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6.(2025·杭州余杭、临平)顺次连结一个四边形各边中点得到的四边形叫作这个四边形的中点四边形,如果一个四边形的中点四边形是矩形,那么原四边形的对角线需满足的条件是 (
A.互相平分且相等
B.互相平分且垂直
C.相等
D.互相垂直
D
)A.互相平分且相等
B.互相平分且垂直
C.相等
D.互相垂直
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合三角形中位线定理推导中点四边形与原四边形对角线的关系：首先，顺次连接四边形各边中点得到的中点四边形，其边均为原四边形对角线对应的三角形中位线，根据中位线性质可知中点四边形是平行四边形；再根据矩形的判定（平行四边形为矩形需邻边垂直），即可反推原四边形对角线需满足的条件。
【解析】
设原四边形为ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。
根据三角形中位线定理：
1. EF是△ABC的中位线，故EF//AC，且EF = 1/2 AC；
2. GH是△ADC的中位线，故GH//AC，且GH = 1/2 AC；
因此EF//GH且EF = GH，四边形EFGH是平行四边形。
要使平行四边形EFGH为矩形，需满足邻边垂直，即EF⊥EH。
又EH是△ABD的中位线，故EH//BD，因此EF⊥EH等价于AC⊥BD，即原四边形的对角线互相垂直。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、中点四边形性质
【点评】
本题考查中点四边形的性质，核心是利用三角形中位线定理推导中点四边形与原四边形对角线的关系，属于初中几何基础题型，需掌握中位线性质和特殊四边形的判定条件。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合三角形中位线定理推导中点四边形与原四边形对角线的关系：首先，顺次连接四边形各边中点得到的中点四边形，其边均为原四边形对角线对应的三角形中位线，根据中位线性质可知中点四边形是平行四边形；再根据矩形的判定（平行四边形为矩形需邻边垂直），即可反推原四边形对角线需满足的条件。
【解析】
设原四边形为ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。
根据三角形中位线定理：
1. EF是△ABC的中位线，故EF//AC，且EF = 1/2 AC；
2. GH是△ADC的中位线，故GH//AC，且GH = 1/2 AC；
因此EF//GH且EF = GH，四边形EFGH是平行四边形。
要使平行四边形EFGH为矩形，需满足邻边垂直，即EF⊥EH。
又EH是△ABD的中位线，故EH//BD，因此EF⊥EH等价于AC⊥BD，即原四边形的对角线互相垂直。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、中点四边形性质
【点评】
本题考查中点四边形的性质，核心是利用三角形中位线定理推导中点四边形与原四边形对角线的关系，属于初中几何基础题型，需掌握中位线性质和特殊四边形的判定条件。
【难度系数】
0.5
7.(2025·杭州钱塘)如图,在菱形ABCD中,点E在AD上,连结BE,CE,BA=BE。设∠A=α,∠DCE=β,则α,β关系正确的是
(
A.$3α - 2β = 180°$
B.$2α - 3β = 180°$
C.$α + 2β = 90°$
D.$2α + β = 90°$
(
A
)A.$3α - 2β = 180°$
B.$2α - 3β = 180°$
C.$α + 2β = 90°$
D.$2α + β = 90°$
答案
7.A
解析
【分析】
本题需结合菱形、等腰三角形的性质推导角的关系：首先利用菱形的性质得到边和角的关系，再通过等腰三角形的性质得到对应角相等，结合平行线的内错角相等，最后利用三角形内角和建立α与β的等式，化简得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD//BC，∠A=∠BCD=α（菱形对角相等，四边相等）。
∵BA=BE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠AEB=∠A=α。
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC=α（两直线平行，内错角相等）。
又
∵BE=AB=BC，
∴△BCE为等腰三角形，
∴∠BCE=∠BEC。
在△BCE中，根据三角形内角和为180°：
∠EBC + ∠BCE + ∠BEC=180°，即α + 2∠BCE=180°，
解得∠BCE=(180° - α)/2。
又
∵∠BCD=∠BCE + ∠DCE，即α=(180° - α)/2 + β，
两边同乘2得：2α=180° - α + 2β，整理得3α - 2β=180°。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查菱形与等腰三角形的性质，核心是利用平行线的内错角相等、等腰三角形的等边对等角，结合三角形内角和建立角的关系，需理清各角的和差逻辑，属于几何中等难度题型。
【难度系数】
0.5
本题需结合菱形、等腰三角形的性质推导角的关系：首先利用菱形的性质得到边和角的关系，再通过等腰三角形的性质得到对应角相等，结合平行线的内错角相等，最后利用三角形内角和建立α与β的等式，化简得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD//BC，∠A=∠BCD=α（菱形对角相等，四边相等）。
∵BA=BE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠AEB=∠A=α。
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC=α（两直线平行，内错角相等）。
