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二、填空题
4.(2024·东阳)某放射性元素经2天后,质量衰变为原来的$\frac{1}{2}$。设这种放射性元素质量的日平均减少率为$x$,则可列出的方程为
4.(2024·东阳)某放射性元素经2天后,质量衰变为原来的$\frac{1}{2}$。设这种放射性元素质量的日平均减少率为$x$,则可列出的方程为
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
。答案
4.$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
解析
【分析】首先明确日平均减少率的含义：每天该放射性元素的质量是前一天的$(1-x)$倍；经过2天，质量变为初始质量的$(1-x)^2$倍；结合题目中“2天后质量衰变为原来的$\frac{1}{2}$”的条件，即可建立等量关系列出方程。
【解析】设该放射性元素初始质量为单位1，日平均减少率为$x$，则经过1天后，剩余质量为$1×(1-x)$；经过2天后，剩余质量为$1×(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$。已知2天后质量为原来的$\frac{1}{2}$，因此可列出方程：$(1-x)^2=\frac{1}{2}$。
【答案】$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
【知识点】一元二次方程的应用、衰减率问题
【点评】本题是一元二次方程在实际场景中的基础应用，核心是掌握衰减率的计算规律，即经过$n$次变化后，剩余量为初始量乘以$(1-x)^n$，属于难度较低的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】设该放射性元素初始质量为单位1，日平均减少率为$x$，则经过1天后，剩余质量为$1×(1-x)$；经过2天后，剩余质量为$1×(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$。已知2天后质量为原来的$\frac{1}{2}$，因此可列出方程：$(1-x)^2=\frac{1}{2}$。
【答案】$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
【知识点】一元二次方程的应用、衰减率问题
【点评】本题是一元二次方程在实际场景中的基础应用，核心是掌握衰减率的计算规律，即经过$n$次变化后，剩余量为初始量乘以$(1-x)^n$，属于难度较低的基础题型。
【难度系数】0.6
5.(2024·温州)从地面竖直向上抛出一小球，t(秒)后小球的高度h(米)适用公式$h=30t-5t^2$，那么经过
6
秒后，小球回到地面。答案
5.6
解析
【解析】
解：小球回到地面时，高度h=0，将h=0代入公式$h=30t-5t^2$，可得方程：
$30t-5t^2=0$
提取公因式得：$5t(6-t)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=6$
其中t=0是小球刚被抛出的时刻，不符合“回到地面”的题意，舍去，因此t=6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用
【点评】
本题结合竖直上抛小球的实际场景考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确小球回到地面时高度h为0，求解后需要结合实际意义舍去不符合题意的初始时刻解，属于基础的二次函数实际应用类问题。
【难度系数】
0.8
解：小球回到地面时，高度h=0，将h=0代入公式$h=30t-5t^2$，可得方程：
$30t-5t^2=0$
提取公因式得：$5t(6-t)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=6$
其中t=0是小球刚被抛出的时刻，不符合“回到地面”的题意，舍去，因此t=6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用
【点评】
本题结合竖直上抛小球的实际场景考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确小球回到地面时高度h为0，求解后需要结合实际意义舍去不符合题意的初始时刻解，属于基础的二次函数实际应用类问题。
