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12. (2025·杭州市上城区期末)如图,在矩形ABCD中,E是边BC上一点,将$△ ABE$沿AE翻折,得到$△ AFE$,延长EF交线段AD的延长线于点G,交线段AC于点O,若$AB=2,BC=3,OC=OE$,则线段DG的长为________。
答案
√13 - 3
解析:因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC=3,AD//BC,∠B=90°,所以∠OAG=∠OCE,∠OGA=∠OEC,∠AEB=∠DAE。由折叠的性质,得∠AEB=∠AEF,所以∠GAE=∠GEA,所以AG=EG。因为OC=OE,所以∠OEC=∠OCE,所以∠OAG=∠OGA,所以OA=OG,所以OA+OC=OE+OG,即AC=EG,所以AG=AC。在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=√(AB²+BC²)=√13,所以DG=AG-AD=AC-AD=√13-3。
解析:因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC=3,AD//BC,∠B=90°,所以∠OAG=∠OCE,∠OGA=∠OEC,∠AEB=∠DAE。由折叠的性质,得∠AEB=∠AEF,所以∠GAE=∠GEA,所以AG=EG。因为OC=OE,所以∠OEC=∠OCE,所以∠OAG=∠OGA,所以OA=OG,所以OA+OC=OE+OG,即AC=EG,所以AG=AC。在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=√(AB²+BC²)=√13,所以DG=AG-AD=AC-AD=√13-3。
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质、折叠的性质，通过角的等量代换推导线段关系，再运用勾股定理计算。首先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，结合折叠后对应角相等，推出AG=EG；再由OC=OE得到角相等，进一步推出OA=OG，从而得到AC=EG，结合AG=EG得出AG=AC，最后用勾股定理算出AC，减去AD即可得到DG的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=3，AD//BC，∠B=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=√(AB²+BC²)=√(2²+3²)=√13。
∵ AD//BC，
∴ ∠OAG=∠OCE，∠OGA=∠OEC。
由折叠的性质，△ABE沿AE翻折得△AFE，
∴ ∠AEB=∠AEF，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB=∠DAE，
∴ ∠AEF=∠DAE，即∠GAE=∠GEA，
∴ AG=EG。
∵ OC=OE，
∴ ∠OEC=∠OCE，
结合∠OAG=∠OCE，∠OGA=∠OEC，
得∠OAG=∠OGA，
∴ OA=OG，
∴ OA+OC=OG+OE，即AC=EG。
又
∵ AG=EG，
∴ AG=AC=√13，
∵ AD=3，
∴ DG=AG - AD=√13 - 3。
【答案】
√13 - 3
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、等腰三角形及勾股定理的知识，关键在于通过角的等量代换推导出AG=AC，需学生具备较强的逻辑推理能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形的性质、折叠的性质，通过角的等量代换推导线段关系，再运用勾股定理计算。首先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，结合折叠后对应角相等，推出AG=EG；再由OC=OE得到角相等，进一步推出OA=OG，从而得到AC=EG，结合AG=EG得出AG=AC，最后用勾股定理算出AC，减去AD即可得到DG的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=3，AD//BC，∠B=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=√(AB²+BC²)=√(2²+3²)=√13。
∵ AD//BC，
∴ ∠OAG=∠OCE，∠OGA=∠OEC。
由折叠的性质，△ABE沿AE翻折得△AFE，
∴ ∠AEB=∠AEF，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB=∠DAE，
∴ ∠AEF=∠DAE，即∠GAE=∠GEA，
∴ AG=EG。
∵ OC=OE，
∴ ∠OEC=∠OCE，
结合∠OAG=∠OCE，∠OGA=∠OEC，
得∠OAG=∠OGA，
∴ OA=OG，
∴ OA+OC=OG+OE，即AC=EG。
又
∵ AG=EG，
