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11.(2024·嵊州)已知菱形的两条对角线长分别是一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$的两个根,则该菱形的边长为________。
答案
11.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：首先，根据菱形的对角线是一元二次方程的两个根，先解该方程得到对角线的长度；其次，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程：对$x^2 - 6x + 8 = 0$因式分解得$(x - 2)(x - 4) = 0$，解得方程的两个根为$x_1 = 2$，$x_2 = 4$，即菱形的两条对角线长分别为2和4。
2. 利用菱形性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的一半分别为$\frac{2}{2}=1$和$\frac{4}{2}=2$。
3. 计算边长：菱形的边长是由两条对角线的一半构成的直角三角形的斜边，根据勾股定理，边长为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的求解与菱形的性质，核心是利用菱形对角线的垂直平分特性结合勾股定理计算边长，属于基础综合题，难度不大。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两步思考：首先，根据菱形的对角线是一元二次方程的两个根，先解该方程得到对角线的长度；其次，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程：对$x^2 - 6x + 8 = 0$因式分解得$(x - 2)(x - 4) = 0$，解得方程的两个根为$x_1 = 2$，$x_2 = 4$，即菱形的两条对角线长分别为2和4。
2. 利用菱形性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的一半分别为$\frac{2}{2}=1$和$\frac{4}{2}=2$。
3. 计算边长：菱形的边长是由两条对角线的一半构成的直角三角形的斜边，根据勾股定理，边长为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的求解与菱形的性质，核心是利用菱形对角线的垂直平分特性结合勾股定理计算边长，属于基础综合题，难度不大。
【难度系数】
0.6
12.(2024·德清)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使$DE=AD$,连结EB,EC,DB,要使四边形DBCE成为矩形,可添加一个条件是________。
答案
12.$DC=BE$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据平行四边形的性质推导四边形DBCE的形状，再结合矩形的判定定理添加合适的条件。具体思路：1. 由平行四边形ABCD的性质，得到AD与BC平行且相等，结合DE=AD，推出四边形DBCE是平行四边形；2. 再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”或“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，添加使平行四边形DBCE成为矩形的条件。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，且AD=BC。
2. 已知DE=AD，因此DE=BC，又因为点E在AD的延长线上，所以DE//BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形DBCE是平行四边形。
3. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以当添加条件DC=BE时，平行四边形DBCE的对角线相等，即可成为矩形；也可添加如∠EDB=90°等条件，答案不唯一。
【答案】
DC=BE（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形和矩形的判定，核心是先推导四边形DBCE为平行四边形，再结合矩形判定定理添加条件，属于基础题，答案不唯一，侧重考查对判定定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先根据平行四边形的性质推导四边形DBCE的形状，再结合矩形的判定定理添加合适的条件。具体思路：1. 由平行四边形ABCD的性质，得到AD与BC平行且相等，结合DE=AD，推出四边形DBCE是平行四边形；2. 再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”或“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，添加使平行四边形DBCE成为矩形的条件。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，且AD=BC。
2. 已知DE=AD，因此DE=BC，又因为点E在AD的延长线上，所以DE//BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形DBCE是平行四边形。
3. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以当添加条件DC=BE时，平行四边形DBCE的对角线相等，即可成为矩形；也可添加如∠EDB=90°等条件，答案不唯一。
【答案】
