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18.(6分)(2024·诸暨)如图,在$5×5$正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,例如,线段AB的端点在格点上。已知每个小正方形的边长均为1,请完成下列各小题。
(1)在图1中,求AB的长。
(2)在图1中,作菱形ABCD,其中点C,D为格点。(只需作出一种情况)
(3)在图2中,作一个面积为3的菱形ABEF,其中点E,F为格点。(只需作出一种情况)
(1)在图1中,求AB的长。
(2)在图1中,作菱形ABCD,其中点C,D为格点。(只需作出一种情况)
(3)在图2中,作一个面积为3的菱形ABEF,其中点E,F为格点。(只需作出一种情况)
答案
18.(1)$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
(2)作图不唯一,正确即可
。(3)作图不唯一,正确即可
。解析
【分析】
本题是网格中的几何问题，分三小问：
1. 求AB长：利用勾股定理，确定A、B两点的水平与垂直格数差，代入公式计算线段长度；
2. 作菱形ABCD：根据菱形“四条边相等、对边平行”的性质，在网格中找格点C、D，使AB、BC、CD、DA长度相等且对边平行；
3. 作面积为3的菱形ABEF：根据菱形面积公式，结合网格特点，找到满足条件的E、F格点，保证ABEF为菱形且面积为3。
【解析】
(1) 由网格可知，点A到点B的水平距离为1，垂直距离为2，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$；
(2) 根据菱形的定义，四条边相等且对边平行，在图1的网格中，选取格点D使$AD=AB=\sqrt{5}$，再选取格点C使$BC=AB=\sqrt{5}$且$AB// CD$、$AD// BC$，即可得到菱形ABCD（作图不唯一，符合菱形性质即可）；
(3) 菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}×$对角线乘积（或底×高），结合网格，选取格点E、F，使ABEF为菱形且面积为3，作图不唯一，符合要求即可。
【答案】
(1) $AB=\sqrt{5}$；
(2) 作图（对应）；
(3) 作图（对应）；
【知识点】
勾股定理、菱形的性质、网格作图
【点评】
本题结合网格考查勾股定理的应用和菱形的作图，需要学生掌握基本几何性质，利用网格特点找格点，难度适中，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
本题是网格中的几何问题，分三小问：
1. 求AB长：利用勾股定理，确定A、B两点的水平与垂直格数差，代入公式计算线段长度；
2. 作菱形ABCD：根据菱形“四条边相等、对边平行”的性质，在网格中找格点C、D，使AB、BC、CD、DA长度相等且对边平行；
3. 作面积为3的菱形ABEF：根据菱形面积公式，结合网格特点，找到满足条件的E、F格点，保证ABEF为菱形且面积为3。
【解析】
(1) 由网格可知，点A到点B的水平距离为1，垂直距离为2，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$；
(2) 根据菱形的定义，四条边相等且对边平行，在图1的网格中，选取格点D使$AD=AB=\sqrt{5}$，再选取格点C使$BC=AB=\sqrt{5}$且$AB// CD$、$AD// BC$，即可得到菱形ABCD（作图不唯一，符合菱形性质即可）；
(3) 菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}×$对角线乘积（或底×高），结合网格，选取格点E、F，使ABEF为菱形且面积为3，作图不唯一，符合要求即可。
【答案】
(1) $AB=\sqrt{5}$；
(2) 作图（对应
）；(3) 作图（对应
）；【知识点】
勾股定理、菱形的性质、网格作图
【点评】
本题结合网格考查勾股定理的应用和菱形的作图，需要学生掌握基本几何性质，利用网格特点找格点，难度适中，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
19.(6分)(2024·丽水)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$AB=AC$,将$△ ABC$补成一个矩形,使$△ ABC$的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形的另一边上。
(1)请用三角尺画出一个矩形的示意图。
(2)若$AB=4$,求出你所画矩形的面积。
(1)请用三角尺画出一个矩形的示意图。
(2)若$AB=4$,求出你所画矩形的面积。
答案
19.(1)如图,矩形BCDE即为所求。(答案不唯一)
(2)如图,过点B作$BF⊥ AC$于点F。
