10.(2024·德清)综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒。如图1,有一张长30 cm、宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上同样大小的四个小正方形之后,折成图2所示的无盖纸盒。(硬纸片厚度忽略不计)

(1)若剪去的正方形的边长为2 cm,则纸盒底面长方形的长为cm,宽为cm。
(2)若纸盒的底面积为240 cm²,请计算剪去的正方形的边长。
(3)如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分),经过思考,他发现再剪去两个同样大小的矩形后,可将剩余部分折成一个有盖纸盒。若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412 cm²,请计算剪去的正方形的边长。

10.(1)26 12
(2)解:设剪去的正方形的边长为x cm,根据题意可列方程为(30-2x)(16-2x)=240,解得$x_1=20,x_2=3$,当x=20时,30-2x＜0,16-2x＜0,所以不符合题意,舍去。答:剪去的正方形的边长为3 cm。
(3)解:设剪去的正方形的边长为y cm。根据题意可列方程为$30×16-2y^2-2×\frac{30y}{2}=412$,解得$y_1=-17$(舍去),$y_2=2$。答:剪去的正方形的边长为2 cm。

【分析】
本题是利用矩形硬纸片裁剪折叠成纸盒的实际问题，核心是明确折叠后纸盒的长、宽、高与原矩形边长、裁剪正方形边长的数量关系，再结合面积条件建立一元二次方程求解，需注意解的实际意义（边长为正且不超过原矩形对应边长）。
（1）无盖纸盒的长和宽分别为原矩形的长、宽减去2倍的正方形边长，直接代入计算即可；
（2）设正方形边长为x，根据底面积公式列方程，求解后舍去不符合实际的解；
（3）有盖纸盒的表面积等于原矩形面积减去裁剪部分的面积，据此列方程，求解并舍去负解。
【解析】
（1）已知原矩形长30cm，宽16cm，剪去的正方形边长为2cm，折成无盖纸盒后，底面长方形的长为原长减去2个正方形边长：$30 - 2×2 = 26$（cm），宽为原宽减去2个正方形边长：$16 - 2×2 = 12$（cm）。
（2）设剪去的正方形边长为$x$ cm，折成无盖纸盒后，底面长方形的长为$(30 - 2x)$ cm，宽为$(16 - 2x)$ cm，根据底面积为$240\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$(30 - 2x)(16 - 2x) = 240$
展开整理得：$x^2 - 23x + 60 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 20$。
当$x = 20$时，$30 - 2x ＜ 0$，$16 - 2x ＜ 0$，不符合实际意义，舍去。
故剪去的正方形边长为$3$ cm。
（3）设剪去的正方形边长为$y$ cm，原矩形面积为$30×16 = 480\ \mathrm{cm}^2$，有盖纸盒表面积为$412\ \mathrm{cm}^2$，根据图形裁剪关系列方程：
$30×16 - 2y^2 - 2×\frac{30y}{2} = 412$
化简整理得：$y^2 + 15y - 34 = 0$，解得$y_1 = -17$（舍去），$y_2 = 2$。
故剪去的正方形边长为$2$ cm。
【答案】
(1)26，12；(2)3 cm；(3)2 cm
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程应用，图形折叠问题
【点评】
本题结合实际操作的图形折叠问题，考查一元二次方程在几何中的应用，关键是理清裁剪后各边长的关系，需注意解的实际合理性，避免出现不符合题意的解，是代数与几何结合的典型应用题，能锻炼学生的建模能力。
【难度系数】
0.5