DC=BE（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形和矩形的判定，核心是先推导四边形DBCE为平行四边形，再结合矩形判定定理添加条件，属于基础题，答案不唯一，侧重考查对判定定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
13.(2024·温州)如图,菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(3,0),点C在y轴正半轴上,则点D的坐标为
(-5,4)
。答案
13.$(-5,4)$
解析
【分析】
要确定点D的坐标，需利用菱形的性质：菱形的四条边相等，对边平行且相等。首先根据A、B的坐标求出AB的长度，再结合BC=AB及点C在y轴正半轴求出点C的坐标，最后利用CD平行且等于AB，求出点D的坐标。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知A(-2,0)，B(3,0)，两点在x轴上，因此AB的长度为$3 - (-2)=5$。
2. 求点C的坐标：因为四边形ABCD是菱形，所以$BC=AB=5$。点C在y轴正半轴，设$C(0,c)$（$c＞0$），根据两点间距离公式，$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-c)^2}=5$，即$\sqrt{9+c^2}=5$，两边平方得$9+c^2=25$，解得$c^2=16$，由于$c＞0$，所以$c=4$，即$C(0,4)$。
3. 求点D的坐标：菱形中AB平行且等于CD，AB为水平线段，因此CD也为水平线段，长度为5。点C的横坐标为0，向左平移5个单位得到点D的横坐标，纵坐标与C相同，故点D的坐标为$(-5,4)$。
【答案】
$(-5,4)$
【知识点】
菱形的性质；坐标与图形性质；两点间距离公式
【点评】
本题结合菱形性质与坐标计算，核心是利用菱形四边相等、对边平行的特征，结合两点间距离公式求解未知点坐标，属于基础综合题，需熟练掌握菱形的基本性质。
【难度系数】
0.5
要确定点D的坐标，需利用菱形的性质：菱形的四条边相等，对边平行且相等。首先根据A、B的坐标求出AB的长度，再结合BC=AB及点C在y轴正半轴求出点C的坐标，最后利用CD平行且等于AB，求出点D的坐标。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知A(-2,0)，B(3,0)，两点在x轴上，因此AB的长度为$3 - (-2)=5$。
2. 求点C的坐标：因为四边形ABCD是菱形，所以$BC=AB=5$。点C在y轴正半轴，设$C(0,c)$（$c＞0$），根据两点间距离公式，$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-c)^2}=5$，即$\sqrt{9+c^2}=5$，两边平方得$9+c^2=25$，解得$c^2=16$，由于$c＞0$，所以$c=4$，即$C(0,4)$。
3. 求点D的坐标：菱形中AB平行且等于CD，AB为水平线段，因此CD也为水平线段，长度为5。点C的横坐标为0，向左平移5个单位得到点D的横坐标，纵坐标与C相同，故点D的坐标为$(-5,4)$。
【答案】
$(-5,4)$
【知识点】
菱形的性质；坐标与图形性质；两点间距离公式
【点评】
本题结合菱形性质与坐标计算，核心是利用菱形四边相等、对边平行的特征，结合两点间距离公式求解未知点坐标，属于基础综合题，需熟练掌握菱形的基本性质。
【难度系数】
0.5
14.(2024·嘉兴)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠BAC的平分线AE交BD于点E。若AB=2,则DE的长为
2
。答案
14.2
解析
【分析】
要计算DE的长度，需结合正方形的性质、角平分线的特点，通过坐标法或几何关系推导。首先明确正方形的边长与对角线的关系，再利用角平分线确定交点E的位置，最后计算两点间距离。
【解析】
设正方形ABCD的坐标为：A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则对角线AC的方程为y=x，BD的方程为x+y=2，交点O为(1,1)。
正方形中∠BAC=45°，AE是∠BAC的平分线，故AE与AB（x轴）的夹角为22.5°，且tan22.5°=√2-1，因此AE的直线方程为y=(√2-1)x。
联立AE与BD的方程：
$\begin{cases}y=(\sqrt{2}-1)x \\x+y=2\end{cases}$
代入得：x + (√2-1)x=2 → √2 x=2 → x=√2，进而y=(√2-1)·√2=2-√2，即E点坐标为(√2,2-√2)。
根据两点间距离公式，D(0,2)与E(√2,2-√2)的距离：
$DE=\sqrt{(\sqrt{2}-0)^2 + (2-√2 -2)^2}=\sqrt{2 + 2}=2$
【答案】
2
【知识点】
正方形性质、角平分线性质、两点间距离
【点评】
本题将正方形的几何性质与坐标法结合，通过代数计算简化几何问题，需熟练掌握正方形的特征和坐标法的应用，是几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
要计算DE的长度，需结合正方形的性质、角平分线的特点，通过坐标法或几何关系推导。首先明确正方形的边长与对角线的关系，再利用角平分线确定交点E的位置，最后计算两点间距离。
【解析】
设正方形ABCD的坐标为：A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则对角线AC的方程为y=x，BD的方程为x+y=2，交点O为(1,1)。
正方形中∠BAC=45°，AE是∠BAC的平分线，故AE与AB（x轴）的夹角为22.5°，且tan22.5°=√2-1，因此AE的直线方程为y=(√2-1)x。
联立AE与BD的方程：
$\begin{cases}y=(\sqrt{2}-1)x \\x+y=2\end{cases}$
