登录
二、填空题
11.(2025·宁波北仑)要使二次根式$\sqrt{x-1}$有意义,请写出一个满足条件的整数$x$的值:________。
11.(2025·宁波北仑)要使二次根式$\sqrt{x-1}$有意义,请写出一个满足条件的整数$x$的值:________。
答案
1(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。据此列出不等式，解不等式后找出满足条件的整数x即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足：$x - 1 ≥ 0$，解这个不等式得$x ≥ 1$。因此，只要是大于等于1的整数都满足条件，例如取整数1即可。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次根式有意义的基础知识点，难度较低，答案具有开放性，只要掌握“二次根式被开方数非负”的规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。据此列出不等式，解不等式后找出满足条件的整数x即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足：$x - 1 ≥ 0$，解这个不等式得$x ≥ 1$。因此，只要是大于等于1的整数都满足条件，例如取整数1即可。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次根式有意义的基础知识点，难度较低，答案具有开放性，只要掌握“二次根式被开方数非负”的规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.（2025·杭州上城）比较大小：$\sqrt{7}$______（填“＞”“＜”或“=”）π。
答案
＜
解析
【分析】要比较两个正数$\sqrt{7}$和π的大小，可利用“对于正数a、b，若$a^2 ＜ b^2$，则$a ＜ b$”的方法，分别计算两者的平方，再通过比较平方的大小得出结果。
【解析】因为$\sqrt{7}$和π都是正数，计算得：$(\sqrt{7})^2 = 7$，$π^2 \approx (3.1416)^2 \approx 9.8696$。由于$7 ＜ 9.8696$，根据正数的平方与本身大小的关系，可得$\sqrt{7} ＜ π$。
【答案】＜
【知识点】实数大小比较；无理数的估算
【点评】本题考查实数大小的比较，采用平方比较法是解决此类问题的常用技巧，难度不大，属于基础题型，主要考查学生对无理数近似值的掌握和实数大小比较方法的运用。
【难度系数】0.6
【解析】因为$\sqrt{7}$和π都是正数，计算得：$(\sqrt{7})^2 = 7$，$π^2 \approx (3.1416)^2 \approx 9.8696$。由于$7 ＜ 9.8696$，根据正数的平方与本身大小的关系，可得$\sqrt{7} ＜ π$。
【答案】＜
【知识点】实数大小比较；无理数的估算
【点评】本题考查实数大小的比较，采用平方比较法是解决此类问题的常用技巧，难度不大，属于基础题型，主要考查学生对无理数近似值的掌握和实数大小比较方法的运用。
【难度系数】0.6
13.(2024·杭州拱墅)计算：$\sqrt{2}×(-\sqrt{3})=$______。
答案
$-\sqrt{6}$
解析
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，解题思路是利用二次根式的乘法法则，先确定结果的符号，再将两个二次根式的被开方数相乘，根指数保持不变，从而得出结果。
【解析】根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），计算如下：
$\sqrt{2} × (-\sqrt{3}) = - (\sqrt{2} × \sqrt{3}) = - \sqrt{2 × 3} = - \sqrt{6}$
【答案】$-\sqrt{6}$
【知识点】二次根式的乘法运算
【点评】本题是基础的二次根式乘法计算题，直接运用二次根式乘法法则即可求解，属于对基础知识的常规考查，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），计算如下：
$\sqrt{2} × (-\sqrt{3}) = - (\sqrt{2} × \sqrt{3}) = - \sqrt{2 × 3} = - \sqrt{6}$
【答案】$-\sqrt{6}$
【知识点】二次根式的乘法运算
【点评】本题是基础的二次根式乘法计算题，直接运用二次根式乘法法则即可求解，属于对基础知识的常规考查，难度较低。
【难度系数】0.9
14.(2025·宁波海曙)化简$\sqrt{(3-π)^2}$的结果是________。
答案
$π-3$
解析
【分析】
化简$\sqrt{a^2}$的核心是利用二次根式的性质，先将其转化为绝对值形式，再判断绝对值内式子的正负，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号。本题中需先比较3和π的大小，确定3-π的正负，再进行化简。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（a为任意实数），可得：
$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$
因为π≈3.14，所以$3＜π$，即$3-π＜0$。
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|3-π|=-(3-π)=π-3$
【答案】
$π-3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的化简，关键是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，并能准确判断绝对值内式子的正负，易错点是直接去掉根号得到3-π，忽略了绝对值的处理。
【难度系数】
0.3
