1. 如图,半圆$O$的直径$AB=10$,弦$AC=6$,$AD$平分$∠ BAC$,则$AD$的长为 （）

A.$3\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$12$

1. C 解析:如图,过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,过点 O 作 $OF⊥ AC$ 于点 F,连接 OD,则 $∠ DEO=∠ OFA=90°$,
$AF=\frac{1}{2}AC$. 因为 $AC=6$,所以 $AF=3$. 因为 $AB=10$,所以 $DO = OA = \frac{1}{2} AB = 5$, 所以 $OF = \sqrt{OA^2-AF^2}=4$. 因为 AD 平分 $∠ BAC$, 所以 $∠ BAD = ∠ CAD$. 因为 $OA = OD$, 所以 $∠ BAD = ∠ ODA$, 所以 $∠ CAD = ∠ ODA$, 所以 $AC// OD$, 所以 $∠ DOE = ∠ OAF$. 在 $△ DOE$ 和 $△ OAF$ 中,
$\begin{cases}∠ DEO=∠ OFA,\\∠ DOE=∠ OAF,\\DO=OA,\end{cases}$所以$△ DOE≌△ OAF$,所以$OE=AF=3$,$DE=OF=4$,所以$AE=OA+OE=8$,所以$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=4\sqrt{5}$.

2. (2026·江苏无锡期末)如图,在$\odot O$中,$AB$是直径,点$C$,$D$,$E$在圆上,$AC=2$,$AD=6$,$AE=8$,$AB=10$. 给出下列结论:
① $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$;
② $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$;
③ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AE}$;
④ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$.
其中正确的个数是（）

A.4
B.3
C.2
D.1

2. B 解析:连接 CE. 因为 $AC=2$,$AE=8$,且 $CE＞AE-AC$,所以 $CE＞6$. 因为 $AD=6$,所以 $CE＞AD$,所以 $\overset{\frown}{CE}＞\overset{\frown}{AD}$,故①错误;连接 BD. 因为 AB 是$\odot O$的直径,所以 $∠ ADB=90°$. 因为 $AB=10$,所以 $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=8$,所以 $AE=BD$,所以 $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$,故②正确;③显然正确;$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AB}$,故④正确.综上所述,其中正确结论的个数是 3.

3. 新素养 几何直观 如图,以面积为 20 的 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的斜边 $AB$ 为直径作 $\odot O,∠ ACB$ 的平分线交$\odot O$ 于点 $D$,连接 $AD,BD$. 若$\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,则 $AC+BC=$.

3. $4\sqrt{15}$ 解析:如图,过点 O 作 $OM⊥ CD$ 于点 M,过点 C 作 $CN⊥ AB$ 于点 N,连接 OC,OD,则 $∠ OMC=∠ ONC=90°$,$CM=\frac{1}{2}CD$. 因为 $\frac{CD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以设 $AB=2x$,则 $CD=\sqrt{3}x$,所以 $CM=\frac{\sqrt{3}}{2}x$. 因为 $OC=\frac{1}{2}AB=x$,所以 $OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\frac{1}{2}x$,所以 $OM=\frac{1}{2}OC$,所以 $∠ OCM=30°$. 因为 $∠ ACB=90°$,$CD$ 平分 $∠ ACB$,所以 $∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$,所以 $∠ OCA=∠ ACD-∠ OCM=15°$. 因为 $OA=OC$,所以 $∠ OAC=∠ OCA=15°$,所以 $∠ BOC=2∠ OAC=30°$,所以 $CN=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}x$,所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CN=\frac{1}{2}x^2$. 又 $S_{△ ABC}=20$,所以 $\frac{1}{2}x^2=20$,解得 $x=2\sqrt{10}$(负值舍去),所以 $AB=4\sqrt{10}$. 因为 $AC^2+BC^2=AB^2$,所以 $AC^2+BC^2=160$. 因为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$,所以 $AC· BC=40$,所以 $(AC+BC)^2=AC^2+BC^2+2AC· BC=240$,所以 $AC+BC=4\sqrt{15}$(负值舍去).

4. 在平面直角坐标系中,将点$A(-3,3)$绕$x$轴上的点$G$顺时针旋转$90°$后得到点$A'$,当点$A'$恰好落在以原点$O$为圆心,2 为半径的圆上时,点$G$的坐标为.

