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5.(2025·宁波镇海)估计$\sqrt{7}$的值在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
B
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
B
解析
【分析】要估计$\sqrt{7}$的取值范围，需利用算术平方根的性质：对于正实数$a$，若存在正整数$m$、$n$，满足$m^2 ＜ a ＜ n^2$（$m ＜ n$），则$\sqrt{a}$的值在$m$和$n$之间。解题时先找到与7相邻的两个完全平方数，再推导$\sqrt{7}$的区间。
【解析】因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4 ＜ 7 ＜ 9$，根据算术平方根的非负性，可得$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，所以$\sqrt{7}$的值在2和3之间，对应选项B。
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【点评】本题是无理数估算的基础题型，核心考查利用完全平方数确定无理数范围的方法，属于对算术平方根性质的基础应用，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4 ＜ 7 ＜ 9$，根据算术平方根的非负性，可得$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，所以$\sqrt{7}$的值在2和3之间，对应选项B。
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【点评】本题是无理数估算的基础题型，核心考查利用完全平方数确定无理数范围的方法，属于对算术平方根性质的基础应用，难度较低。
【难度系数】0.8
6.(2024·杭州拱墅)在$-\sqrt{2^2},(-\sqrt{2})^2,-(\sqrt{2})^2,0$四个数中,最大的数是 (
A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.0
B
)A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.0
答案
B
解析
【分析】要确定四个数中的最大值，需先依据平方根、平方的运算规则，分别计算每个选项对应数的具体值，再通过实数大小比较的方法找出最大的数。
【解析】分别计算四个数的数值：
1. 选项A：$-\sqrt{2^2}=-\sqrt{4}=-2$；
2. 选项B：$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$；
3. 选项C：$-(\sqrt{2})^2=-2$；
4. 选项D：$0$；
比较大小可得：$2＞0＞-2$，因此最大的数是选项B对应的数。
【答案】B
【知识点】平方根运算、实数大小比较
【点评】本题考查基础的平方根运算与实数大小比较，关键是注意运算顺序和符号的处理，避免因符号混淆出错，属于易掌握的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】分别计算四个数的数值：
1. 选项A：$-\sqrt{2^2}=-\sqrt{4}=-2$；
2. 选项B：$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$；
3. 选项C：$-(\sqrt{2})^2=-2$；
4. 选项D：$0$；
比较大小可得：$2＞0＞-2$，因此最大的数是选项B对应的数。
【答案】B
【知识点】平方根运算、实数大小比较
【点评】本题考查基础的平方根运算与实数大小比较，关键是注意运算顺序和符号的处理，避免因符号混淆出错，属于易掌握的基础题型。
【难度系数】0.8
7.如图,某水库堤坝的横断面为梯形,背水坡 AD 的坡比为$1:1.5$,
坝高 DE 为 10 米,则背水坡 AD 长为 （
A.$5\sqrt{13}$米
B.15 米
C.$6\sqrt{13}$米
D.无法确定
坝高 DE 为 10 米,则背水坡 AD 长为 （
A
）A.$5\sqrt{13}$米
B.15 米
C.$6\sqrt{13}$米
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】首先明确坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。本题中背水坡AD的坡比为$1:1.5$，已知坝高DE（垂直高度），可先求出水平宽度AE，再利用勾股定理计算斜边AD的长度。
【解析】
1. 根据坡比的定义，背水坡AD的坡比为$DE:AE=1:1.5$，已知坝高$DE=10$米，代入得：
$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{1.5}$，即$\frac{10}{AE}=\frac{1}{1.5}$，解得$AE=10×1.5=15$米。
2. 在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=90°$，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{DE^2 + AE^2}=\sqrt{10^2 + 15^2}=\sqrt{100 + 225}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}$米。
【答案】A
【知识点】坡比、勾股定理
【点评】本题考查坡比的概念及勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 根据坡比的定义，背水坡AD的坡比为$DE:AE=1:1.5$，已知坝高$DE=10$米，代入得：
$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{1.5}$，即$\frac{10}{AE}=\frac{1}{1.5}$，解得$AE=10×1.5=15$米。
2. 在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=90°$，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{DE^2 + AE^2}=\sqrt{10^2 + 15^2}=\sqrt{100 + 225}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}$米。
【答案】A
【知识点】坡比、勾股定理