化简$\sqrt{a^2}$的核心是利用二次根式的性质，先将其转化为绝对值形式，再判断绝对值内式子的正负，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号。本题中需先比较3和π的大小，确定3-π的正负，再进行化简。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（a为任意实数），可得：
$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$
因为π≈3.14，所以$3＜π$，即$3-π＜0$。
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|3-π|=-(3-π)=π-3$
【答案】
$π-3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的化简，关键是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，并能准确判断绝对值内式子的正负，易错点是直接去掉根号得到3-π，忽略了绝对值的处理。
【难度系数】
0.3
15.(2024·宁波鄞州)观察下列各式:①$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$;②$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$;③$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$;④$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$;…;
第7个等式是$\underline{\hspace{5cm}}$。
第7个等式是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8})}=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{7}{48}}$
解析
【分析】
这是一道二次根式的规律探究题，解题思路是：先观察给出的前4个等式，分别梳理等式序号与左右两边的结构、数字的变化规律，再根据规律推导第7个等式。具体步骤：1. 确定等式序号n（n从1开始），分析每个等式左右两边的组成特征；2. 总结左边被开方数的规律：第n个等式的被开方数为$\frac{1}{n-1} · (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$（n≥2，n=1为特殊情况，规律可延续）；3. 总结右边结果的规律：第n个等式的右边为$\frac{1}{n} · \sqrt{\frac{n}{n^2 -1}}$；4. 将n=7代入规律，即可得到第7个等式。
【解析】
步骤1：分析已知等式的规律：
等式序号为n（n=1,2,3,4）；
左边：第n个等式的被开方数为$\frac{1}{n-1} · (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$；
右边：第n个等式的结果为$\frac{1}{n} · \sqrt{\frac{n}{n^2 -1}}$；
步骤2：代入n=7（第7个等式）：
左边：$\frac{1}{7-1} · (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) = \frac{1}{6}(\frac{1}{7} - \frac{1}{8})$，开根号后为$\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7} - \frac{1}{8})}$；
右边：$\frac{1}{7} · \sqrt{\frac{7}{7^2 -1}} = \frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$；
因此第7个等式为$\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7} - \frac{1}{8})} = \frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$。
【答案】
$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8})}=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{7}{48}}$
【知识点】
二次根式规律探究，二次根式化简
【点评】
本题为规律探究类题目，需通过观察已知等式的结构、数字特征归纳通用规律，重点考查二次根式的运算能力与归纳推理能力，是二次根式章节的典型题型。
【难度系数】
0.3
这是一道二次根式的规律探究题，解题思路是：先观察给出的前4个等式，分别梳理等式序号与左右两边的结构、数字的变化规律，再根据规律推导第7个等式。具体步骤：1. 确定等式序号n（n从1开始），分析每个等式左右两边的组成特征；2. 总结左边被开方数的规律：第n个等式的被开方数为$\frac{1}{n-1} · (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$（n≥2，n=1为特殊情况，规律可延续）；3. 总结右边结果的规律：第n个等式的右边为$\frac{1}{n} · \sqrt{\frac{n}{n^2 -1}}$；4. 将n=7代入规律，即可得到第7个等式。
【解析】
步骤1：分析已知等式的规律：
等式序号为n（n=1,2,3,4）；
左边：第n个等式的被开方数为$\frac{1}{n-1} · (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$；
右边：第n个等式的结果为$\frac{1}{n} · \sqrt{\frac{n}{n^2 -1}}$；
步骤2：代入n=7（第7个等式）：