因为$∠ BAC=30°,AB=AC=4$,所以$BF=\frac{1}{2}AB=2$,$S_{\mathrm{矩形}BCDE}=2S_{△ ABC}=2×\frac{1}{2}×4×2=8$。(与所画图形相对应即可)
解析
【分析】
要解决本题，首先根据题意构造符合条件的矩形：△ABC的两个顶点为矩形一边的端点，第三个顶点落在矩形的另一边上，选择B、C作为矩形底边的端点，A在矩形对边上构造矩形BCDE。接着利用等腰三角形AB=AC的性质，结合∠A=30°，作高BF⊥AC，通过含30°角的直角三角形性质求高，再根据矩形与三角形的面积关系计算矩形面积。
【解析】
(1) 画图：根据题意，画出矩形BCDE，使点B、C在矩形下边上，点A在矩形上边ED上，如图所示。
(2) 计算矩形面积：
过点B作BF⊥AC于点F，
在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，
因为BF⊥AC，所以△ABF为直角三角形，∠BAF=30°，
根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，得BF = 1/2 AB = 1/2×4 = 2，
△ABC的面积S△ABC = 1/2×AC×BF = 1/2×4×2 = 4，
由图形可知，矩形BCDE的面积是△ABC面积的2倍，故S矩形BCDE = 2×4 = 8。
【答案】
(1) 如图，矩形BCDE即为所求；(2) 8
【知识点】
等腰三角形性质，含30°角的直角三角形性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合等腰三角形和矩形的性质，考查图形构造与面积计算，关键是利用含30°角的直角三角形性质求高，中等难度，需理清图形间的面积关系。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先根据题意构造符合条件的矩形：△ABC的两个顶点为矩形一边的端点，第三个顶点落在矩形的另一边上，选择B、C作为矩形底边的端点，A在矩形对边上构造矩形BCDE。接着利用等腰三角形AB=AC的性质，结合∠A=30°，作高BF⊥AC，通过含30°角的直角三角形性质求高，再根据矩形与三角形的面积关系计算矩形面积。
【解析】
(1) 画图：根据题意，画出矩形BCDE，使点B、C在矩形下边上，点A在矩形上边ED上，如图所示。
(2) 计算矩形面积：
过点B作BF⊥AC于点F，
在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，
因为BF⊥AC，所以△ABF为直角三角形，∠BAF=30°，
根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，得BF = 1/2 AB = 1/2×4 = 2，
△ABC的面积S△ABC = 1/2×AC×BF = 1/2×4×2 = 4，
由图形可知，矩形BCDE的面积是△ABC面积的2倍，故S矩形BCDE = 2×4 = 8。
【答案】
(1) 如图，矩形BCDE即为所求；(2) 8
【知识点】
等腰三角形性质，含30°角的直角三角形性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合等腰三角形和矩形的性质，考查图形构造与面积计算，关键是利用含30°角的直角三角形性质求高，中等难度，需理清图形间的面积关系。
【难度系数】
0.5
20.(6分)(2025·兰溪、浦江)如图,已知$△ ABD$中,$AB=AD$。小明用圆规和直尺作出四边形$ABCD$的过程如下:
①分别以$B,D$为圆心,以$BD$长为半径画弧,两弧交于点$M$。
②作射线$AM$,交$BD$于点$O$。
③以点$O$为圆心,$OA$为半径画弧,交射线$AM$于点$C$。
④连结$CD,CB$。
依据上述得到的图形,解答下列问题:
(1)判断四边形$ABCD$是什么特殊四边形,并给出证明。
(2)若$BD=2,OA=3,DH\bot AB$于点$H$,求$DH$的长。
①分别以$B,D$为圆心,以$BD$长为半径画弧,两弧交于点$M$。
②作射线$AM$,交$BD$于点$O$。
③以点$O$为圆心,$OA$为半径画弧,交射线$AM$于点$C$。
④连结$CD,CB$。
依据上述得到的图形,解答下列问题:
(1)判断四边形$ABCD$是什么特殊四边形,并给出证明。
(2)若$BD=2,OA=3,DH\bot AB$于点$H$,求$DH$的长。
答案
20.(1)四边形ABCD是菱形。证明如下:如图,连结DM,BM。则由题意得$DM=DB=BM$,又因为$AB=AD,AM=AM$,所以$△ ADM≌△ ABM(\mathrm{SSS})$,所以$∠ DAM=∠ BAM$,又因为$AB=AD$,所以$OD=OB$,因为$OA=OC$,所以四边形ABCD是平行四边形,又由$AB=AD$,得四边形ABCD是菱形。
(2)$OB=\frac{1}{2}BD=1$,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10}$,由$\frac{1}{2}BD× OA=\frac{1}{2}AB× DH$,得$DH=\frac{3}{5}\sqrt{10}$。