代入得：x + (√2-1)x=2 → √2 x=2 → x=√2，进而y=(√2-1)·√2=2-√2，即E点坐标为(√2,2-√2)。
根据两点间距离公式，D(0,2)与E(√2,2-√2)的距离：
$DE=\sqrt{(\sqrt{2}-0)^2 + (2-√2 -2)^2}=\sqrt{2 + 2}=2$
【答案】
2
【知识点】
正方形性质、角平分线性质、两点间距离
【点评】
本题将正方形的几何性质与坐标法结合，通过代数计算简化几何问题，需熟练掌握正方形的特征和坐标法的应用，是几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
15. 如图1,将面积为4的正方形分为①②③④四部分,分成的四部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD,则AB的长为
$\sqrt{5}-1$
。答案
15.$\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
首先，正方形面积为4，可算出其边长为2；拼成的矩形面积与正方形相等，故矩形面积为4。设AB的长为x，矩形的另一边长为y，根据图形拼接的边长关系，可知矩形的长比宽多正方形的边长，即$y = x + 2$，结合矩形面积公式联立方程即可求解。
【解析】
解：因为正方形的面积为4，所以正方形的边长为$\sqrt{4}=2$。
设矩形ABCD中AB的长为$x$，矩形的另一边长为$y$。
由图形拼接的关系可知，矩形的长$y = x + 2$，且矩形面积等于正方形面积，即$x · y = 4$。
将$y = x + 2$代入$x · y = 4$，得：
$x(x + 2) = 4$
整理得：$x^2 + 2x - 4 = 0$
用一元二次方程求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$），解得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 × 1 × (-4)}}{2 × 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
因为长度为正，舍去负根，故$x = \sqrt{5} - 1$，即AB的长为$\sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题利用图形拼接的面积不变性，结合几何边长关系建立代数方程求解，核心是找到矩形长与宽的数量关系，是几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
首先，正方形面积为4，可算出其边长为2；拼成的矩形面积与正方形相等，故矩形面积为4。设AB的长为x，矩形的另一边长为y，根据图形拼接的边长关系，可知矩形的长比宽多正方形的边长，即$y = x + 2$，结合矩形面积公式联立方程即可求解。
【解析】
解：因为正方形的面积为4，所以正方形的边长为$\sqrt{4}=2$。
设矩形ABCD中AB的长为$x$，矩形的另一边长为$y$。
由图形拼接的关系可知，矩形的长$y = x + 2$，且矩形面积等于正方形面积，即$x · y = 4$。
将$y = x + 2$代入$x · y = 4$，得：
$x(x + 2) = 4$
整理得：$x^2 + 2x - 4 = 0$
用一元二次方程求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$），解得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 × 1 × (-4)}}{2 × 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
因为长度为正，舍去负根，故$x = \sqrt{5} - 1$，即AB的长为$\sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题利用图形拼接的面积不变性，结合几何边长关系建立代数方程求解，核心是找到矩形长与宽的数量关系，是几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
16.(2025·奉化、象山、宁海)如图,在矩形ABCD中,AB=1,将△ABC沿对角线AC翻折,得到△AEC,CE交AD于点F,再将△AEF沿AF翻折,得到△AGF,GF交AC于点H,若AC平分∠DAG,则FH的长为________。
答案
16.$2-\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形、翻折的性质，利用角平分线的条件建立方程求出矩形边长，再通过坐标法求交点坐标，进而计算FH的长度。步骤如下：
1. 利用矩形和翻折的性质，确定各点坐标关系；
2. 根据AC平分∠DAG的条件，通过角平分线的向量共线性质求出矩形的边长AD；
3. 求出直线GF和AC的交点H的坐标，再计算FH的长度。
【解析】
建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(0,1)，C(b,1)，D(b,0)，则AB=1，AD=b。
1. 翻折△ABC沿AC得△AEC，求出点E关于AC的对称点，进而得到CE与AD的交点F的坐标为$(\frac{b^2+1}{2b},0)$；
2. 翻折△AEF沿AF得△AGF，点E关于AF（x轴）的对称点为G，坐标为$(\frac{2b}{b^2+1},\frac{b^2-1}{b^2+1})$；
3. 由AC平分∠DAG，利用角平分线的向量共线性质，得方程$b(b^2-1)=(b+1)^2$，解得$b=1+\sqrt{2}$（舍去负根）；
4. 代入b的值，得G$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，F$(\sqrt{2},0)$，直线GF的方程为$y=-x+\sqrt{2}$；
5. AC的直线方程为$y=(\sqrt{2}-1)x$，联立两方程得交点H(1,$\sqrt{2}-1$)；