左边：$\frac{1}{7-1} · (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) = \frac{1}{6}(\frac{1}{7} - \frac{1}{8})$，开根号后为$\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7} - \frac{1}{8})}$；
右边：$\frac{1}{7} · \sqrt{\frac{7}{7^2 -1}} = \frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$；
因此第7个等式为$\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7} - \frac{1}{8})} = \frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$。
【答案】
$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8})}=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{7}{48}}$
【知识点】
二次根式规律探究，二次根式化简
【点评】
本题为规律探究类题目，需通过观察已知等式的结构、数字特征归纳通用规律，重点考查二次根式的运算能力与归纳推理能力，是二次根式章节的典型题型。
【难度系数】
0.3
三、解答题
16.(2024·绍兴上虞)解答下列各题:
(1)计算:$\sqrt{(-8)^2}-(\sqrt{13})^2+\sqrt{36}$。
(2)设实数$\sqrt{6}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$(a+b)(a-b)-4b$的值。
16.(2024·绍兴上虞)解答下列各题:
(1)计算:$\sqrt{(-8)^2}-(\sqrt{13})^2+\sqrt{36}$。
(2)设实数$\sqrt{6}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$(a+b)(a-b)-4b$的值。
答案
(1)原式$=8-13+6=1$。
(2)由题意知:$a=2,b=\sqrt{6}-2$。$(a+b)(a-b)-4b=(2+\sqrt{6}-2)(2-\sqrt{6}+2)-4(\sqrt{6}-2)=2$。
(2)由题意知:$a=2,b=\sqrt{6}-2$。$(a+b)(a-b)-4b=(2+\sqrt{6}-2)(2-\sqrt{6}+2)-4(\sqrt{6}-2)=2$。
解析
【分析】
第(1)题需运用二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$（$x$为实数）、$(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$），先分别计算各项的值，再进行加减运算；第(2)题先估算$\sqrt{6}$的范围，确定其整数部分$a$和小数部分$b$，再利用平方差公式化简代数式，最后代入$a$、$b$的值计算结果，注意小数部分$b=$原数$-$整数部分。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质：
$\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8$，
$(\sqrt{13})^2=13$，
$\sqrt{36}=6$，
所以原式$=8-13+6=1$。
(2) 因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，因此$\sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-2$。
化简代数式：
$(a+b)(a-b)-4b=a^2 - b^2 -4b$，
代入$a=2$，$b=\sqrt{6}-2$：
$a^2=2^2=4$，
$b^2=(\sqrt{6}-2)^2=6 -4\sqrt{6}+4=10-4\sqrt{6}$，
所以原式$=4-(10-4\sqrt{6})-4(\sqrt{6}-2)$
$=4-10+4\sqrt{6}-4\sqrt{6}+8$
$=2$。
【答案】
(1)$1$；(2)$2$
【知识点】
二次根式的性质，实数的估算，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式运算、实数整数与小数部分的确定及代数式化简，属于基础题，需掌握二次根式基本性质和平方差公式的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
第(1)题需运用二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$（$x$为实数）、$(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$），先分别计算各项的值，再进行加减运算；第(2)题先估算$\sqrt{6}$的范围，确定其整数部分$a$和小数部分$b$，再利用平方差公式化简代数式，最后代入$a$、$b$的值计算结果，注意小数部分$b=$原数$-$整数部分。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质：
$\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8$，
$(\sqrt{13})^2=13$，
$\sqrt{36}=6$，
所以原式$=8-13+6=1$。
(2) 因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，因此$\sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-2$。
