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一、选择题
1.(2024·金华金东、婺城)《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一,奠定了我国传统数学的基本框架,其中方程术是《九章算术》最高的数学成就。《九章算术》记载:"今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈。问户高、广各几何?"大意是:有一扇形状是矩形的门,它的高比宽多6尺8寸,它的对角线长1丈,问它的高与宽各是多少(1丈=10尺,1尺=10寸)?设矩形门宽为x尺,则所列方程为 (
A.$x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$
B.$x^{2}+(x-6.8)^{2}=10^{2}$
C.$(x+6.8)^{2}-x^{2}=10^{2}$
D.$x^{2}+6.8^{2}=10^{2}$
1.(2024·金华金东、婺城)《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一,奠定了我国传统数学的基本框架,其中方程术是《九章算术》最高的数学成就。《九章算术》记载:"今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈。问户高、广各几何?"大意是:有一扇形状是矩形的门,它的高比宽多6尺8寸,它的对角线长1丈,问它的高与宽各是多少(1丈=10尺,1尺=10寸)?设矩形门宽为x尺,则所列方程为 (
A
)A.$x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$
B.$x^{2}+(x-6.8)^{2}=10^{2}$
C.$(x+6.8)^{2}-x^{2}=10^{2}$
D.$x^{2}+6.8^{2}=10^{2}$
答案
1.A
解析
【分析】
首先明确题目中的单位换算：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。设矩形门宽为x尺，根据“高比宽多6.8尺”可知高为(x+6.8)尺；门是矩形，其宽、高与对角线构成直角三角形，需利用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程，据此判断选项。
【解析】
解：先统一单位：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。
设矩形门宽为x尺，则高为(x+6.8)尺。
因为矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，根据勾股定理可得：
宽的平方 + 高的平方 = 对角线的平方，即 $x^2 + (x+6.8)^2 = 10^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合古代数学著作的实际背景，考查勾股定理的应用，关键是找准直角三角形的三边对应关系，注意单位换算，属于基础应用类题目，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中的单位换算：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。设矩形门宽为x尺，根据“高比宽多6.8尺”可知高为(x+6.8)尺；门是矩形，其宽、高与对角线构成直角三角形，需利用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程，据此判断选项。
【解析】
解：先统一单位：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。
设矩形门宽为x尺，则高为(x+6.8)尺。
因为矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，根据勾股定理可得：
宽的平方 + 高的平方 = 对角线的平方，即 $x^2 + (x+6.8)^2 = 10^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合古代数学著作的实际背景，考查勾股定理的应用，关键是找准直角三角形的三边对应关系，注意单位换算，属于基础应用类题目，难度不大。
【难度系数】
0.7
2.(2025·兰溪、浦江)为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为$480\ \mathrm{m}^2$的长方形场地作为劳动基地。若长方形场地的一边靠墙(墙足够长)，另外三边由总长为$70\ \mathrm{m}$的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为$1\ \mathrm{m}$的进出门(如图)。设靠墙的长方形边长为$x\ \mathrm{m}$，则下列方程正确的是（
A.$x(72-2x)=480$
B.$x(68-2x)=480$
C.$x(72-x)=480$
D.$x(68-x)=480$
A
）A.$x(72-2x)=480$
B.$x(68-2x)=480$
C.$x(72-x)=480$
