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4.(2025·绍兴柯桥)下列运算正确的是 （
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=2$
D
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=2$
答案
D
解析
【分析】本题是判断二次根式运算的正确性，需回忆二次根式的加减、乘除运算法则：二次根式加减时，只有同类二次根式才能合并；二次根式乘除时，被开方数相乘除后再化简。逐个分析选项即可得出答案。
【解析】依次分析各选项：
1. 选项A：二次根式加减运算中，只有同类二次根式才能合并。$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相加，故A错误；
2. 选项B：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，再计算：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，故B错误；
3. 选项C：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故C错误；
4. 选项D：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，得$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2÷\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$，故D正确。
【答案】D
【知识点】二次根式的加减、二次根式的乘除
【点评】本题考查二次根式的基本运算，核心是同类二次根式的合并规则及二次根式乘除法则的应用，属于初中数学基础题型，难度较低，需注意运算细节避免出错。
【难度系数】0.7
【解析】依次分析各选项：
1. 选项A：二次根式加减运算中，只有同类二次根式才能合并。$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相加，故A错误；
2. 选项B：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，再计算：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，故B错误；
3. 选项C：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故C错误；
4. 选项D：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，得$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2÷\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$，故D正确。
【答案】D
【知识点】二次根式的加减、二次根式的乘除
【点评】本题考查二次根式的基本运算，核心是同类二次根式的合并规则及二次根式乘除法则的应用，属于初中数学基础题型，难度较低，需注意运算细节避免出错。
【难度系数】0.7
5.(2024·余姚)小明计算$\sqrt{12}-\sqrt{3}$的解答过程如下：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3$。他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程。
答案
解:有错误。正确解法:$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要判断小明的解答是否正确，需明确二次根式加减的运算规则：二次根式加减时，应先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，不能直接对被开方数进行加减运算。小明错误地将被开方数直接相减，因此解答有误，需先化简再合并。
【解析】
小明的解答过程有错误。正确步骤如下：
1. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
2. 合并同类二次根式：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
解:有错误。正确解法:$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，核心是掌握“先化简，再合并同类二次根式”的规则，避免直接对被开方数加减的错误，属于基础运算题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要判断小明的解答是否正确，需明确二次根式加减的运算规则：二次根式加减时，应先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，不能直接对被开方数进行加减运算。小明错误地将被开方数直接相减，因此解答有误，需先化简再合并。
【解析】
小明的解答过程有错误。正确步骤如下：
1. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
2. 合并同类二次根式：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
解:有错误。正确解法:$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，核心是掌握“先化简，再合并同类二次根式”的规则，避免直接对被开方数加减的错误，属于基础运算题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
6.(2024·诸暨)计算：
(1)$\sqrt{12} - 6\sqrt{3} + \sqrt{27}$。
(2)$[\sqrt{2} - \sqrt{(-2)^2}] × \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$。
(1)$\sqrt{12} - 6\sqrt{3} + \sqrt{27}$。
(2)$[\sqrt{2} - \sqrt{(-2)^2}] × \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$。
答案
(1)原式$=2\sqrt{3}-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}=-\sqrt{3}$。