【点评】本题考查坡比的概念及勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
8.(2025·台州黄岩)如图,数轴上的点 A 表示的数是 1,在$△ ABO$中,$∠BOA=90°,BO=1$,以点 A 为圆心,AB 为半径画弧交数轴于点 C,则点 C 表示的数为（
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$-\sqrt{2}$
D.$1-\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$-\sqrt{2}$
D.$1-\sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】要确定点C表示的数，需先求出线段AB的长度，因为AC=AB，再结合点A表示的数即可算出点C的数。首先在直角三角形ABO中，利用勾股定理计算AB的长度；再根据题意，AC等于AB，且点C在点A左侧，因此用点A的数减去AC的长度，就能得到点C表示的数。
【解析】在Rt△ABO中，∠BOA=90°，OA=1，BO=1，根据勾股定理：
AB = √(OA² + BO²) = √(1² + 1²) = √2。
由题意，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，故AC = AB = √2。
已知点A表示的数是1，点C在点A的左侧，因此点C表示的数为1 - √2。
【答案】D
【知识点】勾股定理；数轴上的点
【点评】本题将勾股定理与数轴结合，考查了勾股定理的应用以及数轴上点的数值与位置的关系，解题关键是利用弧的半径等于AB，求出AC的长度，进而计算C点的数，属于几何与代数结合的基础题。
【难度系数】0.5
【解析】在Rt△ABO中，∠BOA=90°，OA=1，BO=1，根据勾股定理：
AB = √(OA² + BO²) = √(1² + 1²) = √2。
由题意，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，故AC = AB = √2。
已知点A表示的数是1，点C在点A的左侧，因此点C表示的数为1 - √2。
【答案】D
【知识点】勾股定理；数轴上的点
【点评】本题将勾股定理与数轴结合，考查了勾股定理的应用以及数轴上点的数值与位置的关系，解题关键是利用弧的半径等于AB，求出AC的长度，进而计算C点的数，属于几何与代数结合的基础题。
【难度系数】0.5
9.(2025·台州椒江)下列各式不成立的是（
A.$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$
C.$\sqrt{4\dfrac{4}{17}}=4\sqrt{\dfrac{4}{17}}$
D.$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
C
）A.$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$
C.$\sqrt{4\dfrac{4}{17}}=4\sqrt{\dfrac{4}{17}}$
D.$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
答案
C
解析
【分析】
要判断各选项中的带分数二次根式等式是否成立，需先将每个选项的带分数化为假分数，再根据二次根式的性质对左边的式子进行化简，将化简结果与右边的式子对比，相等则成立，反之不成立，据此选出不成立的选项。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：左边$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{4×\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，右边为$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，等式成立；
选项B：左边$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=\sqrt{\dfrac{27}{8}}=\sqrt{9×\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，右边为$3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，等式成立；
选项C：左边$\sqrt{4\dfrac{4}{17}}=\sqrt{\dfrac{72}{17}}$，右边$4\sqrt{\dfrac{4}{17}}=\sqrt{16×\dfrac{4}{17}}=\sqrt{\dfrac{64}{17}}$，因为$\dfrac{72}{17}≠\dfrac{64}{17}$，所以等式不成立；
选项D：左边$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{25×\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，右边为$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，等式成立；
综上，不成立的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简、带分数化假分数
【点评】
本题考查二次根式的性质应用，核心是掌握带分数化假分数后利用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$化简，需注意计算假分数的分子是否为整数平方与分数分子的乘积，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
要判断各选项中的带分数二次根式等式是否成立，需先将每个选项的带分数化为假分数，再根据二次根式的性质对左边的式子进行化简，将化简结果与右边的式子对比，相等则成立，反之不成立，据此选出不成立的选项。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：左边$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{4×\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，右边为$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，等式成立；
选项B：左边$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=\sqrt{\dfrac{27}{8}}=\sqrt{9×\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，右边为$3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，等式成立；