D.$x(68-x)=480$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决本题，需先明确各边的长度关系：首先结合图形，垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，靠墙的边为平行于墙的边。由于三边篱笆总长70m，且平行于墙的边上有2个各宽1m的门，因此篱笆总长度等于2条垂直于墙的边长加上（平行于墙的边长减去两个门的宽度），据此推导出平行于墙的边长的表达式，再结合长方形面积公式列出方程，即可选出正确选项。
【解析】
设垂直于墙的长方形边长为$x\ \mathrm{m}$，平行于墙的边长（即靠墙的边长）为$L\ \mathrm{m}$。
根据题意，三边篱笆总长为70m，平行于墙的边上有2个宽1m的门，因此篱笆长度满足：
$2x + (L - 2×1) = 70$
整理得：$L = 70 - 2x + 2 = 72 - 2x$
已知长方形场地面积为$480\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，可得：
$x · L = 480$
将$L=72-2x$代入，得到方程：$x(72 - 2x)=480$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积
【点评】
本题结合实际劳动场景考查一元二次方程的应用，核心是理清篱笆长度与各边的关系，注意扣除门的宽度，避免计算错误，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确各边的长度关系：首先结合图形，垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，靠墙的边为平行于墙的边。由于三边篱笆总长70m，且平行于墙的边上有2个各宽1m的门，因此篱笆总长度等于2条垂直于墙的边长加上（平行于墙的边长减去两个门的宽度），据此推导出平行于墙的边长的表达式，再结合长方形面积公式列出方程，即可选出正确选项。
【解析】
设垂直于墙的长方形边长为$x\ \mathrm{m}$，平行于墙的边长（即靠墙的边长）为$L\ \mathrm{m}$。
根据题意，三边篱笆总长为70m，平行于墙的边上有2个宽1m的门，因此篱笆长度满足：
$2x + (L - 2×1) = 70$
整理得：$L = 70 - 2x + 2 = 72 - 2x$
已知长方形场地面积为$480\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，可得：
$x · L = 480$
将$L=72-2x$代入，得到方程：$x(72 - 2x)=480$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积
【点评】
本题结合实际劳动场景考查一元二次方程的应用，核心是理清篱笆长度与各边的关系，注意扣除门的宽度，避免计算错误，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
3.(2024·宁波江北)公元9世纪,阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法:如图,先构造边长为$ x $的正方形$ ABCD $,再分别以$ BC,CD $为边作另一边长为5的长方形,最后得到面积为64的正方形$ AEGH $。则能列出关于$ x $的一元二次方程是
（
A.$ x^{2}+10x=25 $
B.$ x^{2}+10x=39 $
C.$ x^{2}+10x=64 $
D.$ x^{2}+10x=89 $
（
B
）A.$ x^{2}+10x=25 $
B.$ x^{2}+10x=39 $
C.$ x^{2}+10x=64 $
D.$ x^{2}+10x=89 $
答案
3.B
解析
【分析】
要列出关于$ x $的一元二次方程，需结合图形面积关系推导。观察图形可知，大正方形$ AEGH $的边长为$ x+5 $，其面积既可以用正方形面积公式表示为$(x+5)^2$，也可拆分为小正方形、长方形和小正方形的面积和，据此建立等式整理即可得到所求方程。
【解析】
解：由图形得，大正方形$ AEGH $的边长为$ x+5 $，根据正方形面积公式，大正方形面积为$(x+5)^2$。
已知大正方形面积为64，因此列等式：
$(x+5)^2 = 64$
展开左边：
$x^2 + 10x + 25 = 64$
移项整理：
$x^2 + 10x = 64 - 25 = 39$
故所求方程为$x^2 + 10x = 39$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形面积关系推导一元二次方程，体现了数形结合思想，解题关键是正确表示大正方形面积，建立等式后整理即可。
【难度系数】
0.5
要列出关于$ x $的一元二次方程，需结合图形面积关系推导。观察图形可知，大正方形$ AEGH $的边长为$ x+5 $，其面积既可以用正方形面积公式表示为$(x+5)^2$，也可拆分为小正方形、长方形和小正方形的面积和，据此建立等式整理即可得到所求方程。
【解析】
解：由图形得，大正方形$ AEGH $的边长为$ x+5 $，根据正方形面积公式，大正方形面积为$(x+5)^2$。
已知大正方形面积为64，因此列等式：
$(x+5)^2 = 64$
展开左边：
$x^2 + 10x + 25 = 64$
移项整理：
$x^2 + 10x = 64 - 25 = 39$
故所求方程为$x^2 + 10x = 39$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形面积关系推导一元二次方程，体现了数形结合思想，解题关键是正确表示大正方形面积，建立等式后整理即可。
【难度系数】
0.5
