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18.(2024·丽水)如图，$P(x,y)$是直角坐标系中的一点。
(1)用二次根式表示线段$OP$的长。
(2)若$x=\sqrt{6},y=\sqrt{10}$，求$OP$的长。
(1)用二次根式表示线段$OP$的长。
(2)若$x=\sqrt{6},y=\sqrt{10}$，求$OP$的长。
答案
(1)如图,根据题意,易知$△ POA$为直角三角形,且$OA=x,PA=y$。在$\mathrm{Rt}△ POA$中,由勾股定理,得$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{x^2+y^2}$。
(2)$OP=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{6+10}=4$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平面直角坐标系的坐标意义，识别出由点P向x轴作垂线形成的直角三角形，利用勾股定理求解线段OP的长度。第(1)问直接用勾股定理表示OP，第(2)问代入x、y的具体值计算即可。
【解析】
(1) 过点P作PA⊥x轴于点A，根据平面直角坐标系的坐标定义，OA的长度为x，PA的长度为y，△POA是直角三角形。根据勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，因此$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{x^2+y^2}$。
(2) 将$x=\sqrt{6},y=\sqrt{10}$代入$OP=\sqrt{x^2+y^2}$，计算得：
$OP=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{10})^2}=\sqrt{6+10}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
(1) $OP=\sqrt{x^2+y^2}$；(2) $OP$的长为4。
【知识点】
勾股定理，平面直角坐标系，二次根式运算
【点评】
本题为基础题，核心考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用，解题思路清晰，计算简单，适合学生巩固勾股定理的基础应用。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需结合平面直角坐标系的坐标意义，识别出由点P向x轴作垂线形成的直角三角形，利用勾股定理求解线段OP的长度。第(1)问直接用勾股定理表示OP，第(2)问代入x、y的具体值计算即可。
【解析】
(1) 过点P作PA⊥x轴于点A，根据平面直角坐标系的坐标定义，OA的长度为x，PA的长度为y，△POA是直角三角形。根据勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，因此$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{x^2+y^2}$。
(2) 将$x=\sqrt{6},y=\sqrt{10}$代入$OP=\sqrt{x^2+y^2}$，计算得：
$OP=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{10})^2}=\sqrt{6+10}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
(1) $OP=\sqrt{x^2+y^2}$；(2) $OP$的长为4。
【知识点】
勾股定理，平面直角坐标系，二次根式运算
【点评】
本题为基础题，核心考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用，解题思路清晰，计算简单，适合学生巩固勾股定理的基础应用。
【难度系数】
0.8
19.(2025·天台)
【阅读感悟】李林同学在计算$\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}$时，采用了如下方法。
$(\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$
$=(5+\sqrt{21})-2\sqrt{5+\sqrt{21}}×\sqrt{5-\sqrt{21}}+(5-\sqrt{21})$
$=10-2×2$
$=6$。
因为$\sqrt{5+\sqrt{21}}＞\sqrt{5-\sqrt{21}}$，所以$\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{6}$。
【迁移应用】计算下列两个式子：
(1)$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$。
(2)$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$。
【阅读感悟】李林同学在计算$\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}$时，采用了如下方法。
$(\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}})^2$
$=(5+\sqrt{21})-2\sqrt{5+\sqrt{21}}×\sqrt{5-\sqrt{21}}+(5-\sqrt{21})$
$=10-2×2$
$=6$。
因为$\sqrt{5+\sqrt{21}}＞\sqrt{5-\sqrt{21}}$，所以$\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{6}$。
【迁移应用】计算下列两个式子：
(1)$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$。
(2)$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$。
答案
(1)$(\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2=(\sqrt{7+3\sqrt{5}})^2 + 2×\sqrt{7+3\sqrt{5}} ×\sqrt{7-3\sqrt{5}}+(\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2=7+3\sqrt{5}+2×\sqrt{49-45}+7-3\sqrt{5}=18$,因为$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}＞0$,所以$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}=3\sqrt{2}$。
(2)$(\dfrac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\dfrac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{16+8\sqrt{5}}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{8(2+\sqrt{5})}=\dfrac{1}{8}$,则$\dfrac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$。
