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15. 如图,在菱形纸片$ABCD$中,$AB=8$,
$∠ A=60°$,将菱形纸片翻折,使点$A$落在
$CD$的中点$E$处,折痕为$FG$,点$F,G$分别
在边$AB,AD$上,则$EG$的长为 (
A.$\dfrac{28}{5}$
B.$\dfrac{14}{5}$
C.$4$
D.$4\sqrt{3}$
$∠ A=60°$,将菱形纸片翻折,使点$A$落在
$CD$的中点$E$处,折痕为$FG$,点$F,G$分别
在边$AB,AD$上,则$EG$的长为 (
A
)A.$\dfrac{28}{5}$
B.$\dfrac{14}{5}$
C.$4$
D.$4\sqrt{3}$
答案
如图,过点E作EM⊥AD交AD的延长线于点M。因为四边形ABCD是菱形,AB=8,所以CD=AD=AB=8,AB//CD。因为AB//CD,所以∠A=∠MDC=60°。因为E是CD的中点,所以DE=4。因为EM⊥AD,∠MDC=60°,所以∠MED=30°,所以DM=1/2 DE=2,ME=√3 DM=2√3。由折叠的性质,得AG=EG。在Rt△GME中,由勾股定理,得EG²=GM²+ME²,所以EG²=(8-EG+2)²+(2√3)²,解得EG=28/5。
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形性质、折叠的对称性，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。具体思路：1. 由菱形性质得边长与平行关系，结合E是CD中点求出DE长度；2. 作辅助线EM⊥AD延长线，利用角度关系在Rt△DME中计算DM和ME；3. 根据折叠性质得AG=EG，设EG为未知数，用未知数表示GM，再在Rt△GME中用勾股定理列方程，解方程得到EG的长。
【解析】
解：过点E作EM⊥AD，交AD的延长线于点M。
∵四边形ABCD是菱形，AB=8，
∴CD=AD=AB=8，AB//CD，
∴∠A=∠MDC=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵E是CD的中点，
∴DE=½CD=½×8=4。
在Rt△DME中，∠M=90°，∠MDE=60°，
∴∠MED=30°，
∴DM=½DE=½×4=2，
ME=√(DE² - DM²)=√(4² - 2²)=2√3。
由折叠的性质可知，AG=EG。
设EG=x，则AG=x，
∵AD=8，
∴GD=AD - AG=8 - x，
∴GM=GD + DM=(8 - x) + 2=10 - x。
在Rt△GME中，由勾股定理得：
EG²=GM² + ME²，
即x²=(10 - x)² + (2√3)²，
展开得：x²=100 - 20x + x² + 12，
消去x²，整理得：20x=112，
解得x=28/5，即EG=28/5。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形与折叠结合的几何计算题，需熟练运用菱形的边长、角度性质，折叠的对称性，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合菱形性质、折叠的对称性，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。具体思路：1. 由菱形性质得边长与平行关系，结合E是CD中点求出DE长度；2. 作辅助线EM⊥AD延长线，利用角度关系在Rt△DME中计算DM和ME；3. 根据折叠性质得AG=EG，设EG为未知数，用未知数表示GM，再在Rt△GME中用勾股定理列方程，解方程得到EG的长。
【解析】
解：过点E作EM⊥AD，交AD的延长线于点M。
∵四边形ABCD是菱形，AB=8，
∴CD=AD=AB=8，AB//CD，
∴∠A=∠MDC=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵E是CD的中点，
∴DE=½CD=½×8=4。
在Rt△DME中，∠M=90°，∠MDE=60°，
∴∠MED=30°，
∴DM=½DE=½×4=2，
ME=√(DE² - DM²)=√(4² - 2²)=2√3。
由折叠的性质可知，AG=EG。
设EG=x，则AG=x，
∵AD=8，
∴GD=AD - AG=8 - x，
∴GM=GD + DM=(8 - x) + 2=10 - x。
在Rt△GME中，由勾股定理得：
EG²=GM² + ME²，
即x²=(10 - x)² + (2√3)²，
展开得：x²=100 - 20x + x² + 12，
消去x²，整理得：20x=112，
解得x=28/5，即EG=28/5。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形与折叠结合的几何计算题，需熟练运用菱形的边长、角度性质，折叠的对称性，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
16. 如图,在菱形纸片$ABCD$中,$∠ A = 60°$,$P$是$AB$边的中点,折叠纸片,使点$C$落在直线$DP$上的$C'$处,折痕为经过点$D$的线段$DE$,则$∠ DEC$的度数为________。
答案
75°
解析:如图,联结BD。因为四边形ABCD为菱形,所以AB=AD,∠C=∠A=60°,所以△ABD为等边三角形,∠ADC=120°。因为P为AB的中点,所以DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,所以∠PDC=90°,所以由折叠的性质,得∠CDE=∠PDE=45°。在△DEC中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°。