【难度系数】
0.8
6.(2025·宁波镇海)某直播间某种商品成本为50元/件,销售单价为60元/件时,每天可销售100件,销售单价高于60元时,每涨价1元,日销售量就减少2件。据此,当销售单价为
80
元时,该商品每天盈利最多。答案
6.80
解析
【分析】本题是利用二次函数解决利润最值的实际问题，解题思路为：先设定销售单价和盈利的变量，再根据“总盈利=单件利润×销售量”的关系，结合题目中单价与销售量的变化规律列出函数表达式，最后利用二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值）计算出使盈利最多的销售单价。
【解析】设销售单价为$ x $元，每天盈利为$ y $元。
1. 单件利润：每件商品成本50元，故单件利润为$ (x - 50) $元；
2. 销售量：单价60元时日销100件，单价高于60元时每涨1元销量减2件，因此销售量为$ 100 - 2(x - 60) = 220 - 2x $件；
3. 总盈利函数：$ y = (x - 50)(220 - 2x) $，展开整理得：
$ y = -2x^2 + 320x - 11000 $；
4. 求最值：该二次函数中$ a = -2 ＜ 0 $，图象开口向下，顶点处取最大值。顶点横坐标为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{320}{2×(-2)} = 80 $。
即当销售单价为80元时，每天盈利最多。
【答案】80
【知识点】二次函数的应用、利润问题
【点评】本题结合销售场景考查二次函数的最值应用，核心是正确建立盈利的函数关系，再利用二次函数顶点公式求解，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】0.6
【解析】设销售单价为$ x $元，每天盈利为$ y $元。
1. 单件利润：每件商品成本50元，故单件利润为$ (x - 50) $元；
2. 销售量：单价60元时日销100件，单价高于60元时每涨1元销量减2件，因此销售量为$ 100 - 2(x - 60) = 220 - 2x $件；
3. 总盈利函数：$ y = (x - 50)(220 - 2x) $，展开整理得：
$ y = -2x^2 + 320x - 11000 $；
4. 求最值：该二次函数中$ a = -2 ＜ 0 $，图象开口向下，顶点处取最大值。顶点横坐标为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{320}{2×(-2)} = 80 $。
即当销售单价为80元时，每天盈利最多。
【答案】80
【知识点】二次函数的应用、利润问题
【点评】本题结合销售场景考查二次函数的最值应用，核心是正确建立盈利的函数关系，再利用二次函数顶点公式求解，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】0.6
7.(2025·温岭)如图,有一个点阵,从上向下数有无数行,其中第一行有2个点,第二行有3个点……第n行有$(n+1)$个点……若前k行共有209个点,则k的值为________。
答案
7.19 解析:由题意得第k行有(k+1)个点,则前k行共有2+3+4+…+k+(k+1)=$\frac{[2+(k+1)]×k}{2}$=$\frac{(k+3)k}{2}$个点,所以有$\frac{(k+3)k}{2}$=209,解得k=19或-22(舍去)。
解析
【分析】
本题是等差数列求和的实际应用问题，解题思路为：先观察点阵每行的点数规律，得出第n行的点数为(n+1)个，进而确定前k行的点数总和是首项为2、末项为(k+1)、项数为k的等差数列的和；再利用等差数列求和公式列出关于k的方程，解方程后根据k为正整数舍去不符合题意的解，即可得到k的值。
【解析】
根据题意，第n行有$(n+1)$个点，因此前k行的点数是首项为2、末项为$(k+1)$、项数为k的等差数列。
由等差数列求和公式$S_n=\frac{(首项+末项)×项数}{2}$，可得前k行的总点数为：
$\frac{[2+(k+1)]×k}{2}=\frac{k(k+3)}{2}$
已知前k行共有209个点，因此列方程：
$\frac{k(k+3)}{2}=209$
整理得一元二次方程：$k^2+3k-418=0$
计算判别式$\Delta=3^2+4×418=1681=41^2$，解得：
$k=\frac{-3±41}{2}$
因为k为正整数，舍去负解，得$k=\frac{-3+41}{2}=19$。