(2)$(\dfrac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\dfrac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{16+8\sqrt{5}}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{8(2+\sqrt{5})}=\dfrac{1}{8}$,则$\dfrac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是对给定根式运算方法的迁移应用，核心思路为：对于直接计算较复杂的根式和/差形式，可先对其平方（或立方），利用完全平方公式（或立方公式）展开化简，得到平方（或立方）的值后，再根据原式的正负性确定最终结果。
【解析】
(1) 设$A=\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$，对$A$平方：
$A^2=(\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2$
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$展开：
$=(\sqrt{7+3\sqrt{5}})^2 + 2×\sqrt{7+3\sqrt{5}}×\sqrt{7-3\sqrt{5}} + (\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2$
化简各项：
$=7+3\sqrt{5} + 2×\sqrt{7^2-(3\sqrt{5})^2} +7-3\sqrt{5}$
计算根号内的差：$7^2=49$，$(3\sqrt{5})^2=45$，故$\sqrt{49-45}=\sqrt{4}=2$，代入得：
$=7+3\sqrt{5} + 2×2 +7-3\sqrt{5}=18$
因$\sqrt{7+3\sqrt{5}}＞0$、$\sqrt{7-3\sqrt{5}}＞0$，故$A＞0$，因此$A=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2) 设$B=\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$，对$B$立方：
$B^3=(\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\frac{(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3}{(1+\sqrt{5})^3}=\frac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}$
计算分母$(1+\sqrt{5})^3$：
先算$(1+\sqrt{5})^2=1+2\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5}$，再乘$(1+\sqrt{5})$得：
$(6+2\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=6+6\sqrt{5}+2\sqrt{5}+10=16+8\sqrt{5}=8(2+\sqrt{5})$
代入$B^3$得：
$B^3=\frac{2+\sqrt{5}}{8(2+\sqrt{5})}=\frac{1}{8}$
因$B$的分子分母均为正数，故$B＞0$，因此$B=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式运算、立方根运算、完全平方公式
【点评】
本题为方法迁移类题目，通过示例引导学生掌握“先平方/立方再化简”的根式运算技巧，需注意根式乘积的化简及正负性判断，综合考察根式运算能力。
【难度系数】
0.5
本题是对给定根式运算方法的迁移应用，核心思路为：对于直接计算较复杂的根式和/差形式，可先对其平方（或立方），利用完全平方公式（或立方公式）展开化简，得到平方（或立方）的值后，再根据原式的正负性确定最终结果。
【解析】
(1) 设$A=\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}$，对$A$平方：
$A^2=(\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2$
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$展开：
$=(\sqrt{7+3\sqrt{5}})^2 + 2×\sqrt{7+3\sqrt{5}}×\sqrt{7-3\sqrt{5}} + (\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2$
化简各项：
$=7+3\sqrt{5} + 2×\sqrt{7^2-(3\sqrt{5})^2} +7-3\sqrt{5}$
计算根号内的差：$7^2=49$，$(3\sqrt{5})^2=45$，故$\sqrt{49-45}=\sqrt{4}=2$，代入得：
$=7+3\sqrt{5} + 2×2 +7-3\sqrt{5}=18$
因$\sqrt{7+3\sqrt{5}}＞0$、$\sqrt{7-3\sqrt{5}}＞0$，故$A＞0$，因此$A=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
(2) 设$B=\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$，对$B$立方：
$B^3=(\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\frac{(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3}{(1+\sqrt{5})^3}=\frac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}$
计算分母$(1+\sqrt{5})^3$：
先算$(1+\sqrt{5})^2=1+2\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5}$，再乘$(1+\sqrt{5})$得：
$(6+2\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=6+6\sqrt{5}+2\sqrt{5}+10=16+8\sqrt{5}=8(2+\sqrt{5})$
代入$B^3$得：
$B^3=\frac{2+\sqrt{5}}{8(2+\sqrt{5})}=\frac{1}{8}$
因$B$的分子分母均为正数，故$B＞0$，因此$B=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$3\sqrt{2}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式运算、立方根运算、完全平方公式
【点评】
本题为方法迁移类题目，通过示例引导学生掌握“先平方/立方再化简”的根式运算技巧，需注意根式乘积的化简及正负性判断，综合考察根式运算能力。
【难度系数】
0.5