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、等边三角形的判定与性质，以及折叠的性质逐步推导：首先连接BD，利用菱形邻边相等和∠A=60°，得出△ABD是等边三角形；再由P是AB中点，根据等边三角形三线合一得到DP平分∠ADB，进而算出∠PDC的度数；最后根据折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理计算∠DEC的度数。
【解析】
1. 连接BD，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠C=∠A=60°，AB//CD，因此∠ADC=180°-∠A=120°。
2. 由AB=AD，∠A=60°，可知△ABD是等边三角形，故∠ADB=60°，BD=AB。
3. 因为P是AB中点，根据等边三角形三线合一，DP平分∠ADB，所以∠ADP=∠BDP=30°，则∠PDC=∠ADC - ∠ADP=120°-30°=90°。
4. 根据折叠的性质，△DCE与△DC'E关于DE对称，所以∠CDE=∠PDE，结合∠PDC=90°，得∠CDE=∠PDE=45°。
5. 在△DEC中，由三角形内角和为180°，得∠DEC=180°-∠C - ∠CDE=180°-60°-45°=75°。
【答案】75°
【知识点】菱形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质
【点评】本题综合考查多个几何知识点的应用，关键在于利用等边三角形三线合一和折叠的性质找到角度关系，结合三角形内角和计算，需要学生熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】0.5
要解决本题，需结合菱形的性质、等边三角形的判定与性质，以及折叠的性质逐步推导：首先连接BD，利用菱形邻边相等和∠A=60°，得出△ABD是等边三角形；再由P是AB中点，根据等边三角形三线合一得到DP平分∠ADB，进而算出∠PDC的度数；最后根据折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理计算∠DEC的度数。
【解析】
1. 连接BD，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠C=∠A=60°，AB//CD，因此∠ADC=180°-∠A=120°。
2. 由AB=AD，∠A=60°，可知△ABD是等边三角形，故∠ADB=60°，BD=AB。
3. 因为P是AB中点，根据等边三角形三线合一，DP平分∠ADB，所以∠ADP=∠BDP=30°，则∠PDC=∠ADC - ∠ADP=120°-30°=90°。
4. 根据折叠的性质，△DCE与△DC'E关于DE对称，所以∠CDE=∠PDE，结合∠PDC=90°，得∠CDE=∠PDE=45°。
5. 在△DEC中，由三角形内角和为180°，得∠DEC=180°-∠C - ∠CDE=180°-60°-45°=75°。
【答案】75°
【知识点】菱形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质
【点评】本题综合考查多个几何知识点的应用，关键在于利用等边三角形三线合一和折叠的性质找到角度关系，结合三角形内角和计算，需要学生熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】0.5
17. 如图,在菱形ABCD中,E为边AB上的一点,将菱形沿DE折叠后,点A恰好落在边BC上的点F处。若EF垂直于对角线BD,则∠A=
72°
。答案
72°
解析:如图,联结AC,BD。因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,AD=CD,∠BAC=∠BCA=1/2∠BAD。设∠BAC=∠BCA=α。因为EF垂直于对角线BD,所以EF//AC,所以∠BEF=∠BFE=∠BAC=∠BCA=α。由折叠的性质,得∠EFD=∠BAD=2α,AD=FD,所以CD=FD,所以∠CFD=∠FCD=2α。因为∠BFE+∠EFD+∠CFD=180°,所以5α=180°,解得α=36°,所以∠BAD=2α=72°。
解析
【分析】
要解决本题，需综合运用菱形的性质、折叠的性质，通过角的等量关系建立方程求解。首先利用菱形对角线互相垂直的特点，结合EF⊥BD推出EF与AC平行，进而得到角的关系；再借助折叠后对应边、对应角相等的性质，结合等腰三角形的角特征，将各角用未知数表示，最后根据平角为180°列方程计算。
【解析】
联结AC、BD。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=CD，∠BAD=2∠BAC（菱形对角线平分内角），且AD//BC。
∵EF⊥BD，AC⊥BD，
∴EF//AC，
∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，
又
∵菱形中∠BAC=∠BCA，
∴∠BEF=∠BFE，设∠BAC=∠BCA=α，则∠BEF=∠BFE=α。
由折叠的性质得：AD=FD，∠EFD=∠BAD，
又
∵菱形中AD=CD，∠BAD=∠BCD，
∴CD=FD，∠CFD=∠FCD=∠BAD=2α（∠BAD=2α）。
∵点B、F、C共线，∠BFE + ∠EFD + ∠CFD = 180°，
代入得：α + 2α + 2α = 180°，
解得α=36°，
∴∠BAD=2α=72°。
【答案】
72°
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合菱形与折叠的几何性质，核心是通过平行线、等腰三角形的角关系转化，将分散的角集中到平角中建立方程，需熟练运用几何定理进行角的推导，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需综合运用菱形的性质、折叠的性质，通过角的等量关系建立方程求解。首先利用菱形对角线互相垂直的特点，结合EF⊥BD推出EF与AC平行，进而得到角的关系；再借助折叠后对应边、对应角相等的性质，结合等腰三角形的角特征，将各角用未知数表示，最后根据平角为180°列方程计算。