选项C：左边$\sqrt{4\dfrac{4}{17}}=\sqrt{\dfrac{72}{17}}$，右边$4\sqrt{\dfrac{4}{17}}=\sqrt{16×\dfrac{4}{17}}=\sqrt{\dfrac{64}{17}}$，因为$\dfrac{72}{17}≠\dfrac{64}{17}$，所以等式不成立；
选项D：左边$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{25×\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，右边为$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，等式成立；
综上，不成立的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简、带分数化假分数
【点评】
本题考查二次根式的性质应用，核心是掌握带分数化假分数后利用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$化简，需注意计算假分数的分子是否为整数平方与分数分子的乘积，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
10.(2024·杭州上城)在将代数式$\frac{m}{\sqrt{m}}(m＞0)$化简时,小明的方法是:
$\frac{m}{\sqrt{m}}=\frac{m\sqrt{m}}{\sqrt{m}·\sqrt{m}}=\frac{m\sqrt{m}}{m}=\sqrt{m}$;小亮的方法是:$\frac{m}{\sqrt{m}}=\frac{(\sqrt{m})^2}{\sqrt{m}}=\sqrt{m}$;小丽的方法是:$\frac{m}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{m}}=\sqrt{\frac{m^2}{m}}=\sqrt{m}$。则下列说法中,正确的是
（
A.小明、小亮的方法正确,小丽的方法错误
B.小明、小丽的方法正确,小亮的方法错误
C.小明、小亮、小丽的方法都正确
D.小明、小亮、小丽的方法都错误
$\frac{m}{\sqrt{m}}=\frac{m\sqrt{m}}{\sqrt{m}·\sqrt{m}}=\frac{m\sqrt{m}}{m}=\sqrt{m}$;小亮的方法是:$\frac{m}{\sqrt{m}}=\frac{(\sqrt{m})^2}{\sqrt{m}}=\sqrt{m}$;小丽的方法是:$\frac{m}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{m}}=\sqrt{\frac{m^2}{m}}=\sqrt{m}$。则下列说法中,正确的是
（
C
）A.小明、小亮的方法正确,小丽的方法错误
B.小明、小丽的方法正确,小亮的方法错误
C.小明、小亮、小丽的方法都正确
D.小明、小亮、小丽的方法都错误
答案
C
解析
【分析】要判断三种化简方法是否正确，需结合分式的基本性质、二次根式的相关性质逐一分析：小明利用分式基本性质，分子分母同乘不为0的二次根式；小亮利用“$m=(\sqrt{m})^2$（$m＞0$）”的二次根式性质；小丽利用“$m=\sqrt{m^2}$（$m＞0$）”及二次根式除法法则，分别验证三种方法的合理性即可。
【解析】已知$m＞0$，逐一分析：
1. 小明的方法：根据分式的基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式值不变。给$\frac{m}{\sqrt{m}}$的分子分母同乘$\sqrt{m}$，得$\frac{m·\sqrt{m}}{\sqrt{m}·\sqrt{m}}=\frac{m\sqrt{m}}{m}=\sqrt{m}$，计算正确；
2. 小亮的方法：根据二次根式的性质，当$m＞0$时，$m=(\sqrt{m})^2$，则原式变为$\frac{(\sqrt{m})^2}{\sqrt{m}}$，分子分母同除以不为0的$\sqrt{m}$，得$\sqrt{m}$，计算正确；
3. 小丽的方法：根据二次根式的性质，当$m＞0$时，$m=\sqrt{m^2}$，则原式变为$\frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{m}}$，再根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，得$\sqrt{\frac{m^2}{m}}=\sqrt{m}$，计算正确；
因此三种方法都正确，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次根式化简、分式基本性质
【点评】本题考查二次根式的性质与分式基本性质的应用，通过多种化简方法的对比，帮助学生灵活掌握根式化简的思路，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】已知$m＞0$，逐一分析：
1. 小明的方法：根据分式的基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式值不变。给$\frac{m}{\sqrt{m}}$的分子分母同乘$\sqrt{m}$，得$\frac{m·\sqrt{m}}{\sqrt{m}·\sqrt{m}}=\frac{m\sqrt{m}}{m}=\sqrt{m}$，计算正确；
2. 小亮的方法：根据二次根式的性质，当$m＞0$时，$m=(\sqrt{m})^2$，则原式变为$\frac{(\sqrt{m})^2}{\sqrt{m}}$，分子分母同除以不为0的$\sqrt{m}$，得$\sqrt{m}$，计算正确；
3. 小丽的方法：根据二次根式的性质，当$m＞0$时，$m=\sqrt{m^2}$，则原式变为$\frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{m}}$，再根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，得$\sqrt{\frac{m^2}{m}}=\sqrt{m}$，计算正确；
因此三种方法都正确，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次根式化简、分式基本性质
【点评】本题考查二次根式的性质与分式基本性质的应用，通过多种化简方法的对比，帮助学生灵活掌握根式化简的思路，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
