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5. (2026·江苏连云港期末)如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,A 是一次函数$y=\dfrac{1}{2}x$的图象上一点,且在第一象限内,过点 A 作 x 轴的垂线 l,B 是 l 上一点(点 B 在点 A 上方),在 AB 的右侧以 AB 为斜边作等腰直角三角形ABC,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点 B,C.若$△ OAB$的面积是 6,则$△ ABC$的面积是
3
.答案
5. 3 解析:过点 C 作$CD⊥ y$轴于点 D,交 AB 于点E. 因为$AB⊥ x$轴,所以$CD⊥ AB$. 因为$△ ABC$是等腰直角三角形,AB 是斜边,所以$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$. 设$AB=2a$,则$CE=AE=BE=a$. 设$A(m,\frac{1}{2}m)$,则$B(m,\frac{1}{2}m+2a),C(m+a,\frac{1}{2}m+a)$.因为点 B,C 都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,所以$m(\frac{1}{2}m+2a)=(m+a)(\frac{1}{2}m+a)$. 整理,得$am=2a^2$. 因为$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· DE=am=6$,所以$2a^2=6$,所以$a^2=3$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE=a^2=3$. 故$△ ABC$的面积是3.
6. 新素养 推理能力 如图,A,B 是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上位于第一象限内不同的两点,直线 OA 交函数图象另一支于点$A'$,连接$AB,A'B$.
(1) 若点 A 的坐标为$(2,6)$,点 B 的横坐标为 6,求证:$∠ ABA'=90°$;
(2) 若$∠ ABA'=90°$恒成立,试猜想点 A 与点 B 横坐标之间满足的数量关系,并说明理由.
(1) 若点 A 的坐标为$(2,6)$,点 B 的横坐标为 6,求证:$∠ ABA'=90°$;
(2) 若$∠ ABA'=90°$恒成立,试猜想点 A 与点 B 横坐标之间满足的数量关系,并说明理由.
答案
6. (1) 把点$A(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$\frac{k}{2}=6$,解得$k=12$. 在$y=\frac{12}{x}$中,令$x=6$,得$y=2$,所以$B(6,2)$,所以$AB^2=(6-2)^2+(2-6)^2=32$. 由对称性,得$A'(-2,-6)$,所以$A'A^2=(2+2)^2+(6+6)^2=160$,$A'B^2=(6+2)^2+(2+6)^2=128$,所以$AB^2+A'B^2=A'A^2$,所以$△ A'AB$为直角三角形,且$∠ ABA'=90°$.
(2) 点 A 与点 B 横坐标之积为 k. 理由如下:设$A(m,\frac{k}{m}),B(n,\frac{k}{n})$,则$AB^2=(m-n)^2+(\frac{k}{m}-\frac{k}{n})^2=m^2+n^2+\frac{k^2}{m^2}+\frac{k^2}{n^2}-2mn-\frac{2k^2}{mn}$. 由对称性,得$A'(-m,-\frac{k}{m})$,所以$A'A^2=(m+m)^2+(\frac{k}{m}+\frac{k}{m})^2=4m^2+\frac{4k^2}{m^2}$,$A'B^2=(n+m)^2+(\frac{k}{n}+\frac{k}{m})^2=m^2+n^2+\frac{k^2}{n^2}+\frac{k^2}{m^2}+2mn+\frac{2k^2}{mn}$. 因为$∠ ABA'=90°$恒成立,所以$AB^2+A'B^2=A'A^2$,所以$m^2+n^2+\frac{k^2}{m^2}+\frac{k^2}{n^2}-2mn-\frac{2k^2}{mn}+m^2+n^2+\frac{k^2}{n^2}+\frac{k^2}{m^2}+2mn+\frac{2k^2}{mn}=4m^2+\frac{4k^2}{m^2}$,所以$n^2+\frac{k^2}{n^2}=m^2+\frac{k^2}{m^2}$,所以$\frac{k^2(m^2-n^2)}{m^2n^2}=m^2-n^2$. 因为$m^2≠ n^2$,所以$m^2-n^2≠0$,所以$\frac{k^2}{m^2n^2}=1$. 因为$k＞0,m＞0,n＞0$,所以$k=mn$. 故点 A 与点 B 横坐标之积为 k.
(2) 点 A 与点 B 横坐标之积为 k. 理由如下:设$A(m,\frac{k}{m}),B(n,\frac{k}{n})$,则$AB^2=(m-n)^2+(\frac{k}{m}-\frac{k}{n})^2=m^2+n^2+\frac{k^2}{m^2}+\frac{k^2}{n^2}-2mn-\frac{2k^2}{mn}$. 由对称性,得$A'(-m,-\frac{k}{m})$,所以$A'A^2=(m+m)^2+(\frac{k}{m}+\frac{k}{m})^2=4m^2+\frac{4k^2}{m^2}$,$A'B^2=(n+m)^2+(\frac{k}{n}+\frac{k}{m})^2=m^2+n^2+\frac{k^2}{n^2}+\frac{k^2}{m^2}+2mn+\frac{2k^2}{mn}$. 因为$∠ ABA'=90°$恒成立,所以$AB^2+A'B^2=A'A^2$,所以$m^2+n^2+\frac{k^2}{m^2}+\frac{k^2}{n^2}-2mn-\frac{2k^2}{mn}+m^2+n^2+\frac{k^2}{n^2}+\frac{k^2}{m^2}+2mn+\frac{2k^2}{mn}=4m^2+\frac{4k^2}{m^2}$,所以$n^2+\frac{k^2}{n^2}=m^2+\frac{k^2}{m^2}$,所以$\frac{k^2(m^2-n^2)}{m^2n^2}=m^2-n^2$. 因为$m^2≠ n^2$,所以$m^2-n^2≠0$,所以$\frac{k^2}{m^2n^2}=1$. 因为$k＞0,m＞0,n＞0$,所以$k=mn$. 故点 A 与点 B 横坐标之积为 k.
