1. (2026·周口校级月考) 将两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DBE$按图①方式摆放,其中$∠ ACB=∠ DEB=90°$,$∠ A=∠ D=30°$,点$E$落在$AB$上,$DE$所在直线交$AC$所在直线于点$F$.
(1) 连接$BF$,求证:$CF=EF$.
(2) 若将图①中的$△ DBE$绕点$B$按顺时针方向旋转角$α$,且$0°＜α＜60°$,其他条件不变,如图②,求证:$AF+EF=DE$.
(3) 若将图①中的$△ DBE$绕点$B$按顺时针方向旋转角$β$,且$60°＜β＜180°$,其他条件不变,如图③,你认为(2)中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请直接写出$AF$,$EF$与$DE$之间的数量关系.

(1) 如图①,连接 $BF,\because \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DBE,\therefore BC=BE$, $∠ ACB=∠ FEB=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 和 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,
$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases} \therefore\mathrm{Rt}△ BCF≌\mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
(2) 如图②,连接 $BF,\because\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DBE,\therefore BC=BE$,$AC=DE$,$∠ ACB=∠ FEB=90°$.在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 和 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases} \therefore\mathrm{Rt}△ BCF≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}),\therefore EF=CF$,
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE.$
(3)不成立,关系为 $AF=DE+EF.$ 解析:如图③,连接 $BF$, $\because\mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DBE,\therefore BC=BE,AC=DE,∠ ACB=$ $∠ DEB=90°,\therefore△ BCF$ 和 $△ BEF$ 都是直角三角形. 在 $\mathrm{Rt}△ BCF$和 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases} \therefore\mathrm{Rt}△ BCF≌\mathrm{Rt}△ BEF$ $(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.\because AC=DE,\therefore AF=AC+FC=DE+EF.$

2. 已知:如图①,纸片 $\mathrm{Rt}△ ABC,∠ ACB=90°$.
(1) 将 $△ ABC$ 沿着 $MN$ 折叠,使得 $△ AMN$ 与 $△ CMN$ 重合,$MN$ 为折痕,展开后如图②所示.试判断 $MN$ 与 $BC$ 的位置关系,并说明理由.
(2) 在(1)的条件下,连接 $MC$,过点 $M$ 作 $ME⊥ BC$,点 $E$ 为垂足,如图③所示.
①将 $△ BME$ 沿 $ME$ 折叠,点 $B$ 能与点 $C$ 重合吗?请说明理由.
②图中与 $△ AMN$ 全等的三角形有个.
(3) 将图②中纸片沿 $MC$ 剪开得 $△ MBC$,如图④所示,将另一张纸片 $△ OPQ$ 与 $△ MBC$ 拼接,边 $OP$ 与边 $MC$ 恰好重合(点 $O$ 与点 $C$ 或点 $M$ 重合),若 $OP=OQ$,且 $△ MBC$ 的面积与 $△ OPQ$ 的面积相等,试探索 $∠ BMC$ 与 $∠ POQ$ 的数量关系,并说明理由.

(1) $MN// BC$. 理由: $\because△ AMN$ 与 $△ CMN$ 重合,$MN$ 为折痕,$\therefore MN⊥ AC.\because∠ A+∠ B=90°,∠ A+∠ AMN=90°$, $\therefore∠ B=∠ AMN,\therefore MN// BC.$
(2) ①点 $B$ 能与点 $C$ 重合.理由如下: $\because ME⊥ BC,MN⊥ AC$, $\therefore∠ CNM=∠ MEC=∠ MEB=90°$. 由(1) 可得 $MN// BC$, $\therefore∠ NMC=∠ MCE$.在 $△ CMN$ 和 $△ MCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ CNM=∠ MEC=90°,\\ ∠ NMC=∠ ECM,\\ MC=CM, \end{cases} \therefore△ CMN≌△ MCE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore EM=NC,MN=CE.\because△ AMN$ 与 $△ CMN$ 重合,$MN$ 为折痕, $\therefore∠ B=∠ AMN=∠ CMN$. 在 $△ BME$ 和 $△ MCN$ 中,
$\begin{cases} ∠ B=∠ CMN,\\ ∠ MEB=∠ CNM,\therefore△ BME≌△ MCN(\mathrm{AAS}),\therefore△ BME≌\\ ME=CN, \end{cases}$
$△ CME,\therefore$ 将 $△ BME$ 沿 $ME$ 折叠,点 $B$ 能与点 $C$ 重合.
② 3 解析: $\because△ AMN$ 与 $△ CMN$ 重合,$MN$ 为折痕,$\therefore△ AMN≌$ $△ CMN$. 由 ① 可得 $△ CMN≌△ MCE,△ BME≌△ MCN$, $\therefore△ AMN≌△ MCE,△ BME≌△ MAN$. 综上,题图③中与 $△ AMN$ 全等的三角形有 3 个.
(3) $∠ BMC=∠ POQ$ 或 $∠ POQ+∠ BMC=180°$. 理由如下: ①当 $△ OPQ$ 为锐角三角形时,如图①,过点 $B$ 作 $BG⊥ MC$ 于点 $G$,过点 $Q$ 作 $QH⊥ MC$ 于点 $H$,$\because S_{△ BMC}=S_{△ OPQ}$, $\therefore\frac{1}{2}MC· BG=\frac{1}{2}OP· QH.\because OP$ 与边 $MC$ 恰好重合,即 $OP=MC,\therefore BG=QH.\because MC=MB=OP=OQ,\therefore MB=OQ.$ $\because BG⊥ MC,QH⊥ MC,\therefore∠ BGM=∠ QHO=90°$.在$\mathrm{Rt}△ BGM$ 和$\mathrm{Rt}△ QHO$ 中,$\begin{cases} MB=OQ,\\ BG=QH, \end{cases} \therefore\mathrm{Rt}△ BGM≌\mathrm{Rt}△ QHO(\mathrm{HL}).$ $\therefore∠ BMG=∠ QOH$,即 $∠ BMC=∠ POQ.$

②当 $△ OPQ$ 为钝角三角形时,如图②,过点 $B$ 作 $BS⊥ CM$ 于点 $S$,过点 $Q$ 作 $QT⊥ PO$ 的延长线于点 $T$,$\because S_{△ BMC}=$ $S_{△ OPQ},\therefore\frac{1}{2}MC· BS=\frac{1}{2}OP· QT.\because OP$ 与边 $MC$ 恰好重合,即 $OP=MC,\therefore BS=QT.\because MC=MB=OP=OQ,\therefore MB=OQ.$ $\because BS⊥ CM,QT⊥ OP,\therefore∠ T=∠ BSM=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BSM$ 和 $\mathrm{Rt}△ QTO$ 中,$\begin{cases} MB=OQ,\\ BS=QT, \end{cases} \therefore\mathrm{Rt}△ BSM≌\mathrm{Rt}△ QTO(\mathrm{HL}).$ $\therefore∠ BMS=∠ QOT.\because∠ POQ+∠ QOT=180°,\therefore∠ POQ+$ $∠ BMS=180°$,即 $∠ POQ+∠ BMC=180°.$