23.(8分)(2025·天台)如图1,在正方形ABCD中,AB=4,E是对角线AC上的动点$(AE＜2\sqrt{2})$,连结BE,DE。
(1)求证:$BE=DE$。(3分)
(2)如图2,在BC上取点F,使$BE=EF$。
①试判断DE与EF的位置关系,并说明理由。(3分)
②若$EF=\frac{\sqrt{10}}{2}BF$,则四边形CDEF的面积为________。(2分)

23.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以$AB=AD$,$∠ BAE=∠ DAE$,又因为$AE=AE$,所以$△ BAE≌△ DAE(\mathrm{SAS})$,所以$BE=DE$。(或连结BD,得AC垂直平分BD,从而得到$BE=DE$)
(2)①解:$DE⊥ EF$。理由如下:如图,过点E作$EM⊥ BC$于点M,延长ME交AD于点N,则$EN⊥ AE$,因为四边形ABCD是正方形,所以$AB⊥ AD$,$∠ BAE=∠ DAE=45°$,所以$AN=EN$,所以$∠ EMF=∠ DNE=90°$,$EM=DN$,因为$BE=EF$,$EM⊥ BC$,所以$FM=BM=AN=EN$,即$MF=EN$,所以$△ EMF≌△ DNE$,所以$∠ MEF=∠ NDE$,所以$∠ NED+∠ MEF=∠ NED+∠ EDN=90°$,所以$∠ FED=90°$,即$DE⊥ EF$。
②9

【分析】
本题是正方形相关的几何综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问要证BE=DE，利用正方形的边和角相等，结合SAS证明△BAE≌△DAE，即可得BE=DE；
2. 第(2)①问要判断DE与EF的位置关系，通过作辅助线构造全等三角形，利用正方形的性质和等腰三角形三线合一，证明△EMF≌△DNE，进而推导角的关系得出垂直；
3. 第(2)②问通过设未知数，结合勾股定理和已知的EF与BF的关系，求出相关线段长度，再计算四边形CDEF的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，
在△BAE和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠BAE=∠DAE\\AE=AE\end{array} $
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE=DE。
(2) ① DE⊥EF，理由如下：
如图，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB⊥AD，AB⊥BC，
∴EN⊥AD，EM⊥BC，
∴∠ANM=∠EMF=∠DNE=90°，
又
∵∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AN=EN，
∵EM⊥BC，AB⊥BC，
∴AB//EM，
∴BM=AN，
∵BE=EF，EM⊥BC，
∴根据等腰三角形三线合一，FM=BM，
∴FM=BM=AN=EN，
又
∵DN=AD - AN，EM=AB - BM，AD=AB，AN=BM，
∴DN=EM，
在△EMF和△DNE中，
$\{\begin{array}{l}EM=DN\\∠EMF=∠DNE\\FM=EN\end{array} $
∴△EMF≌△DNE（SAS），
∴∠MEF=∠NDE，
∵∠NDE + ∠NED=90°，
∴∠MEF + ∠NED=90°，
∴∠DEF=90°，即DE⊥EF。
② 设BF=x，由题意得EF=$\frac{\sqrt{10}}{2}BF=\frac{\sqrt{10}}{2}x$，
∵BE=EF，
∴BE=$\frac{\sqrt{10}}{2}x$，
设BM=y，由EM⊥BC，BE=EF，得FM=BM=y，
∴BF=BM + FM=2y，即x=2y，y=$\frac{x}{2}$，
在Rt△BEM中，EM=AB - BM=4 - y=4 - $\frac{x}{2}$，
由勾股定理得：BE²=BM² + EM²，
即$(\frac{\sqrt{10}}{2}x)^2 = (\frac{x}{2})^2 + (4 - \frac{x}{2})^2$，
化简得：$x² +2x -8=0$，解得x=2（x=-4舍去），
通过坐标法或分割法计算得四边形CDEF的面积为9。
【答案】9
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，需通过辅助线构造全等三角形推导关系，计算面积时结合方程思想，综合性较强，能较好考查学生的逻辑推理与运算能力。
【难度系数】0.5

24.(10分)(2024·衢州)如图1,O为矩形ABCD对角线AC的中点,AB=4,BC=8,E为边BC上一点,连结EO并延长,交AD于点F。四边形ABEF与四边形$A_1B_1EF$关于EF所在直线成轴对称,线段$FA_1$交边BC于点H,连结OH。
(1)求证:$OH ⊥ EF$。(4分)
(2)若$BE=1$,求$FD,EH$的长。(4分)
(3)如图2,连结$OB_1$。若$OH=OB_1$,求BE的长。(2分)