(2)原式$=(\sqrt{2}-2)×\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2$。
(2)原式$=(\sqrt{2}-2)×\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路为：(1)二次根式加减运算需先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；(2)二次根式混合运算先处理括号内的部分，注意$\sqrt{a^2}=|a|$，再按运算顺序计算，可利用乘法分配律简化计算，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{27} = \sqrt{9×3} = 3\sqrt{3}$，
代入原式得：
原式$=2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2 - 6 + 3)\sqrt{3} = -\sqrt{3}$。
(2) 先计算括号内的部分：$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$，
则括号内为$\sqrt{2} - 2$，利用乘法分配律计算：
原式$= (\sqrt{2} - 2)×\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}×\sqrt{2} - 2×\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 2$。
【答案】
(1) $-\sqrt{3}$；(2) $2$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并规则，计算时需注意$\sqrt{a^2}$的非负性，整体运算步骤清晰，适合巩固二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算，解题思路为：(1)二次根式加减运算需先将非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；(2)二次根式混合运算先处理括号内的部分，注意$\sqrt{a^2}=|a|$，再按运算顺序计算，可利用乘法分配律简化计算，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{27} = \sqrt{9×3} = 3\sqrt{3}$，
代入原式得：
原式$=2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2 - 6 + 3)\sqrt{3} = -\sqrt{3}$。
(2) 先计算括号内的部分：$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$，
则括号内为$\sqrt{2} - 2$，利用乘法分配律计算：
原式$= (\sqrt{2} - 2)×\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}×\sqrt{2} - 2×\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 2$。
【答案】
(1) $-\sqrt{3}$；(2) $2$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并规则，计算时需注意$\sqrt{a^2}$的非负性，整体运算步骤清晰，适合巩固二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.8
1.(2024·温州)若二次根式$\sqrt{x-3}$有意义,则$x$的取值范围是(
A.$x≥3$
B.$x＞3$
C.$x≥-3$
D.$x＞-3$
A
)A.$x≥3$
B.$x＞3$
C.$x≥-3$
D.$x＞-3$
答案
A
解析
【分析】
要确定二次根式有意义时x的取值范围，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数，因此只需让被开方数x-3满足非负条件，解对应的一元一次不等式即可得到x的范围，再匹配选项选出答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式：
$x - 3 ≥ 0$
解这个不等式，移项得：$x ≥ 3$
因此x的取值范围是$x≥3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是对二次根式基础性质的直接考查，难度较低，只要牢记二次根式被开方数非负的核心知识点，即可快速解题，属于送分题。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式有意义时x的取值范围，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数，因此只需让被开方数x-3满足非负条件，解对应的一元一次不等式即可得到x的范围，再匹配选项选出答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式：
$x - 3 ≥ 0$
解这个不等式，移项得：$x ≥ 3$
因此x的取值范围是$x≥3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是对二次根式基础性质的直接考查，难度较低，只要牢记二次根式被开方数非负的核心知识点，即可快速解题，属于送分题。
【难度系数】
0.9
2.(2024·绍兴上虞)关于数“$\sqrt{2}$”，下列说法正确的是 （
A.它是一个无理数
B.它是一个有理数
C.它是一个整数
D.它是一个分数
A
）A.它是一个无理数
B.它是一个有理数
C.它是一个整数
D.它是一个分数
答案
A
解析
【分析】要判断关于$\sqrt{2}$的说法是否正确，需先明确无理数、有理数、整数、分数的定义：无理数是无限不循环小数；有理数是整数和分数的统称；整数包括正整数、0、负整数；分数是有限小数或无限循环小数。再逐个分析选项，得出正确结论。
【解析】1. 明确概念：无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，整数不含开方开不尽的数，分数是有限或无限循环小数。2. 分析选项A：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，值为1.4142…，属于无限不循环小数，是无理数，故A正确。3. 分析选项B：$\sqrt{2}$是无理数，不属于有理数，故B错误。4. 分析选项C：$\sqrt{2}$不是整数，故C错误。5. 分析选项D：$\sqrt{2}$不是分数，故D错误。综上，正确答案为A。
