的高：√(4²-2²)=2√3，即A(2,2√3)。
2. 情况1：点B绕点A顺时针旋转30°得到B'
连接AB'，
∵AB=AB'=4，∠BAB'=30°，∠OAB=60°，
∴∠OAB'=∠OAB - ∠BAB'=30°，故AB'与OB的交点H平分∠OAB，AH⊥OB，OH=BH=2，AH=2√3。
∴HB'=AB' - AH=4 - 2√3，B'的坐标为(2, 2√3 - 4)，代入y=k/x得：k=2×(2√3 - 4)=4√3 - 8。
3. 情况2：点B绕点A逆时针旋转30°得到B''
∵∠BAB''=30°，∠OAB=60°，
∴∠OAB''=90°，即OA⊥AB''。过A作AM⊥y轴于M，过B''作B''N⊥MA延长线于N，易证△AMO≌△B''NA（AAS），得AM=2，OM=2√3，故AN=OM=2√3，B''N=AM=2，因此B''的横坐标为2+2√3，纵坐标为2√3 - 2，代入y=k/x得：k=(2+2√3)(2√3 - 2)=8。
综上，满足条件的k值为4√3 -8或8。
【答案】
4√3 -8或8
【知识点】
反比例函数、图形旋转、等边三角形性质
【点评】
本题结合等边三角形性质与图形旋转，需分两种情况讨论点的位置，关键是准确计算旋转后点的坐标，考查分类讨论思想和坐标与函数的结合应用。
【难度系数】
0.5
9. 已知点$A(m,y_{1})$、$B(m+2,y_{2})$在反比例函数$y=\dfrac{k^{2}+2}{x}$($k$为常数)的图象上，且$y_{1}＜ y_{2}$，则$m$的取值范围是
$-2＜m＜0$
.答案
$-2＜m＜0$ 解析:$\because k^2+2≥2＞0$,$\therefore$反比例函数$y=\dfrac{k^2+2}{x}$($k$为常数)的图象位于第一、三象限,且在每一象限内,y 随 x 的增大而减小.$\because$点$A(m,y_1)$、$B(m+2,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k^2+2}{x}$($k$为常数)的图象上,且$y_1＜y_2$,$\therefore$点$A(m,y_1)$、$B(m+2,y_2)$不在同一象限,则点$B(m+2,y_2)$在第一象限,点$A(m,y_1)$在第三象限,$\therefore \begin{cases} m＜0, \\ m+2＞0, \end{cases}$解得$-2＜m＜0$.
解析
【分析】
先确定反比例函数的比例系数符号，判断其图象所在象限及增减性；再结合函数值大小关系，分析两点所在象限，进而转化为关于m的不等式组求解。
【解析】
1. 判断反比例函数的性质：
因为k²≥0，所以k²+2≥2＞0，因此反比例函数$y=\dfrac{k^2+2}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
2. 分析两点所在象限：
若A、B在同一象限，由x=m+2＞m，根据增减性应有y₂＜y₁，与题目中y₁＜y₂矛盾，故A、B不在同一象限。
又第一象限内点的y值为正，第三象限内点的y值为负，y₁＜y₂说明A在第三象限，B在第一象限，因此：
$\begin{cases} m＜0 \\ m+2＞0 \end{cases}$
3. 解不等式组：
解m+2＞0得m＞-2，结合m＜0，得-2＜m＜0。
【答案】
$-2＜m＜0$
【知识点】
反比例函数的性质；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质，核心是根据函数值大小判断两点所在象限，转化为不等式组求解，需掌握反比例函数的象限分布及增减性，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
先确定反比例函数的比例系数符号，判断其图象所在象限及增减性；再结合函数值大小关系，分析两点所在象限，进而转化为关于m的不等式组求解。
【解析】
1. 判断反比例函数的性质：
因为k²≥0，所以k²+2≥2＞0，因此反比例函数$y=\dfrac{k^2+2}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
2. 分析两点所在象限：
若A、B在同一象限，由x=m+2＞m，根据增减性应有y₂＜y₁，与题目中y₁＜y₂矛盾，故A、B不在同一象限。
又第一象限内点的y值为正，第三象限内点的y值为负，y₁＜y₂说明A在第三象限，B在第一象限，因此：
$\begin{cases} m＜0 \\ m+2＞0 \end{cases}$
3. 解不等式组：
解m+2＞0得m＞-2，结合m＜0，得-2＜m＜0。
【答案】
$-2＜m＜0$
【知识点】
反比例函数的性质；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质，核心是根据函数值大小判断两点所在象限，转化为不等式组求解，需掌握反比例函数的象限分布及增减性，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,矩形$ABCD$的两边$AB$、$BC$的长分别为3、8,$C$、$D$在$y$轴上,$E$是$AD$的中点,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象经过点$E$,与$BC$交于点$F$,且$CF-BE=1$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)在$y$轴上找一点$P$,使得$S_{△ CEP}=\dfrac{2}{3}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$,求此时点$P$的坐标.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)在$y$轴上找一点$P$,使得$S_{△ CEP}=\dfrac{2}{3}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$,求此时点$P$的坐标.
