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21.(6分)如图,在菱形ABCD中,P是边BC上的点,连结AP交对角线BD于点E,连结CE。
(1)求证:AE=CE。
(2)若∠ABC=45°,AE=PC,求∠BAP的度数。
(1)求证:AE=CE。
(2)若∠ABC=45°,AE=PC,求∠BAP的度数。
答案
21.(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以$∠ ABE=∠ CBE$,$AB=CB$。因为$BE=BE$,所以$△ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS})$,所以$AE=CE$。
(2)解:设$∠ BAP=α$,则$∠ BCE=α$。因为$∠ ABC=45°$,所以$∠ APC=∠ ABC+∠ BAP=45°+α$。因为$AE=CE,AE=PC$,所以$CE=PC$,所以$∠ PEC=∠ EPC=45°+α$,由$∠ PEC+∠ EPC+∠ PCE=180°$,得$2(45°+α)+α=180°$,解得$α=30°$,即$∠ BAP=30°$。
(2)解:设$∠ BAP=α$,则$∠ BCE=α$。因为$∠ ABC=45°$,所以$∠ APC=∠ ABC+∠ BAP=45°+α$。因为$AE=CE,AE=PC$,所以$CE=PC$,所以$∠ PEC=∠ EPC=45°+α$,由$∠ PEC+∠ EPC+∠ PCE=180°$,得$2(45°+α)+α=180°$,解得$α=30°$,即$∠ BAP=30°$。
解析
【分析】
第(1)问要证AE=CE，观察线段所在的三角形，结合菱形的性质，菱形的边相等且对角线平分内角，可通过SAS证明△ABE与△CBE全等，从而得到AE=CE；第(2)问，由(1)的结论和已知AE=PC，可得CE=PC，即△PEC为等腰三角形，利用三角形外角性质得到∠EPC与∠BAP、∠ABC的关系，再结合三角形内角和定理，设∠BAP为未知数，列方程即可求解。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABE=∠CBE \\ BE=BE \end{array} $
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE。
(2) 解：设∠BAP=α，
由△ABE≌△CBE得∠BCE=∠BAP=α，
∵AE=CE，且AE=PC，
∴CE=PC，即△PEC为等腰三角形，∠PEC=∠EPC。
根据三角形外角性质，∠EPC=∠ABC + ∠BAP=45°+α，
在△PEC中，∠PEC + ∠EPC + ∠PCE=180°，
代入得：2(45°+α) + α=180°，
解得α=30°，即∠BAP=30°。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) ∠BAP=30°
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、全等三角形的证明及等腰三角形的角度计算，需要熟练运用相关几何定理，理清角度间的等量关系，通过设未知数列方程求解，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
第(1)问要证AE=CE，观察线段所在的三角形，结合菱形的性质，菱形的边相等且对角线平分内角，可通过SAS证明△ABE与△CBE全等，从而得到AE=CE；第(2)问，由(1)的结论和已知AE=PC，可得CE=PC，即△PEC为等腰三角形，利用三角形外角性质得到∠EPC与∠BAP、∠ABC的关系，再结合三角形内角和定理，设∠BAP为未知数，列方程即可求解。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABE=∠CBE \\ BE=BE \end{array} $
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE。
(2) 解：设∠BAP=α，
由△ABE≌△CBE得∠BCE=∠BAP=α，
∵AE=CE，且AE=PC，
∴CE=PC，即△PEC为等腰三角形，∠PEC=∠EPC。
根据三角形外角性质，∠EPC=∠ABC + ∠BAP=45°+α，
在△PEC中，∠PEC + ∠EPC + ∠PCE=180°，
代入得：2(45°+α) + α=180°，
解得α=30°，即∠BAP=30°。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) ∠BAP=30°
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、全等三角形的证明及等腰三角形的角度计算，需要熟练运用相关几何定理，理清角度间的等量关系，通过设未知数列方程求解，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
22.(6分)(2024·龙游、江山、开化)某农家购买了一卷由边长为5 cm的小菱形构成的网格防护网(如图1)用于“未来乡村”建设。
(1)该农家计划利用已有的一堵长为8米的墙,用该种防护网围成一个面积为$54\ \mathrm{m}^2$的矩形园子$ABCD$(如图2)。若防护网用去24米,求矩形一边$AB$的长度。
(2)如图3,边长为5 cm的小菱形$EFGH$中,$EG:FH=4:3$。防护网高度为1.2 m。问:24米防护网中最多有几个这样的小菱形?(注:防护网在转角处不被裁断)
(1)该农家计划利用已有的一堵长为8米的墙,用该种防护网围成一个面积为$54\ \mathrm{m}^2$的矩形园子$ABCD$(如图2)。若防护网用去24米,求矩形一边$AB$的长度。
(2)如图3,边长为5 cm的小菱形$EFGH$中,$EG:FH=4:3$。防护网高度为1.2 m。问:24米防护网中最多有几个这样的小菱形?(注:防护网在转角处不被裁断)
答案