6. 计算FH的长度：$FH=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+(0-(\sqrt{2}-1))^2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质、翻折变换、角平分线的性质
【点评】
本题结合坐标法与几何变换，通过翻折性质和角平分线条件建立方程求解边长，再计算线段长度，综合性较强，需熟练掌握几何图形的坐标表示与方程联立方法。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形、翻折的性质，利用角平分线的条件建立方程求出矩形边长，再通过坐标法求交点坐标，进而计算FH的长度。步骤如下：
1. 利用矩形和翻折的性质，确定各点坐标关系；
2. 根据AC平分∠DAG的条件，通过角平分线的向量共线性质求出矩形的边长AD；
3. 求出直线GF和AC的交点H的坐标，再计算FH的长度。
【解析】
建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(0,1)，C(b,1)，D(b,0)，则AB=1，AD=b。
1. 翻折△ABC沿AC得△AEC，求出点E关于AC的对称点，进而得到CE与AD的交点F的坐标为$(\frac{b^2+1}{2b},0)$；
2. 翻折△AEF沿AF得△AGF，点E关于AF（x轴）的对称点为G，坐标为$(\frac{2b}{b^2+1},\frac{b^2-1}{b^2+1})$；
3. 由AC平分∠DAG，利用角平分线的向量共线性质，得方程$b(b^2-1)=(b+1)^2$，解得$b=1+\sqrt{2}$（舍去负根）；
4. 代入b的值，得G$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，F$(\sqrt{2},0)$，直线GF的方程为$y=-x+\sqrt{2}$；
5. AC的直线方程为$y=(\sqrt{2}-1)x$，联立两方程得交点H(1,$\sqrt{2}-1$)；
6. 计算FH的长度：$FH=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+(0-(\sqrt{2}-1))^2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质、翻折变换、角平分线的性质
【点评】
本题结合坐标法与几何变换，通过翻折性质和角平分线条件建立方程求解边长，再计算线段长度，综合性较强，需熟练掌握几何图形的坐标表示与方程联立方法。
【难度系数】
0.5
17.(4分)(2025·台州椒江)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,CE//BD。求证:四边形OCED是矩形。
答案
17.证明:因为$DE// AC,CE// BD$,所以四边形OCED是平行四边形,又因为四边形ABCD是菱形,所以$AC⊥ BD$,所以$∠ DOC=90°$,所以四边形OCED是矩形。
解析
【分析】
要证明四边形OCED是矩形，需先证明它是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质，得到该平行四边形有一个内角为直角，进而根据矩形的判定定理完成证明。
【解析】
证明：
1. 因为 $ DE // AC $，$ CE // BD $，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形OCED是平行四边形；
2. 又因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直”，所以 $ AC ⊥ BD $，即 $ ∠ DOC = 90° $；
3. 根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得四边形OCED是矩形。
【答案】
证明：因为$ DE// AC,CE// BD $，所以四边形OCED是平行四边形，又因为四边形ABCD是菱形，所以$ AC⊥ BD $，所以$ ∠ DOC=90° $，所以四边形OCED是矩形。
【知识点】
矩形的判定、菱形的性质
【点评】
本题结合菱形的性质与平行四边形、矩形的判定定理进行几何证明，属于基础几何题型，重点考查对特殊四边形性质和判定的掌握，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.5
要证明四边形OCED是矩形，需先证明它是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质，得到该平行四边形有一个内角为直角，进而根据矩形的判定定理完成证明。
【解析】
证明：
1. 因为 $ DE // AC $，$ CE // BD $，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形OCED是平行四边形；
2. 又因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直”，所以 $ AC ⊥ BD $，即 $ ∠ DOC = 90° $；
3. 根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得四边形OCED是矩形。
【答案】
证明：因为$ DE// AC,CE// BD $，所以四边形OCED是平行四边形，又因为四边形ABCD是菱形，所以$ AC⊥ BD $，所以$ ∠ DOC=90° $，所以四边形OCED是矩形。
【知识点】
矩形的判定、菱形的性质
【点评】
本题结合菱形的性质与平行四边形、矩形的判定定理进行几何证明，属于基础几何题型，重点考查对特殊四边形性质和判定的掌握，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.5