答案
(1)$\because E$是$AD$的中点,$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AD=4$.在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because CF-BE=1$,$\therefore CF=6$,$\therefore$点$F$的横坐标为$-6$.设$F(-6,m)$,则$E(-4,m+3)$.$\because$点$E$、$F$都在反比例函数的图象上,$\therefore -6m=-4(m+3)$,解得$m=6$,$\therefore F(-6,6)$,$\therefore k=-36$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{36}{x}$.(2)由(1)可得$C(0,6)$.$\because S_{△ CEP}=\dfrac{2}{3}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$,$\therefore \dfrac{1}{2}CP×4=\dfrac{2}{3}×8×3$,$\therefore CP=8$,$\therefore$点$P$的坐标为$(0,14)$或$(0,-2)$.
解析
【分析】
第(1)问：先利用矩形性质得到AD=8，E是AD中点则AE=4，在Rt△ABE中用勾股定理算出BE；再根据CF-BE=1求出CF，确定F的横坐标；设F、E的坐标（利用矩形边长关系，E与F的纵坐标差为AB=3，横坐标差为CF=6），因两点在同一反比例函数上，故k值相等，列方程求解得k，进而得到反比例函数表达式。
第(2)问：先计算矩形ABCD的面积，再根据△CEP的面积公式，结合P在y轴上的特点，以CP为底、E到y轴的水平距离为高，列方程求出CP长度，再结合C点坐标得到P点的两个可能坐标。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=8，AB=CD=3，∠A=90°。
∵ E是AD中点，
∴ AE=½AD=4。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=√(AB²+AE²)=√(3²+4²)=5。
∵ CF - BE=1，
∴ CF=5+1=6。
∵ 矩形中BC平行于x轴，CD平行于y轴，
∴ 点F的横坐标为-6，设F(-6, m)，则点E的坐标为(-4, m+3)（因AB=3，E比F纵坐标高3）。
∵ E、F在反比例函数y=k/x上，
∴ k=-6m=-4(m+3)，
解得：m=6，
∴ k=-6×6=-36，
故反比例函数表达式为y=-36/x。
(2) 由(1)知，C点坐标为(0,6)，矩形ABCD的面积=AB×BC=3×8=24。
∵ S△CEP=⅔S矩形ABCD，
∴ S△CEP=⅔×24=16。
∵ P在y轴上，设P(0, p)，则CP=|p - 6|，△CEP中，以CP为底，高为E到y轴的水平距离（即E的横坐标绝对值4），
∴ S△CEP=½×CP×4=2CP，
∴ 2CP=16，解得CP=8，
∴ |p -6|=8，即p-6=8或p-6=-8，
解得p=14或p=-2，
故点P的坐标为(0,14)或(0,-2)。
【答案】
(1) y=-36/x；(2) (0,14)或(0,-2)
【知识点】
反比例函数表达式、矩形性质、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与矩形结合的综合题，需灵活运用矩形边长关系确定点坐标，利用反比例函数k的性质（同一函数上点的横纵坐标乘积相等）求解；第二问需注意点在y轴上的位置有两种情况，避免漏解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
第(1)问：先利用矩形性质得到AD=8，E是AD中点则AE=4，在Rt△ABE中用勾股定理算出BE；再根据CF-BE=1求出CF，确定F的横坐标；设F、E的坐标（利用矩形边长关系，E与F的纵坐标差为AB=3，横坐标差为CF=6），因两点在同一反比例函数上，故k值相等，列方程求解得k，进而得到反比例函数表达式。
第(2)问：先计算矩形ABCD的面积，再根据△CEP的面积公式，结合P在y轴上的特点，以CP为底、E到y轴的水平距离为高，列方程求出CP长度，再结合C点坐标得到P点的两个可能坐标。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=8，AB=CD=3，∠A=90°。
∵ E是AD中点，
∴ AE=½AD=4。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=√(AB²+AE²)=√(3²+4²)=5。
∵ CF - BE=1，
∴ CF=5+1=6。
∵ 矩形中BC平行于x轴，CD平行于y轴，
∴ 点F的横坐标为-6，设F(-6, m)，则点E的坐标为(-4, m+3)（因AB=3，E比F纵坐标高3）。
∵ E、F在反比例函数y=k/x上，
∴ k=-6m=-4(m+3)，
解得：m=6，
∴ k=-6×6=-36，
故反比例函数表达式为y=-36/x。
(2) 由(1)知，C点坐标为(0,6)，矩形ABCD的面积=AB×BC=3×8=24。
∵ S△CEP=⅔S矩形ABCD，
∴ S△CEP=⅔×24=16。
∵ P在y轴上，设P(0, p)，则CP=|p - 6|，△CEP中，以CP为底，高为E到y轴的水平距离（即E的横坐标绝对值4），
∴ S△CEP=½×CP×4=2CP，
∴ 2CP=16，解得CP=8，
∴ |p -6|=8，即p-6=8或p-6=-8，
解得p=14或p=-2，
故点P的坐标为(0,14)或(0,-2)。
【答案】
(1) y=-36/x；(2) (0,14)或(0,-2)
【知识点】
反比例函数表达式、矩形性质、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与矩形结合的综合题，需灵活运用矩形边长关系确定点坐标，利用反比例函数k的性质（同一函数上点的横纵坐标乘积相等）求解；第二问需注意点在y轴上的位置有两种情况，避免漏解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