∴ AG=AC=√13，
∵ AD=3，
∴ DG=AG - AD=√13 - 3。
【答案】
√13 - 3
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、等腰三角形及勾股定理的知识，关键在于通过角的等量代换推导出AG=AC，需学生具备较强的逻辑推理能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
13. 如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠,恰好拼成一个无缝隙,无重叠的四边形EFGH。
(1)求证:四边形EFGH是矩形。
(2)若$EF=2,EH=4$,求AD的长。
(1)求证:四边形EFGH是矩形。
(2)若$EF=2,EH=4$,求AD的长。
答案
(1)证明:由折叠的性质,得∠A'EH=∠AEH,∠B'EF=∠BEF,所以∠FEH=1/2×180°=90°。同理可得,∠EHG=∠EFG=90°,所以四边形EFGH是矩形。
(2)解:由题意,得AE=BE=1/2 AB,CG=DG=1/2 CD,DH=HD'。因为四边形ABCD是矩形,所以AB=CD,所以AE=CG。因为四边形EFGH是矩形,所以EH=FG。又因为∠A=∠C=90°,所以Rt△AEH≌Rt△CGF(HL),所以AH=CF=C'F。因为AD=AH+DH,FH=C'F+HD',所以AD=FH。因为EF=2,EH=4,∠FEH=90°,所以FH=√(2²+4²)=2√5,所以AD=2√5。
(2)解:由题意,得AE=BE=1/2 AB,CG=DG=1/2 CD,DH=HD'。因为四边形ABCD是矩形,所以AB=CD,所以AE=CG。因为四边形EFGH是矩形,所以EH=FG。又因为∠A=∠C=90°,所以Rt△AEH≌Rt△CGF(HL),所以AH=CF=C'F。因为AD=AH+DH,FH=C'F+HD',所以AD=FH。因为EF=2,EH=4,∠FEH=90°,所以FH=√(2²+4²)=2√5,所以AD=2√5。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形EFGH是矩形，根据矩形“三个角是直角的四边形为矩形”的判定定理，结合折叠前后对应角相等的性质，推出四边形EFGH的三个内角为直角即可；第(2)问求AD的长，需利用折叠的性质得到边的等量关系，结合矩形性质和全等三角形，推导出AD等于Rt△EFH的斜边FH，再用勾股定理计算FH的长度，进而得到AD的长。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质，得∠A'EH = ∠AEH，∠B'EF = ∠BEF。
∵ 点A、E、B共线，
∴ ∠AEH + ∠A'EH + ∠B'EF + ∠BEF = 180°，
即2(∠A'EH + ∠B'EF) = 180°，
∴ ∠FEH = ∠A'EH + ∠B'EF = 90°。
同理可得，∠EHG = 90°，∠EFG = 90°。
∴ 四边形EFGH的三个内角都是直角，故四边形EFGH是矩形。
(2) 解：由折叠的性质，得AE = BE，CG = DG，CF = C'F，DH = D'H。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB = CD，∠A = ∠C = 90°，
∴ AE = CG。
又
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ EH = FG。
在Rt△AEH和Rt△CGF中，
$\{\begin{array}{l} AE = CG \\ EH = FG \end{array} $
∴ Rt△AEH ≌ Rt△CGF（HL），
∴ AH = CF = C'F。
∵ AD = AH + DH，FH = C'F + D'H，且DH = D'H，
∴ AD = FH。
在Rt△EFH中，EF = 2，EH = 4，∠FEH = 90°，
由勾股定理得：$FH = \sqrt{EF^2 + EH^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
∴ AD = 2√5。
【答案】(1) 四边形EFGH是矩形；(2) AD的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】矩形的判定、折叠的性质、勾股定理
【点评】本题结合矩形折叠考查几何证明与计算，核心是利用折叠的不变性得到角和边的等量关系，再结合矩形判定、全等三角形和勾股定理求解，对学生的几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】0.5
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形EFGH是矩形，根据矩形“三个角是直角的四边形为矩形”的判定定理，结合折叠前后对应角相等的性质，推出四边形EFGH的三个内角为直角即可；第(2)问求AD的长，需利用折叠的性质得到边的等量关系，结合矩形性质和全等三角形，推导出AD等于Rt△EFH的斜边FH，再用勾股定理计算FH的长度，进而得到AD的长。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质，得∠A'EH = ∠AEH，∠B'EF = ∠BEF。