24.(1)证明:如图1,在矩形ABCD中,$AD// BC$,则$∠1=∠2$。因为O为矩形ABCD对角线AC的中点,所以$AO=CO$,又因为$∠ AOF=∠ COE$,所以$△ AOF≌△ COE(\mathrm{AAS})$。所以$OE=OF$,O为EF的中点。因为四边形ABEF与四边形$A_1B_1EF$关于EF所在直线成轴对称,所以$∠1=∠3$,所以$∠2=∠3$。所以$EH=FH$,又因为O为EF的中点,所以$OH⊥ EF$。
(2)解:由(1)得$△ AOF≌△ COE$,故$AF=EC=BC-BE=7$,$FD=BE=1$。设$EH=x$,则$FH=x$,$HC=7-x$。如图1,过点F作$FG⊥ BC$于点G,则四边形FGCD为矩形,$CG=FD=1$,$FG=CD=AB=4$。所以$HG=6-x$。因为在$\mathrm{Rt}△ FHG$中,$FH^2=HG^2+FG^2$,即$x^2=(6-x)^2+4^2$,解得$x=\frac{13}{3}$,所以$EH=\frac{13}{3}$。
(3)解:因为$OB_1=OB=OA=OA_1=OC$,所以当点C,H,$A_1$重合时,$OH=OB_1=2\sqrt{5}$。如图2,连结AE,易得$AE=EC$。设$BE=y$,因为在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE^2=AB^2+BE^2$,即$(8-y)^2=4^2+y^2$,解得$y=3$,即$BE=3$。

【分析】
本题是矩形与轴对称结合的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要证$OH⊥EF$，需先利用矩形性质和全等三角形证明$O$是$EF$中点，再结合轴对称性质得到$△ HEF$为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得结论；
(2) 利用(1)中全等三角形得$AF=EC$，计算$FD$；再设$EH=x$，通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理列方程求解$EH$；
(3) 利用矩形对角线中点的性质和轴对称得$OB_1=OB$，结合$OH=OB_1$找到$AE=EC$，再用勾股定理列方程求$BE$。
【解析】
(1) 证明：在矩形$ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\because O$为$AC$中点，$\therefore AO=CO$。
在$△ AOF$和$△ COE$中，$\begin{cases}∠ 1=∠ 2 \\ AO=CO \\ ∠ AOF=∠ COE\end{cases}$，
$\therefore △ AOF≌△ COE(\mathrm{AAS})$，$\therefore OE=OF$，即$O$为$EF$中点。
$\because$四边形$ABEF$与$A_1B_1EF$关于$EF$对称，$\therefore ∠ 1=∠ 3$，$\therefore ∠ 2=∠ 3$，$\therefore EH=FH$，即$△ HEF$为等腰三角形。
又$O$为$EF$中点，$\therefore OH⊥EF$。
(2) 解：由(1)中$△ AOF≌△ COE$，得$AF=EC$。
$\because BE=1$，$BC=8$，$\therefore EC=BC-BE=7$，$\therefore AF=7$。
$\because AD=BC=8$，$\therefore FD=AD-AF=8-7=1$。
设$EH=x$，则$FH=x$，$HC=7-x$。过$F$作$FG⊥BC$于$G$，则四边形$FGCD$为矩形，$FG=AB=4$，$CG=FD=1$，$\therefore HG=BC-BE-EH-CG=8-1-x-1=6-x$。
在$\mathrm{Rt}△ FHG$中，由勾股定理得：$FH^2=HG^2+FG^2$，即$x^2=(6-x)^2+4^2$，
展开得$x^2=36-12x+x^2+16$，化简得$12x=52$，解得$x=\frac{13}{3}$，$\therefore EH=\frac{13}{3}$。
(3) 解：$\because O$为矩形$ABCD$对角线$AC$中点，$\therefore OB=OA=OC=\frac{1}{2}AC$，由轴对称得$OB_1=OB$，又$OH=OB_1$，$\therefore OH=OB=OC$，此时$H$与$C$重合，$A_1$与$C$重合，故$EC=AE$。
设$BE=y$，则$AE=EC=8-y$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：$AE^2=AB^2+BE^2$，即$(8-y)^2=4^2+y^2$，
展开得$64-16y+y^2=16+y^2$，化简得$16y=48$，解得$y=3$，$\therefore BE=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $FD=1$，$EH=\frac{13}{3}$；
(3) $BE=3$；


【知识点】
矩形性质、轴对称性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、轴对称、全等三角形、等腰三角形及勾股定理的应用，需灵活运用几何性质进行逻辑推理，是一道中等难度的几何综合题，对学生的几何知识整合能力要求较高。
【难度系数】
0.5