【答案】
19
【知识点】
等差数列求和、一元二次方程应用
【点评】
本题结合点阵规律考查等差数列求和与一元二次方程的应用，核心是将点阵点数转化为等差数列求和问题，解方程时需注意舍去不符合实际意义的负根，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是等差数列求和的实际应用问题，解题思路为：先观察点阵每行的点数规律，得出第n行的点数为(n+1)个，进而确定前k行的点数总和是首项为2、末项为(k+1)、项数为k的等差数列的和；再利用等差数列求和公式列出关于k的方程，解方程后根据k为正整数舍去不符合题意的解，即可得到k的值。
【解析】
根据题意，第n行有$(n+1)$个点，因此前k行的点数是首项为2、末项为$(k+1)$、项数为k的等差数列。
由等差数列求和公式$S_n=\frac{(首项+末项)×项数}{2}$，可得前k行的总点数为：
$\frac{[2+(k+1)]×k}{2}=\frac{k(k+3)}{2}$
已知前k行共有209个点，因此列方程：
$\frac{k(k+3)}{2}=209$
整理得一元二次方程：$k^2+3k-418=0$
计算判别式$\Delta=3^2+4×418=1681=41^2$，解得：
$k=\frac{-3±41}{2}$
因为k为正整数，舍去负解，得$k=\frac{-3+41}{2}=19$。
【答案】
19
【知识点】
等差数列求和、一元二次方程应用
【点评】
本题结合点阵规律考查等差数列求和与一元二次方程的应用，核心是将点阵点数转化为等差数列求和问题，解方程时需注意舍去不符合实际意义的负根，难度适中。
【难度系数】
0.5
三、解答题
8.(2024·诸暨)诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一,特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名,每年四五月份大量上市。据某采摘基地了解:正常情况下,樱桃售价为每篮 50 元时,每天可售出 40 篮。通过市场调查发现,若要每天多售出 10 篮,则每篮就要降价5元。综合各项成本考虑,规定每篮售价不低于35元。
(1)当樱桃每篮售价定为多少元时,每天能获得 2 400 元的销售额?
(2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到 2 500 元?请计算说明。
8.(2024·诸暨)诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一,特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名,每年四五月份大量上市。据某采摘基地了解:正常情况下,樱桃售价为每篮 50 元时,每天可售出 40 篮。通过市场调查发现,若要每天多售出 10 篮,则每篮就要降价5元。综合各项成本考虑,规定每篮售价不低于35元。
(1)当樱桃每篮售价定为多少元时,每天能获得 2 400 元的销售额?
(2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到 2 500 元?请计算说明。
答案
8.解:(1)设樱桃每篮降价x元,由题意,可得(50-x)(40+2x)=2 400,解得$x_1=10,x_2=20$(舍去),50-x=40(元)。
答:当樱桃每篮售价定为40元时,每天能获得2 400元的销售额。
(2)假设采摘基地每天所获得的销售额能达到2 500元,由题意,可得(50-x)(40+2x)=2 500,$x^2-30x+250=0,b^2-4ac=-100＜0$,所以没有实数根,所以采摘基地每天所获得的销售额不能达到2 500元。
答:当樱桃每篮售价定为40元时,每天能获得2 400元的销售额。
(2)假设采摘基地每天所获得的销售额能达到2 500元,由题意,可得(50-x)(40+2x)=2 500,$x^2-30x+250=0,b^2-4ac=-100＜0$,所以没有实数根,所以采摘基地每天所获得的销售额不能达到2 500元。
解析
【分析】
首先明确销售额的计算公式：销售额=每篮售价×每天销售量。对于问题(1)，设每篮降价x元，根据“每降价5元多售10篮”，可得降价x元时，多售篮数为$\frac{x}{5}×10=2x$，因此销售量为$(40+2x)$篮，售价为$(50-x)$元，据此列销售额方程，同时需注意售价不低于35元（即$50-x≥35$，得$x≤15$），解出方程根后舍去不符合范围的解，即可得目标售价。问题(2)假设销售额为2500元，列方程后通过计算判别式判断方程是否有实根，进而确定能否达到目标销售额。