解析
【分析】
要解决本题，分两小问逐步推导：
1. 第(1)问：先分析尺规作图得到的△BDM是等边三角形，结合AB=AD的条件，证明AM垂直平分BD，再利用OA=OC推出四边形ABCD是平行四边形，最后由AB=AD判定为菱形。
2. 第(2)问：利用菱形对角线垂直平分的性质，结合勾股定理求出AB的长度，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底×高）建立等式，求解DH的长。
【解析】
(1) 四边形ABCD是菱形，证明如下：
连结DM、BM。
由作图①得：DM=DB=BM，故△BDM为等边三角形。
在△ADM和△ABM中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\ DM=BM\\ AM=AM\end{array} $
∴△ADM≌△ABM（SSS），
∴∠DAM=∠BAM，即AM平分∠BAD。
又
∵AB=AD，
∴AO⊥BD，且OB=OD（等腰三角形三线合一）。
由作图③知OA=OC，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
(2) 已知BD=2，OA=3，
∵AO⊥BD，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{OA^2 + OB^2}$=$\sqrt{3^2 + 1^2}$=$\sqrt{10}$。
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×BD×OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
又
∵菱形面积=AB×DH（DH为AB边上的高），
∴$\sqrt{10}$×DH=3，
解得DH=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是菱形；(2) DH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【知识点】
菱形的判定、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质，需掌握基本作图的原理，灵活运用菱形的性质和面积公式，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两小问逐步推导：
1. 第(1)问：先分析尺规作图得到的△BDM是等边三角形，结合AB=AD的条件，证明AM垂直平分BD，再利用OA=OC推出四边形ABCD是平行四边形，最后由AB=AD判定为菱形。
2. 第(2)问：利用菱形对角线垂直平分的性质，结合勾股定理求出AB的长度，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底×高）建立等式，求解DH的长。
【解析】
(1) 四边形ABCD是菱形，证明如下：
连结DM、BM。
由作图①得：DM=DB=BM，故△BDM为等边三角形。
在△ADM和△ABM中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\ DM=BM\\ AM=AM\end{array} $
∴△ADM≌△ABM（SSS），
∴∠DAM=∠BAM，即AM平分∠BAD。
又
∵AB=AD，
∴AO⊥BD，且OB=OD（等腰三角形三线合一）。
由作图③知OA=OC，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形。
又
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形。
(2) 已知BD=2，OA=3，
∵AO⊥BD，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{OA^2 + OB^2}$=$\sqrt{3^2 + 1^2}$=$\sqrt{10}$。
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×BD×OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
又
∵菱形面积=AB×DH（DH为AB边上的高），
∴$\sqrt{10}$×DH=3，
解得DH=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是菱形；(2) DH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【知识点】
菱形的判定、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质，需掌握基本作图的原理，灵活运用菱形的性质和面积公式，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