4. $(-3+\sqrt{2},0)$或$(-3-\sqrt{2},0)$ 解析:设 $G(m,0)$,连接 $OA'$,过点 $A$ 作 $AM⊥ x$ 轴于点 $M$,过点 $A'$ 作 $A'N⊥ x$ 轴于点 $N$,则 $∠ AMG=∠ GNA'=90°$. 因为 $A(-3,3)$,所以 $OM=3$,$AM=3$. 由旋转的性质,得 $GA'=AG$,$∠ AGA'=90°$. 因为点 $A'$ 在以原点 $O$ 为圆心,2 为半径的圆上,所以 $OA'=2$. 易知点 $G$ 在 $x$ 轴负半轴上,所以 $OG=-m$. 分类讨论如下:① 如图①,当点 $G$ 在点 $M$ 右侧时,$GM=OM-OG=3+m$. 因为 $∠ AGM+∠ A'GN=180°-∠ AGA'=90°$,$∠ AGM+∠ GAM=90°$,所以 $∠ A'GN=∠ GAM$. 在 $△ A'NG$ 和 $△ GMA$ 中,$\begin{cases}∠ GNA'=∠ AMG,\\∠ A'GN=∠ GAM,\\GA'=AG,\end{cases}$所以 $△ A'NG≌△ GMA$,所以 $A'N=GM=3+m$,$GN=AM=3$,所以 $ON=GN-OG=3+m$. 因为 $ON^2+A'N^2=OA'^2$,所以 $(3+m)^2+(3+m)^2=4$,解得 $m=-3+\sqrt{2}$($m=-3-\sqrt{2}$不合题意,舍去),所以 $G(-3+\sqrt{2},0)$;② 如图②,当点 $G$ 在点 $M$ 左侧时,$GM=OG-OM=-m-3$. 因为 $∠ AGM+∠ A'GN=90°$,$∠ AGM+∠ GAM=90°$,所以 $∠ A'GN=∠ GAM$. 在 $△ A'NG$ 和 $△ GMA$ 中,$\begin{cases}∠ GNA'=∠ AMG,\\∠ A'GN=∠ GAM,\\GA'=AG,\end{cases}$所以 $△ A'NG≌△ GMA$,所以 $A'N=GM=-m-3$,$GN=AM=3$,所以 $ON=OG-GN=-m-3$. 因为 $ON^2+A'N^2=OA'^2$,所以 $(-m-3)^2+(-m-3)^2=4$,解得 $m=-3-\sqrt{2}$($m=-3+\sqrt{2}$不合题意,舍去),所以 $G(-3-\sqrt{2},0)$. 综上所述,点 $G$ 的坐标为$(-3+\sqrt{2},0)$或$(-3-\sqrt{2},0)$.

5. (2026·江苏镇江期末)如图，$△ ABC$ 的高 $BD$，$CE$ 相交于点 $F$，$M$ 是 $BC$ 的中点，$\odot O$ 是 $△ ABC$的外接圆.
(1) 点 $B$，$C$，$D$，$E$ 是否在以点 $M$ 为圆心的同一个圆上？请说明理由；
(2) 若 $AB=8$，$CF=6$，求 $△ ABC$ 外接圆的半径.

5. (1) 点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上. 理由如下:连接 DM,EM. 因为 BD,CE 是$△ ABC$的高,所以 $BD⊥ AC$,$CE⊥ AB$,所以 $∠ BDC=∠ BEC=90°$. 因为 M 是 BC 的中点,所以 $DM=EM=BM=CM=\frac{1}{2}BC$,所以点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.
(2) 如图,连接 AF 并延长,交 BC 于点 G,作$\odot O$的直径 BH,连接 AH,CH,则$∠ BAH=∠ BCH=90°$,所以 $AH⊥ AB$,$CH⊥ BC$. 因为 $CE⊥ AB$,所以 $AH// CE$. 因为 BD,CE 是$△ ABC$的高,所以 AG 是$△ ABC$的高,所以 $AG⊥ BC$,所以 $AG// CH$,所以四边形 AFCH 是平行四边形,所以 $AH=CF=6$. 因为 $AB=8$,所以 $BH=\sqrt{AB^2+AH^2}=10$,所以 $OB=\frac{1}{2}BH=5$. 故$△ ABC$外接圆的半径为 5.