6. 新素养 推理能力 “求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动.
(1) 如图①,点$A$,$B$,$C$在$\odot O$上,点$D$在$\odot O$外,线段$AD$,$CD$分别与$\odot O$交于点$E$,$F$,试猜想:$∠ ABC+∠ ADC$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)$180°$,并证明你的猜想;
(2) 如图②,点$A$,$B$,$C$在$\odot O$上,点$D$在$\odot O$内,此时(1)中猜想的结论还成立吗? 若成立,请予以证明;若不成立,请写出你的结论并予以证明;
(3) 如图③,在四边形$ABCD$中,对角线$BD$的长为$6$,$∠ BAD=30°$,$∠ BCD=150°$,求四边形$ABCD$面积的最大值.

6. (1) $＜$ 证明:连接 CE. 因为四边形 ABCE 内接于$\odot O$,所以 $∠ ABC+∠ AEC=180°$. 因为 $∠ AEC=∠ DCE+∠ ADC$,所以 $∠ ADC＜∠ AEC$,所以 $∠ ABC+∠ ADC＜180°$.
(2) (1)中猜想的结论不成立. $∠ ABC+∠ ADC＞180°$. 证明如下:延长 AD 交$\odot O$于点 G,连接 CG. 因为四边形 ABCG 内接于$\odot O$,所以 $∠ ABC+∠ AGC=180°$. 因为 $∠ ADC=∠ DCG+∠ AGC$,所以 $∠ ADC＞∠ AGC$,所以 $∠ ABC+∠ ADC＞180°$.
(3) 因为 $∠ BAD=30°$,$∠ BCD=150°$,所以 $∠ BAD+∠ BCD=180°$,所以 A,B,C,D 四点共圆. 如图,作四边形 ABCD 的外接圆$\odot O$,连接 OB,OD,过点 A 作 $AM⊥ BD$ 于点 M,过点 C 作 $CN⊥ BD$ 于点 N. 因为 $OB=OD$,$∠ BOD=2∠ BAD=60°$,所以 $△ OBD$ 为等边三角形,所以 $OB=BD=6$,所以$\odot O$的直径为 $6×2=12$. 因为 $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AM$,$S_{△ CBD}=\frac{1}{2}BD· CN$,所以 $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ CBD}=\frac{1}{2}BD·(AM+CN)=3(AM+CN)$,所以当 $AM+CN$ 取最大值时,$S_{四边形ABCD}$取最大值. 结合图形可知,当 A,M,N,C 四点共线,且 AC 为$\odot O$的直径时,$AM+CN$取最大值,此时 $AM+CN=AC=12$,所以四边形 ABCD 面积的最大值为 $3×12=36$.