∵ 点A、E、B共线，
∴ ∠AEH + ∠A'EH + ∠B'EF + ∠BEF = 180°，
即2(∠A'EH + ∠B'EF) = 180°，
∴ ∠FEH = ∠A'EH + ∠B'EF = 90°。
同理可得，∠EHG = 90°，∠EFG = 90°。
∴ 四边形EFGH的三个内角都是直角，故四边形EFGH是矩形。
(2) 解：由折叠的性质，得AE = BE，CG = DG，CF = C'F，DH = D'H。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB = CD，∠A = ∠C = 90°，
∴ AE = CG。
又
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ EH = FG。
在Rt△AEH和Rt△CGF中，
$\{\begin{array}{l} AE = CG \\ EH = FG \end{array} $
∴ Rt△AEH ≌ Rt△CGF（HL），
∴ AH = CF = C'F。
∵ AD = AH + DH，FH = C'F + D'H，且DH = D'H，
∴ AD = FH。
在Rt△EFH中，EF = 2，EH = 4，∠FEH = 90°，
由勾股定理得：$FH = \sqrt{EF^2 + EH^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
∴ AD = 2√5。
【答案】(1) 四边形EFGH是矩形；(2) AD的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】矩形的判定、折叠的性质、勾股定理
【点评】本题结合矩形折叠考查几何证明与计算，核心是利用折叠的不变性得到角和边的等量关系，再结合矩形判定、全等三角形和勾股定理求解，对学生的几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】0.5
14. 创新探究 问题情境:数学活动课上,同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动(每个小组的矩形纸片规格相同),已知矩形纸片宽$AD=6$。
动手实践:
(1)如图1,A小组将矩形纸片$ABCD$折叠,点$D$落在$AB$边上的点$E$处,折痕为$AF$,联结$EF$,然后将纸片展平,得到四边形$AEFD$。试判断四边形$AEFD$的形状,并加以证明。
(2)如图2,B小组将矩形纸片$ABCD$对折,使$AB$与$DC$重合,展平后得到折痕$PQ$,再次过点$A$折叠,使点$D$落在折痕$PQ$上的点$N$处,得到折痕$AM$,联结$MN,AN$,展平后得到四边形$ANMD$,请求出四边形$ANMD$的面积。
深度探究:
(3)如图3,C小组将图1中的四边形$EFCB$剪去,然后在边$AD,EF$上取点$G,H$,将四边形$AEHG$沿$GH$折叠,使点$A$的对应点$A'$始终落在边$DF$上(点$A'$不与点$D,F$重合),点$E$落在点$E'$处,$A'E'$与$EF$交于点$T$。
探究①:当点$A'$在$DF$上运动时,$△ FTA'$的周长是否会变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值。
探究②:直接写出四边形$AEHG$面积的最小值。
动手实践:
(1)如图1,A小组将矩形纸片$ABCD$折叠,点$D$落在$AB$边上的点$E$处,折痕为$AF$,联结$EF$,然后将纸片展平,得到四边形$AEFD$。试判断四边形$AEFD$的形状,并加以证明。
(2)如图2,B小组将矩形纸片$ABCD$对折,使$AB$与$DC$重合,展平后得到折痕$PQ$,再次过点$A$折叠,使点$D$落在折痕$PQ$上的点$N$处,得到折痕$AM$,联结$MN,AN$,展平后得到四边形$ANMD$,请求出四边形$ANMD$的面积。
深度探究:
(3)如图3,C小组将图1中的四边形$EFCB$剪去,然后在边$AD,EF$上取点$G,H$,将四边形$AEHG$沿$GH$折叠,使点$A$的对应点$A'$始终落在边$DF$上(点$A'$不与点$D,F$重合),点$E$落在点$E'$处,$A'E'$与$EF$交于点$T$。
探究①:当点$A'$在$DF$上运动时,$△ FTA'$的周长是否会变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值。
探究②:直接写出四边形$AEHG$面积的最小值。
答案
(1)解:四边形AEFD是正方形。证明:因为四边形ABCD是矩形,所以∠D=90°,AB//CD,所以∠FAE=∠DFA。由折叠的性质,得∠FAE=∠DAF,AD=AE,FD=FE,所以∠DAF=∠DFA,所以AD=FD,所以AD=AE=FD=FE,所以四边形AEFD是正方形。