又
∵BE=AB=BC，
∴△BCE为等腰三角形，
∴∠BCE=∠BEC。
在△BCE中，根据三角形内角和为180°：
∠EBC + ∠BCE + ∠BEC=180°，即α + 2∠BCE=180°，
解得∠BCE=(180° - α)/2。
又
∵∠BCD=∠BCE + ∠DCE，即α=(180° - α)/2 + β，
两边同乘2得：2α=180° - α + 2β，整理得3α - 2β=180°。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查菱形与等腰三角形的性质，核心是利用平行线的内错角相等、等腰三角形的等边对等角，结合三角形内角和建立角的关系，需理清各角的和差逻辑，属于几何中等难度题型。
【难度系数】
0.5
8.(2024·衢州)用直尺和圆规在一个矩形内作菱形ABCD,下列作法中,错误的是 (
B
)答案
8.B
解析
【分析】要判断矩形内所作四边形是否为菱形，需结合菱形的判定定理（四边相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形等），分析各选项尺规作图得到的四边形的边或角的关系，判断是否满足菱形条件。
【解析】
选项A：尺规作图作出AC的垂直平分线，交矩形边于B、D，可得AB=BC，AD=DC；结合矩形对边平行且相等，推得AB//CD且AB=CD，AD//BC且AD=BC，故四边形ABCD是平行四边形，又AB=BC，因此是菱形，作法正确。
选项B：该作图是作∠BAC和∠DCA的角平分线，得到的四边形ABCD仅满足AB//CD、AD//BC（为平行四边形），但无法保证四边相等，不满足菱形的判定条件，作法错误。
选项C：通过尺规作弧，使AB=AD=BC=CD，四边相等，故四边形ABCD是菱形，作法正确。
选项D：作图得到AB=AD，结合AC的垂直关系，可推得四边相等，四边形ABCD是菱形，作法正确。
【答案】B
【知识点】菱形的判定、尺规作图
【点评】本题结合矩形考查菱形的判定，需理解尺规作图的原理，逐一分析各选项得到的四边形是否符合菱形的判定条件，属于基础几何作图题。
【难度系数】0.5
【解析】
选项A：尺规作图作出AC的垂直平分线，交矩形边于B、D，可得AB=BC，AD=DC；结合矩形对边平行且相等，推得AB//CD且AB=CD，AD//BC且AD=BC，故四边形ABCD是平行四边形，又AB=BC，因此是菱形，作法正确。
选项B：该作图是作∠BAC和∠DCA的角平分线，得到的四边形ABCD仅满足AB//CD、AD//BC（为平行四边形），但无法保证四边相等，不满足菱形的判定条件，作法错误。
选项C：通过尺规作弧，使AB=AD=BC=CD，四边相等，故四边形ABCD是菱形，作法正确。
选项D：作图得到AB=AD，结合AC的垂直关系，可推得四边相等，四边形ABCD是菱形，作法正确。
【答案】B
【知识点】菱形的判定、尺规作图
【点评】本题结合矩形考查菱形的判定，需理解尺规作图的原理，逐一分析各选项得到的四边形是否符合菱形的判定条件，属于基础几何作图题。
【难度系数】0.5
9.(2025·宁波海曙)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作$EF⊥AC$,分别交边AD,BC于点E,F。已知$CD=4\ \mathrm{cm},CF=5\ \mathrm{cm}$,则矩形ABCD的面积为 （
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$28\ \mathrm{cm}^2$
C.$32\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$28\ \mathrm{cm}^2$
C.$32\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
答案
9.C
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质、垂直平分线的性质及勾股定理推导。首先利用矩形对角线互相平分的特点，结合EF垂直AC的条件，得到EF是AC的垂直平分线，进而推出线段相等；再通过全等三角形得到相关线段长度，最后用勾股定理求出矩形的边长，计算面积。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=90°，AD//BC，OA=OC（矩形对角线互相平分），
∵ EF⊥AC，
∴ EF是AC的垂直平分线，
∴ AE=CE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∵ AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ AE=CF=5cm，
∴ CE=AE=5cm，
在Rt△EDC中，CD=4cm，CE=5cm，
由勾股定理得：$ED=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{5^2 -4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ AD=AE + ED=5+3=8cm，
矩形ABCD的面积=AD×CD=8×4=32$\mathrm{cm}^2$，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、垂直平分线性质、勾股定理
【点评】
本题综合运用矩形、垂直平分线的性质及勾股定理，关键是通过全等三角形和垂直平分线得到线段关系，进而求出矩形边长，难度中等，需掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形的性质、垂直平分线的性质及勾股定理推导。首先利用矩形对角线互相平分的特点，结合EF垂直AC的条件，得到EF是AC的垂直平分线，进而推出线段相等；再通过全等三角形得到相关线段长度，最后用勾股定理求出矩形的边长，计算面积。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=90°，AD//BC，OA=OC（矩形对角线互相平分），