22.(1)设$AB=x\ \mathrm{m}$,则$BC=(24-2x)\mathrm{m}$,所以$S=BC· AB=(24-2x)x=54$,解得$x=3$或9,又因为$BC=AD=24-2x≤8$,所以$x≥8$,所以$x=9$,即$AB=9\ \mathrm{m}$。
(2)由已知易得$OH=OF=3\ \mathrm{cm}$,$EO=GO=4\ \mathrm{cm}$,$HF=6\ \mathrm{cm}$,$EG=8\ \mathrm{cm}$,$1.2\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{cm}$,$24\ \mathrm{m}=2400\ \mathrm{cm}$,所以$120÷6=20$(个),$2400÷8=300$(个),所以共有$20×300+19×299=11681$(个)。答:24米防护网中最多有11681个这样的小菱形。
(2)由已知易得$OH=OF=3\ \mathrm{cm}$,$EO=GO=4\ \mathrm{cm}$,$HF=6\ \mathrm{cm}$,$EG=8\ \mathrm{cm}$,$1.2\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{cm}$,$24\ \mathrm{m}=2400\ \mathrm{cm}$,所以$120÷6=20$(个),$2400÷8=300$(个),所以共有$20×300+19×299=11681$(个)。答:24米防护网中最多有11681个这样的小菱形。
解析
【分析】
(1) 矩形园子利用一堵墙，防护网仅围三边，设AB为x米，可表示出BC的长度，结合面积公式列方程，再根据墙长限制舍去不合理解，即可求出AB的长度；
(2) 利用菱形对角线互相垂直的性质，结合边长和对角线比例求出菱形的两条对角线长度，将防护网的总长度和高度换算为厘米，分别计算横向、纵向可排列的菱形数量，再根据转角处不裁断的规则计算总数量。
【解析】
(1) 设矩形园子的边AB = x m，则边BC = (24 - 2x) m（防护网围AB、BC、AB三边，总长24 m）。
根据矩形面积公式，得：
$x(24 - 2x) = 54$
整理为标准一元二次方程：$x^2 - 12x + 27 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 9) = 0$
解得：$x = 3$ 或 $x = 9$。
因为墙长为8 m，BC是平行于墙的边，故$BC = 24 - 2x ≤ 8$，
解不等式得：$x ≥ 8$，因此$x = 3$舍去，得$AB = 9\ \mathrm{m}$。
(2) 菱形EFGH中，对角线$EG⊥FH$，设$EG = 4k\ \mathrm{cm}$，$FH = 3k\ \mathrm{cm}$，
由菱形边长为5 cm，根据勾股定理：
$(2k)^2 + (1.5k)^2 = 5^2$
解得$k = 2$（k＞0），因此$EG = 8\ \mathrm{cm}$，$FH = 6\ \mathrm{cm}$。
单位换算：防护网高度$1.2\ \mathrm{m} = 120\ \mathrm{cm}$，防护网总长$24\ \mathrm{m} = 2400\ \mathrm{cm}$。
纵向（沿FH方向）可排列数量：$120÷6 = 20$个；
横向（沿EG方向）可排列数量：$2400÷8 = 300$个。
根据转角处不裁断，总数量为：
$20×300 + 19×299 = 6000 + 5681 = 11681$个。
【答案】
(1) AB的长度为9 m；(2) 最多有11681个这样的小菱形。
【知识点】
一元二次方程应用，菱形性质，实际排列问题
【点评】
本题结合实际场景，考查一元二次方程在几何中的应用和菱形性质，解题需注意实际问题的限制条件（如墙长、转角不裁断），避免出现错误解。
【难度系数】
0.3
(1) 矩形园子利用一堵墙，防护网仅围三边，设AB为x米，可表示出BC的长度，结合面积公式列方程，再根据墙长限制舍去不合理解，即可求出AB的长度；
(2) 利用菱形对角线互相垂直的性质，结合边长和对角线比例求出菱形的两条对角线长度，将防护网的总长度和高度换算为厘米，分别计算横向、纵向可排列的菱形数量，再根据转角处不裁断的规则计算总数量。
【解析】
(1) 设矩形园子的边AB = x m，则边BC = (24 - 2x) m（防护网围AB、BC、AB三边，总长24 m）。
根据矩形面积公式，得：
$x(24 - 2x) = 54$
整理为标准一元二次方程：$x^2 - 12x + 27 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 9) = 0$
解得：$x = 3$ 或 $x = 9$。
因为墙长为8 m，BC是平行于墙的边，故$BC = 24 - 2x ≤ 8$，
解不等式得：$x ≥ 8$，因此$x = 3$舍去，得$AB = 9\ \mathrm{m}$。
(2) 菱形EFGH中，对角线$EG⊥FH$，设$EG = 4k\ \mathrm{cm}$，$FH = 3k\ \mathrm{cm}$，
由菱形边长为5 cm，根据勾股定理：
$(2k)^2 + (1.5k)^2 = 5^2$
解得$k = 2$（k＞0），因此$EG = 8\ \mathrm{cm}$，$FH = 6\ \mathrm{cm}$。
单位换算：防护网高度$1.2\ \mathrm{m} = 120\ \mathrm{cm}$，防护网总长$24\ \mathrm{m} = 2400\ \mathrm{cm}$。
纵向（沿FH方向）可排列数量：$120÷6 = 20$个；
横向（沿EG方向）可排列数量：$2400÷8 = 300$个。
根据转角处不裁断，总数量为：
$20×300 + 19×299 = 6000 + 5681 = 11681$个。
【答案】
(1) AB的长度为9 m；(2) 最多有11681个这样的小菱形。
【知识点】
一元二次方程应用，菱形性质，实际排列问题
【点评】
本题结合实际场景，考查一元二次方程在几何中的应用和菱形性质，解题需注意实际问题的限制条件（如墙长、转角不裁断），避免出现错误解。
【难度系数】
0.3