(2)解:如图1,联结DN。由折叠的性质,得AP=PD=1/2 AD=3,AN=AD=6,PQ⊥AD,∠DAM=∠NAM,所以DN=AN=6,所以DN=AN=AD=6,所以△ADN是等边三角形,所以∠DAN=60°,所以∠DAM=1/2∠DAN=30°。设DM=x,则AM=2x。在Rt△ADM中,由勾股定理,得AD²+DM²=AM²,所以6²+x²=(2x)²,解得x=2√3,或x=-2√3(舍去),所以DM=2√3。由折叠的性质,得S△ADM=S△ANM=1/2 AD·DM=1/2×6×2√3=6√3,所以S四边形ANMD=2S△ADM=12√3。
(3)探究①:△FTA'的周长不变,为定值12。如图2,联结AA',AT,过点A作AM⊥A'T于点M。由折叠的性质,得AG=A'G,∠GA'E'=∠GAE=90°,所以∠GAA'=∠GA'A,所以∠A'AE=∠AA'E。因为DF//AE,所以∠DA'A=∠A'AE=∠AA'E。又因为AA'=AA',所以△DAA'≌△MAA'(AAS),所以DA'=MA',AD=AM,所以AM=AD=AE。又因为AT=AT,所以Rt△AMT≌Rt△AET(HL),所以MT=ET。因为△FTA'的周长为A'F+TF+A'T=A'F+TF+A'M+TM=A'F+TF+A'D+ET=DF+EF=6+6=12,所以△FTA'的周长为定值12。
探究②:四边形AEHG面积的最小值为27/2。解析如图3,过点H作HQ⊥AD,联结AA'。设DA'=a,A'G=AG=b。在Rt△DGA'中,DG²+DA'²=GA'²,即(6-b)²+a²=b²,解得b=(a²+36)/12。由折叠的性质,得∠AGH=∠A'GH,AG=A'G,所以AA'⊥GH。因为∠HQA=90°,所以∠QHG=∠DAA'。因为AD=AE=QH,∠D=∠HQG=90°,所以△DAA'≌△QHG(ASA),所以QG=DA'=a。因为QH⊥AD,四边形AEFD是正方形,所以EH=AQ=AG-QG=b-a,所以S四边形AEHG=1/2(b-a+b)×6=3((a²+36)/6 -a)=1/2(a-3)²+27/2,所以当a=3时,S四边形AEHG有最小值27/2。
解析
【分析】
本题是矩形纸片折叠的探究题，需结合矩形、正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识解题。
(1) 利用矩形对边平行、角为直角的性质，结合折叠对应边相等的特点，推导四边形四边相等且有直角，判断形状；
(2) 对折后结合折叠性质得到等边三角形，用勾股定理求边长，进而计算四边形面积；
(3) ① 作辅助线构造全等三角形，将△FTA'的周长转化为定值；② 设未知数，利用勾股定理和全等关系表示面积，通过二次函数求最小值。
【解析】
(1) 四边形AEFD是正方形，证明如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=90°，AB//CD，
∴ ∠FAE=∠DFA。
由折叠性质，得∠FAE=∠DAF，AD=AE，FD=FE，
∴ ∠DAF=∠DFA，
∴ AD=FD，
∴ AD=AE=FD=FE，又∠D=90°，故四边形AEFD是正方形。
(2) 如图1，联结DN。
由折叠性质，得AP=PD=1/2 AD=3，AN=AD=6，PQ⊥AD，∠DAM=∠NAM，
∴ DN=AN=6，又AD=6，
∴ DN=AN=AD=6，即△ADN是等边三角形，
∴ ∠DAN=60°，
∴ ∠DAM=1/2∠DAN=30°。
设DM=x，则AM=2x，在Rt△ADM中，由勾股定理：AD² + DM² = AM²，
即6² + x² = (2x)²，解得x=2√3（舍去负根），故DM=2√3。
S△ADM=1/2×AD×DM=1/2×6×2√3=6√3，
由折叠性质，S△ADM=S△ANM，故S四边形ANMD=2×6√3=12√3。
(3) 探究①：△FTA'的周长不变，定值为12。
如图2，联结AA'、AT，过A作AM⊥A'T于M。
由折叠性质，得AG=A'G，∠GA'E'=∠GAE=90°，
∴ ∠GAA'=∠GA'A，故∠A'AE=∠AA'E。
∵ DF//AE，
∴ ∠DA'A=∠A'AE=∠AA'E，
又AA'=AA'，
∴ △DAA'≌△MAA'(AAS)，得DA'=MA'，AD=AM。
∵ AD=AE，
∴ AM=AE，又AT=AT，
∴ Rt△AMT≌Rt△AET(HL)，得MT=ET。
∴ △FTA'的周长=A'F + TF + A'T = A'F + TF + A'M + TM = A'F + TF + DA' + ET = DF + EF，
∵ DF=AD=6，EF=AD=6，
∴ 周长=6+6=12，定值为12。
探究②：四边形AEHG面积的最小值为27/2。
如图3，过H作HQ⊥AD，联结AA'。设DA'=a，A'G=AG=b。
在Rt△DGA'中，DG² + DA'² = GA'²，即(6 - b)² + a² = b²，解得b=(a² + 36)/12。
由折叠性质，∠AGH=∠A'GH，AG=A'G，故AA'⊥GH。
∵ ∠HQA=90°，
∴ ∠QHG=∠DAA'，又AD=AE=QH，∠D=∠HQG=90°，