【答案】A
【知识点】无理数的概念；有理数的分类
【点评】本题考查无理数与有理数的基础概念，属于简单题型，准确区分各类数的定义即可解答。
【难度系数】0.8
【解析】1. 明确概念：无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，整数不含开方开不尽的数，分数是有限或无限循环小数。2. 分析选项A：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，值为1.4142…，属于无限不循环小数，是无理数，故A正确。3. 分析选项B：$\sqrt{2}$是无理数，不属于有理数，故B错误。4. 分析选项C：$\sqrt{2}$不是整数，故C错误。5. 分析选项D：$\sqrt{2}$不是分数，故D错误。综上，正确答案为A。
【答案】A
【知识点】无理数的概念；有理数的分类
【点评】本题考查无理数与有理数的基础概念，属于简单题型，准确区分各类数的定义即可解答。
【难度系数】0.8
3.(2025·永康)下列二次根式中,最简二次根式是 (
A.$\sqrt{0.5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{50}$
C
)A.$\sqrt{0.5}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{50}$
答案
C
解析
【分析】
要判断最简二次根式，需先明确其定义：满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式。接下来逐个分析选项：A选项被开方数含分母，B选项被开方数含分母，D选项被开方数含能开得尽方的因数，均不符合；只有C选项符合最简二次根式的条件。
【解析】
根据最简二次根式的定义，逐一分析各选项：
选项A：$\sqrt{0.5} = \sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{5}$，被开方数是整数，不含分母，且5不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义；
选项D：$\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2}$，被开方数含有能开得尽方的因数25，不是最简二次根式。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的判定，核心是掌握最简二次根式的两个判定条件，属于初中数学基础题，难度较低，学生易得分。
【难度系数】
0.8
要判断最简二次根式，需先明确其定义：满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式。接下来逐个分析选项：A选项被开方数含分母，B选项被开方数含分母，D选项被开方数含能开得尽方的因数，均不符合；只有C选项符合最简二次根式的条件。
【解析】
根据最简二次根式的定义，逐一分析各选项：
选项A：$\sqrt{0.5} = \sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{5}$，被开方数是整数，不含分母，且5不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义；
选项D：$\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2}$，被开方数含有能开得尽方的因数25，不是最简二次根式。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的判定，核心是掌握最简二次根式的两个判定条件，属于初中数学基础题，难度较低，学生易得分。
【难度系数】
0.8
4.(2024·杭州西湖)下列各式成立的是 （
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-3)^2}=\pm3$
C.$\sqrt{(-5)^2}=5$
D.$\sqrt{x^2}=x$
C
）A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-3)^2}=\pm3$
C.$\sqrt{(-5)^2}=5$
D.$\sqrt{x^2}=x$
答案
C
解析
【分析】本题考查二次根式的算术平方根的性质，解题关键是明确算术平方根的结果为非负数，且满足$\sqrt{a^2}=|a|$，据此逐一分析各选项是否成立。
【解析】根据二次根式的算术平方根的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的结果是非负的，逐一判断选项：
1. 选项A：先计算根号内的平方：$(-2)^2=4$，再求算术平方根：$\sqrt{4}=2≠-2$，该式不成立；
2. 选项B：计算根号内的平方：$(-3)^2=9$，算术平方根$\sqrt{9}=3$，算术平方根只有一个非负结果，不是$\pm3$，该式不成立；
3. 选项C：计算根号内的平方：$(-5)^2=25$，算术平方根$\sqrt{25}=5$，该式成立；
4. 选项D：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x$为负数时，比如$x=-1$，$\sqrt{(-1)^2}=1≠-1$，因此该式不成立。
【答案】C
【知识点】二次根式的性质、算术平方根
【点评】本题为基础题，主要考查对二次根式算术平方根性质的理解，易错点是混淆平方根与算术平方根，或错误认为$\sqrt{x^2}=x$（忽略绝对值）。
【难度系数】0.6
【解析】根据二次根式的算术平方根的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的结果是非负的，逐一判断选项：
1. 选项A：先计算根号内的平方：$(-2)^2=4$，再求算术平方根：$\sqrt{4}=2≠-2$，该式不成立；
2. 选项B：计算根号内的平方：$(-3)^2=9$，算术平方根$\sqrt{9}=3$，算术平方根只有一个非负结果，不是$\pm3$，该式不成立；
3. 选项C：计算根号内的平方：$(-5)^2=25$，算术平方根$\sqrt{25}=5$，该式成立；
4. 选项D：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x$为负数时，比如$x=-1$，$\sqrt{(-1)^2}=1≠-1$，因此该式不成立。
【答案】C
【知识点】二次根式的性质、算术平方根
【点评】本题为基础题，主要考查对二次根式算术平方根性质的理解，易错点是混淆平方根与算术平方根，或错误认为$\sqrt{x^2}=x$（忽略绝对值）。
【难度系数】0.6