∵ EF⊥AC，
∴ EF是AC的垂直平分线，
∴ AE=CE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∵ AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ AE=CF=5cm，
∴ CE=AE=5cm，
在Rt△EDC中，CD=4cm，CE=5cm，
由勾股定理得：$ED=\sqrt{CE^2 - CD^2}=\sqrt{5^2 -4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ AD=AE + ED=5+3=8cm，
矩形ABCD的面积=AD×CD=8×4=32$\mathrm{cm}^2$，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、垂直平分线性质、勾股定理
【点评】
本题综合运用矩形、垂直平分线的性质及勾股定理，关键是通过全等三角形和垂直平分线得到线段关系，进而求出矩形边长，难度中等，需掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.5
10.(2025·奉化、象山、宁海)如图,在正方形ABCD内有一点E,且$AD=DE$,连结AE,BE,CE,要求$△ ABE$的面积,只需要知道下列哪条线段的长 （
A.AE
B.BE
C.CE
D.DE
A
）A.AE
B.BE
C.CE
D.DE
答案
10.A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用正方形的性质，结合坐标法推导△ABE的面积与各线段的关系，明确解题核心是找到面积与目标线段的直接关联。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，建立平面直角坐标系：令$A(0,a)$，$B(0,0)$，$C(a,0)$，$D(a,a)$。
由正方形性质得$AD=AB=a$，已知$AD=DE$，故$DE=a$，即点$E$满足到$D(a,a)$的距离为$a$，坐标满足方程：$(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$。
△ABE的面积：以$AB$为底，$AB=a$，点$E(x,y)$到$AB$（直线$x=0$）的距离为$|x|$，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × a × |x|$。
再看线段$AE$的长度：$AE=\sqrt{x^2 + (y - a)^2}$，即$AE^2=x^2 + (y - a)^2$。
将$DE$的方程展开：$x^2 - 2ax + a^2 + (y - a)^2 = a^2$，整理得$x^2 + (y - a)^2 = 2ax$，代入$AE^2$的表达式得：$AE^2=2ax$，即$x=\frac{AE^2}{2a}$。
把$x=\frac{AE^2}{2a}$代入面积公式，得$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × a × \frac{AE^2}{2a}=\frac{AE^2}{4}$，因此只需知道$AE$的长度即可求出△ABE的面积。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、三角形面积计算、坐标法
【点评】
本题通过坐标法将几何关系转化为代数运算，清晰推导面积与线段的关联，核心是利用正方形边长相等和等腰三角形的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以利用正方形的性质，结合坐标法推导△ABE的面积与各线段的关系，明确解题核心是找到面积与目标线段的直接关联。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，建立平面直角坐标系：令$A(0,a)$，$B(0,0)$，$C(a,0)$，$D(a,a)$。
由正方形性质得$AD=AB=a$，已知$AD=DE$，故$DE=a$，即点$E$满足到$D(a,a)$的距离为$a$，坐标满足方程：$(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$。
△ABE的面积：以$AB$为底，$AB=a$，点$E(x,y)$到$AB$（直线$x=0$）的距离为$|x|$，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × a × |x|$。
再看线段$AE$的长度：$AE=\sqrt{x^2 + (y - a)^2}$，即$AE^2=x^2 + (y - a)^2$。
将$DE$的方程展开：$x^2 - 2ax + a^2 + (y - a)^2 = a^2$，整理得$x^2 + (y - a)^2 = 2ax$，代入$AE^2$的表达式得：$AE^2=2ax$，即$x=\frac{AE^2}{2a}$。
把$x=\frac{AE^2}{2a}$代入面积公式，得$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × a × \frac{AE^2}{2a}=\frac{AE^2}{4}$，因此只需知道$AE$的长度即可求出△ABE的面积。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、三角形面积计算、坐标法
【点评】
本题通过坐标法将几何关系转化为代数运算，清晰推导面积与线段的关联，核心是利用正方形边长相等和等腰三角形的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