【解析】
(1)设樱桃每篮降价$x$元，根据销售额=售价×销售量，列方程：
$(50 - x)(40 + \frac{10}{5}x) = 2400$，化简得：
$(50 - x)(40 + 2x) = 2400$，
展开整理：$2000 + 100x - 40x - 2x^2 = 2400$，即$x^2 - 30x + 200 = 0$，
因式分解得$(x - 10)(x - 20) = 0$，解得$x_1=10$，$x_2=20$。
因规定每篮售价不低于35元，故$50 - x ≥ 35$，即$x ≤15$，舍去$x=20$，此时售价为$50 -10=40$元。
(2)假设每天销售额能达到2500元，设每篮降价$x$元，列方程：
$(50 - x)(40 + 2x) =2500$，
展开整理：$2000 +60x -2x^2=2500$，即$x^2 -30x +250=0$，
计算判别式$\Delta=(-30)^2 -4×1×250=900-1000=-100＜0$，
方程无实数根，故不存在符合条件的降价，销售额不能达到2500元。
【答案】
(1)当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；(2)该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在销售问题中的实际应用，核心是理清售价与销售量的数量关系，列方程时需结合实际意义舍去不符合范围的解；第二问通过判别式判断方程根的情况，考查学生对一元二次方程性质的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
首先明确销售额的计算公式：销售额=每篮售价×每天销售量。对于问题(1)，设每篮降价x元，根据“每降价5元多售10篮”，可得降价x元时，多售篮数为$\frac{x}{5}×10=2x$，因此销售量为$(40+2x)$篮，售价为$(50-x)$元，据此列销售额方程，同时需注意售价不低于35元（即$50-x≥35$，得$x≤15$），解出方程根后舍去不符合范围的解，即可得目标售价。问题(2)假设销售额为2500元，列方程后通过计算判别式判断方程是否有实根，进而确定能否达到目标销售额。
【解析】
(1)设樱桃每篮降价$x$元，根据销售额=售价×销售量，列方程：
$(50 - x)(40 + \frac{10}{5}x) = 2400$，化简得：
$(50 - x)(40 + 2x) = 2400$，
展开整理：$2000 + 100x - 40x - 2x^2 = 2400$，即$x^2 - 30x + 200 = 0$，
因式分解得$(x - 10)(x - 20) = 0$，解得$x_1=10$，$x_2=20$。
因规定每篮售价不低于35元，故$50 - x ≥ 35$，即$x ≤15$，舍去$x=20$，此时售价为$50 -10=40$元。
(2)假设每天销售额能达到2500元，设每篮降价$x$元，列方程：
$(50 - x)(40 + 2x) =2500$，
展开整理：$2000 +60x -2x^2=2500$，即$x^2 -30x +250=0$，
计算判别式$\Delta=(-30)^2 -4×1×250=900-1000=-100＜0$，
方程无实数根，故不存在符合条件的降价，销售额不能达到2500元。
【答案】
(1)当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；(2)该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在销售问题中的实际应用，核心是理清售价与销售量的数量关系，列方程时需结合实际意义舍去不符合范围的解；第二问通过判别式判断方程根的情况，考查学生对一元二次方程性质的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
9.(2024·湖州吴兴)一次围棋比赛采用单循环赛制(即每位选手与其他选手各比赛1局),且参赛者少于15人。小珺和小哲对比赛的总局数进行统计：
(1)若参赛者共5人,按赛制应该进行几局比赛?
(2)小哲说的有道理吗?请通过计算说明。
(3)他们经过查询,小珺的统计无误,是有一人中途退出比赛,请直接写出报名本次比赛的人数。
(1)若参赛者共5人,按赛制应该进行几局比赛?