7. (2026·江苏连云港期末)如图,一次函数$y=kx+4$的图象与$x$轴交于点$B$,与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$($x＞0$)的图象交于点$A$,点$A$的横坐标为$2$,$C(-1,3)$是直线$AB$上一点,过点$C$作$x$轴的平行线,与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(x＞0)$的图象交于点$D$,与$y$轴交于点$E$,连接$OD$.
(1) 求反比例函数的表达式;
(2) 若直线$CD$上存在点$G$,它到直线$OD$的距离与到$y$轴的距离相等,求点$G$的坐标.
(1) 求反比例函数的表达式;
(2) 若直线$CD$上存在点$G$,它到直线$OD$的距离与到$y$轴的距离相等,求点$G$的坐标.
答案
7. (1) 把点$C(-1,3)$代入$y=kx+4$,得$-k+4=3$,解得$k=1$,所以直线 AB 的函数表达式为$y=x+4$. 在$y=x+4$中,令$x=2$,得$y=6$,所以$A(2,6)$. 把点$A(2,6)$代入$y=\frac{m}{x}$,得$\frac{m}{2}=6$,解得$m=12$. 故反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$.
(2) 连接 OG,过点 G 作$GM⊥ OD$于点 M,则$∠ GMO=∠ GMD=90°$. 因为$CD// x$轴,所以$CD⊥ OE$,所以$∠ OEC=∠ OED=90°$. 因为$C(-1,3)$,所以$E(0,3)$,所以$OE=3$. 在$y=\frac{12}{x}$中,令$y=3$,得$3=\frac{12}{x}$,解得$x=4$,所以$D(4,3)$,所以$DE=4$,所以$OD=\sqrt{DE^2+OE^2}=5$. 在$\mathrm{Rt}△ GMO$和$\mathrm{Rt}△ GEO$中,$\begin{cases} OG=OG,\\ GM=GE, \end{cases}$所以$\mathrm{Rt}△ GMO≌\mathrm{Rt}△ GEO$,所以$OM=OE=3$. 设$GM=GE=a$. 分类讨论如下:① 当点 G 在第一象限时,$DM=OD-OM=2$,$DG=DE-GE=4-a$. 因为$GM^2+DM^2=DG^2$,所以$a^2+2^2=(4-a)^2$,解得$a=\frac{3}{2}$,所以$GE=\frac{3}{2}$,所以$G(\frac{3}{2},3)$;② 当点 G 在第二象限时,$DM=OD+OM=8$,$DG=DE+GE=4+a$. 同理,得$a^2+8^2=(4+a)^2$,解得$a=6$,所以$GE=6$,所以$G(-6,3)$. 综上所述,点 G 的坐标为$(\frac{3}{2},3)$或$(-6,3)$.
(2) 连接 OG,过点 G 作$GM⊥ OD$于点 M,则$∠ GMO=∠ GMD=90°$. 因为$CD// x$轴,所以$CD⊥ OE$,所以$∠ OEC=∠ OED=90°$. 因为$C(-1,3)$,所以$E(0,3)$,所以$OE=3$. 在$y=\frac{12}{x}$中,令$y=3$,得$3=\frac{12}{x}$,解得$x=4$,所以$D(4,3)$,所以$DE=4$,所以$OD=\sqrt{DE^2+OE^2}=5$. 在$\mathrm{Rt}△ GMO$和$\mathrm{Rt}△ GEO$中,$\begin{cases} OG=OG,\\ GM=GE, \end{cases}$所以$\mathrm{Rt}△ GMO≌\mathrm{Rt}△ GEO$,所以$OM=OE=3$. 设$GM=GE=a$. 分类讨论如下:① 当点 G 在第一象限时,$DM=OD-OM=2$,$DG=DE-GE=4-a$. 因为$GM^2+DM^2=DG^2$,所以$a^2+2^2=(4-a)^2$,解得$a=\frac{3}{2}$,所以$GE=\frac{3}{2}$,所以$G(\frac{3}{2},3)$;② 当点 G 在第二象限时,$DM=OD+OM=8$,$DG=DE+GE=4+a$. 同理,得$a^2+8^2=(4+a)^2$,解得$a=6$,所以$GE=6$,所以$G(-6,3)$. 综上所述,点 G 的坐标为$(\frac{3}{2},3)$或$(-6,3)$.