∴ △DAA'≌△QHG(ASA)，得QG=DA'=a。
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ EH=AQ=AG - QG = b - a，
∴ S四边形AEHG=1/2×(b - a + b)×6 = 3×(2b - a)，代入b=(a² + 36)/12，
得S=3×[2×(a² + 36)/12 - a] = 1/2(a - 3)² + 27/2，
当a=3时，S取得最小值27/2。
【答案】
(1) 四边形AEFD是正方形；
(2) 12√3；
(3) ① △FTA'的周长不变，定值为12；② 27/2；
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值
【点评】
本题为矩形折叠的探究题，综合考查了多个几何核心知识点，需要学生具备较强的几何分析和逻辑推理能力，通过作辅助线构造全等是解题关键，对综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.4
本题是矩形纸片折叠的探究题，需结合矩形、正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识解题。
(1) 利用矩形对边平行、角为直角的性质，结合折叠对应边相等的特点，推导四边形四边相等且有直角，判断形状；
(2) 对折后结合折叠性质得到等边三角形，用勾股定理求边长，进而计算四边形面积；
(3) ① 作辅助线构造全等三角形，将△FTA'的周长转化为定值；② 设未知数，利用勾股定理和全等关系表示面积，通过二次函数求最小值。
【解析】
(1) 四边形AEFD是正方形，证明如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=90°，AB//CD，
∴ ∠FAE=∠DFA。
由折叠性质，得∠FAE=∠DAF，AD=AE，FD=FE，
∴ ∠DAF=∠DFA，
∴ AD=FD，
∴ AD=AE=FD=FE，又∠D=90°，故四边形AEFD是正方形。
(2) 如图1，联结DN。
由折叠性质，得AP=PD=1/2 AD=3，AN=AD=6，PQ⊥AD，∠DAM=∠NAM，
∴ DN=AN=6，又AD=6，
∴ DN=AN=AD=6，即△ADN是等边三角形，
∴ ∠DAN=60°，
∴ ∠DAM=1/2∠DAN=30°。
设DM=x，则AM=2x，在Rt△ADM中，由勾股定理：AD² + DM² = AM²，
即6² + x² = (2x)²，解得x=2√3（舍去负根），故DM=2√3。
S△ADM=1/2×AD×DM=1/2×6×2√3=6√3，
由折叠性质，S△ADM=S△ANM，故S四边形ANMD=2×6√3=12√3。
(3) 探究①：△FTA'的周长不变，定值为12。
如图2，联结AA'、AT，过A作AM⊥A'T于M。
由折叠性质，得AG=A'G，∠GA'E'=∠GAE=90°，
∴ ∠GAA'=∠GA'A，故∠A'AE=∠AA'E。
∵ DF//AE，
∴ ∠DA'A=∠A'AE=∠AA'E，
又AA'=AA'，
∴ △DAA'≌△MAA'(AAS)，得DA'=MA'，AD=AM。
∵ AD=AE，
∴ AM=AE，又AT=AT，
∴ Rt△AMT≌Rt△AET(HL)，得MT=ET。
∴ △FTA'的周长=A'F + TF + A'T = A'F + TF + A'M + TM = A'F + TF + DA' + ET = DF + EF，
∵ DF=AD=6，EF=AD=6，
∴ 周长=6+6=12，定值为12。
探究②：四边形AEHG面积的最小值为27/2。
如图3，过H作HQ⊥AD，联结AA'。设DA'=a，A'G=AG=b。
在Rt△DGA'中，DG² + DA'² = GA'²，即(6 - b)² + a² = b²，解得b=(a² + 36)/12。
由折叠性质，∠AGH=∠A'GH，AG=A'G，故AA'⊥GH。
∵ ∠HQA=90°，
∴ ∠QHG=∠DAA'，又AD=AE=QH，∠D=∠HQG=90°，
∴ △DAA'≌△QHG(ASA)，得QG=DA'=a。
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ EH=AQ=AG - QG = b - a，
∴ S四边形AEHG=1/2×(b - a + b)×6 = 3×(2b - a)，代入b=(a² + 36)/12，
得S=3×[2×(a² + 36)/12 - a] = 1/2(a - 3)² + 27/2，
当a=3时，S取得最小值27/2。
【答案】
(1) 四边形AEFD是正方形；
(2) 12√3；
(3) ① △FTA'的周长不变，定值为12；② 27/2；
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值
【点评】
本题为矩形折叠的探究题，综合考查了多个几何核心知识点，需要学生具备较强的几何分析和逻辑推理能力，通过作辅助线构造全等是解题关键，对综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.4