(2)小哲说的有道理吗?请通过计算说明。
(3)他们经过查询,小珺的统计无误,是有一人中途退出比赛,请直接写出报名本次比赛的人数。
答案
9.(1)解:由题意,得5个人需比赛的局数为$\frac{5(5-1)}{2}$=10。答:按赛制应该进行10局比赛。
(2)解:小哲说的有道理。理由如下:设有x人参加了所有比赛,由题意得$\frac{x(x-1)}{2}$=70,整理得$x^2-x-140=0$,解得$x=\frac{1+\sqrt{561}}{2}$(负值已舍去),不为整数,所以方程的解不符合实际,小哲说的有道理。
(3)13。
(2)解:小哲说的有道理。理由如下:设有x人参加了所有比赛,由题意得$\frac{x(x-1)}{2}$=70,整理得$x^2-x-140=0$,解得$x=\frac{1+\sqrt{561}}{2}$(负值已舍去),不为整数,所以方程的解不符合实际,小哲说的有道理。
(3)13。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确单循环赛制的总局数计算公式：若有n名选手参赛，每两名选手之间仅比赛1局，总局数为组合数$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$，选手人数必须为正整数。问题（1）直接代入n=5计算；问题（2）假设总局数为70，代入公式解方程，判断解是否为正整数，若不是则说明小哲的观点正确；问题（3）结合中途1人退出的条件，根据总局数70和报名人数少于15的限制，推导报名人数。
【解析】
(1) 当参赛者共5人时，根据单循环赛制总局数公式：
总局数 = $\frac{5×(5-1)}{2} = \frac{5×4}{2} = 10$（局）。
(2) 小哲说的有道理，理由如下：
假设按“每个人都参加所有比赛”的赛制总局数为70局，设参赛人数为x，根据公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2} = 70$
整理为一元二次方程：$x^2 - x - 140 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-140) = 1 + 560 = 561$
由于$\sqrt{561}$不是整数，因此方程的解$x = \frac{1+\sqrt{561}}{2}$不是正整数，不符合选手人数为正整数的实际情况，故小哲的说法有道理。
(3) 设报名人数为n（n为正整数，且n＜15），有1人中途退出比赛，设该选手参加了k局比赛（k为正整数，k ＜ n-1），则原本n人单循环的总局数为$\frac{n(n-1)}{2}$，中途退出导致该选手少赛了$(n-1 -k)$局，实际总局数为70，因此：
$\frac{n(n-1)}{2} - (n-1 -k) = 70$
即$\frac{n(n-1)}{2} = 70 + (n-1 -k)$
结合n＜15的条件，逐一尝试n的值：
当n=13时，$\frac{13×12}{2}=78$，代入得$78 =70 + (12 -k)$，解得k=4，符合k为正整数的实际情况，故报名人数为13。
【答案】
(1) 10局；(2) 小哲说的有道理；(3) 13
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际比赛场景考查单循环赛制的总局数计算和一元二次方程的应用，关键是理解赛制规则和中途退出对总局数的影响，需注意方程的解要符合实际意义（人数为正整数），整体难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需明确单循环赛制的总局数计算公式：若有n名选手参赛，每两名选手之间仅比赛1局，总局数为组合数$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$，选手人数必须为正整数。问题（1）直接代入n=5计算；问题（2）假设总局数为70，代入公式解方程，判断解是否为正整数，若不是则说明小哲的观点正确；问题（3）结合中途1人退出的条件，根据总局数70和报名人数少于15的限制，推导报名人数。
【解析】
(1) 当参赛者共5人时，根据单循环赛制总局数公式：
总局数 = $\frac{5×(5-1)}{2} = \frac{5×4}{2} = 10$（局）。
(2) 小哲说的有道理，理由如下：
假设按“每个人都参加所有比赛”的赛制总局数为70局，设参赛人数为x，根据公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2} = 70$
整理为一元二次方程：$x^2 - x - 140 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-140) = 1 + 560 = 561$
由于$\sqrt{561}$不是整数，因此方程的解$x = \frac{1+\sqrt{561}}{2}$不是正整数，不符合选手人数为正整数的实际情况，故小哲的说法有道理。
(3) 设报名人数为n（n为正整数，且n＜15），有1人中途退出比赛，设该选手参加了k局比赛（k为正整数，k ＜ n-1），则原本n人单循环的总局数为$\frac{n(n-1)}{2}$，中途退出导致该选手少赛了$(n-1 -k)$局，实际总局数为70，因此：
$\frac{n(n-1)}{2} - (n-1 -k) = 70$
即$\frac{n(n-1)}{2} = 70 + (n-1 -k)$
结合n＜15的条件，逐一尝试n的值：
当n=13时，$\frac{13×12}{2}=78$，代入得$78 =70 + (12 -k)$，解得k=4，符合k为正整数的实际情况，故报名人数为13。
【答案】
(1) 10局；(2) 小哲说的有道理；(3) 13
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际比赛场景考查单循环赛制的总局数计算和一元二次方程的应用，关键是理解赛制规则和中途退出对总局数的影响，需注意方程的解要符合实际意义（人数为正整数），整体难度适中。
【难度系数】
0.5