化简代数式：
$(a+b)(a-b)-4b=a^2 - b^2 -4b$，
代入$a=2$，$b=\sqrt{6}-2$：
$a^2=2^2=4$，
$b^2=(\sqrt{6}-2)^2=6 -4\sqrt{6}+4=10-4\sqrt{6}$，
所以原式$=4-(10-4\sqrt{6})-4(\sqrt{6}-2)$
$=4-10+4\sqrt{6}-4\sqrt{6}+8$
$=2$。
【答案】
(1)$1$；(2)$2$
【知识点】
二次根式的性质，实数的估算，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式运算、实数整数与小数部分的确定及代数式化简，属于基础题，需掌握二次根式基本性质和平方差公式的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
17.(2025·台州椒江)以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程,请认真阅读,完成相应的任务。
解:$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
第①步
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
第②步
$=9-4$
第③步
$=5$
第④步
【任务】
(1)上述解答过程中,第①步依据的乘法公式为$\underline{\hspace{5cm}}$（填“平方差公式”或“完全平方公式”）。
(2)上述解答过程,从第$\underline{\hspace{2cm}}$步开始出错。
(3)请写出正确的计算过程。
解:$(\sqrt{2}-1)^2(3+2\sqrt{2})$
$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
第①步
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
第②步
$=9-4$
第③步
$=5$
第④步
【任务】
(1)上述解答过程中,第①步依据的乘法公式为$\underline{\hspace{5cm}}$（填“平方差公式”或“完全平方公式”）。
(2)上述解答过程,从第$\underline{\hspace{2cm}}$步开始出错。
(3)请写出正确的计算过程。
答案
(1)完全平方公式
(2)③
(3)解:原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1$。
(2)③
(3)解:原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1$。
解析
【分析】
首先，第①步计算$(√2 -1)^2$，是运用完全平方公式展开的，因此依据完全平方公式；接着检查运算步骤，第③步计算$(3-2√2)(3+2√2)$时，错误地将$(2√2)^2$算成4，实际应为8，所以从第③步开始出错；正确计算时，需先利用完全平方公式展开$(√2 -1)^2$，合并后再用平方差公式计算，即可得到正确结果。
【解析】
(1)第①步是计算$(√2 -1)^2$，符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，因此依据的乘法公式为完全平方公式；
(2)第③步中，计算$(3-2√2)(3+2√2)$时，错误地将$(2√2)^2$计算为4，实际应为$(2√2)^2=2^2×(√2)^2=8$，因此从第③步开始出错；
(3)正确计算过程：先利用完全平方公式展开$(√2 -1)^2$，合并同类项后，再利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算，即原式$=(2-2√2+1)(3+2√2)=(3-2√2)(3+2√2)=3^2-(2√2)^2=9-8=1$。
【答案】
(1)完全平方公式；(2)③；(3)解:原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1$。
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是乘法公式的正确应用，需注意平方运算中根号的处理，避免出现将$(2√2)^2$算成4的错误，属于基础运算题，重点检验公式的掌握程度。
【难度系数】
0.5
首先，第①步计算$(√2 -1)^2$，是运用完全平方公式展开的，因此依据完全平方公式；接着检查运算步骤，第③步计算$(3-2√2)(3+2√2)$时，错误地将$(2√2)^2$算成4，实际应为8，所以从第③步开始出错；正确计算时，需先利用完全平方公式展开$(√2 -1)^2$，合并后再用平方差公式计算，即可得到正确结果。
【解析】
(1)第①步是计算$(√2 -1)^2$，符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，因此依据的乘法公式为完全平方公式；
(2)第③步中，计算$(3-2√2)(3+2√2)$时，错误地将$(2√2)^2$计算为4，实际应为$(2√2)^2=2^2×(√2)^2=8$，因此从第③步开始出错；
(3)正确计算过程：先利用完全平方公式展开$(√2 -1)^2$，合并同类项后，再利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算，即原式$=(2-2√2+1)(3+2√2)=(3-2√2)(3+2√2)=3^2-(2√2)^2=9-8=1$。
【答案】
(1)完全平方公式；(2)③；(3)解:原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1$。
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，核心是乘法公式的正确应用，需注意平方运算中根号的处理，避免出现将$(2√2)^2$算成4的错误，属于基础运算题，重点检验公式的掌握程度。
【难度系数】
0.5