【解析】
联结AC、BD。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=CD，∠BAD=2∠BAC（菱形对角线平分内角），且AD//BC。
∵EF⊥BD，AC⊥BD，
∴EF//AC，
∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，
又
∵菱形中∠BAC=∠BCA，
∴∠BEF=∠BFE，设∠BAC=∠BCA=α，则∠BEF=∠BFE=α。
由折叠的性质得：AD=FD，∠EFD=∠BAD，
又
∵菱形中AD=CD，∠BAD=∠BCD，
∴CD=FD，∠CFD=∠FCD=∠BAD=2α（∠BAD=2α）。
∵点B、F、C共线，∠BFE + ∠EFD + ∠CFD = 180°，
代入得：α + 2α + 2α = 180°，
解得α=36°，
∴∠BAD=2α=72°。
【答案】
72°
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合菱形与折叠的几何性质，核心是通过平行线、等腰三角形的角关系转化，将分散的角集中到平角中建立方程，需熟练运用几何定理进行角的推导，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
18. (2025·宁波市北仑区期末)如图,在边长为3的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AB上一点,AM=1,将△ADM沿DM翻折至△EDM,延长ME,CB交于点N,则BN=
3/4
。答案
3/4
解析:如图,联结DB,EB,过点N作NG⊥AB交AB于点G。因为在菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°,所以△ABD是等边三角形,所以AD=BD,∠ABD=∠CBD=60°。由折叠的性质,得AD=ED,∠MED=∠A=60°,AM=EM=1,所以ED=BD,∠DEN=∠DBN=120°,所以∠DEB=∠DBE,所以∠NEB=∠NBE,所以EN=BN。在Rt△NGB中,因为∠NBG=60°,所以∠BNG=30°。设BG=x,则EN=BN=2x,所以NG=√3 x,所以在Rt△MGN中,MN=1+2x,MG=2-x,由勾股定理,得MG²+NG²=MN²,即(2-x)²+(√3 x)²=(1+2x)²,解得x=3/8。所以BN=3/4。
解析
【分析】
要解决本题，需先利用菱形的性质和∠A=60°的条件，判定△ABD为等边三角形；再结合折叠的性质得到对应边、角相等，推导得出EN=BN；通过作辅助线构造直角三角形，设未知数后利用勾股定理列方程求解BN的长度。
【解析】
联结DB，过点N作NG⊥AB交AB于点G。
1. 菱形ABCD中，AB=AD=3，∠A=60°，故△ABD是等边三角形，得AD=BD=3，∠ABD=∠CBD=60°，因此∠DBN=180°-∠CBD=120°。
2. 由折叠性质：△ADM沿DM翻折至△EDM，得AD=ED=3，AM=EM=1，∠MED=∠A=60°，故∠DEN=180°-∠MED=120°，即∠DEN=∠DBN。
3. 又ED=BD，∠EDB=∠DBE，所以∠NEB=∠NBE，得EN=BN。
4. 在Rt△NGB中，∠NBG=60°，设BG=x，则BN=2x，NG=√3 x；
已知MB=AB-AM=3-1=2，故MG=MB - BG=2 - x，MN=ME + EN=1 + 2x。
5. 在Rt△MGN中，由勾股定理：MG² + NG² = MN²，代入得：
(2 - x)² + (√3 x)² = (1 + 2x)²
展开计算：4 -4x +x² +3x² =1 +4x +4x² → 4x² -4x +4 =4x² +4x +1 → -8x = -3 → x=3/8。
6. 因此BN=2x=2×(3/8)=3/4。
【答案】
3/4
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形与折叠结合的几何计算题，核心是利用菱形和折叠的性质推导等量关系EN=BN，通过作高构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，考查几何推理与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先利用菱形的性质和∠A=60°的条件，判定△ABD为等边三角形；再结合折叠的性质得到对应边、角相等，推导得出EN=BN；通过作辅助线构造直角三角形，设未知数后利用勾股定理列方程求解BN的长度。
【解析】
联结DB，过点N作NG⊥AB交AB于点G。
1. 菱形ABCD中，AB=AD=3，∠A=60°，故△ABD是等边三角形，得AD=BD=3，∠ABD=∠CBD=60°，因此∠DBN=180°-∠CBD=120°。
2. 由折叠性质：△ADM沿DM翻折至△EDM，得AD=ED=3，AM=EM=1，∠MED=∠A=60°，故∠DEN=180°-∠MED=120°，即∠DEN=∠DBN。
3. 又ED=BD，∠EDB=∠DBE，所以∠NEB=∠NBE，得EN=BN。
4. 在Rt△NGB中，∠NBG=60°，设BG=x，则BN=2x，NG=√3 x；
已知MB=AB-AM=3-1=2，故MG=MB - BG=2 - x，MN=ME + EN=1 + 2x。
5. 在Rt△MGN中，由勾股定理：MG² + NG² = MN²，代入得：
(2 - x)² + (√3 x)² = (1 + 2x)²
展开计算：4 -4x +x² +3x² =1 +4x +4x² → 4x² -4x +4 =4x² +4x +1 → -8x = -3 → x=3/8。
6. 因此BN=2x=2×(3/8)=3/4。
【答案】
3/4
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形与折叠结合的几何计算题，核心是利用菱形和折叠的性质推导等量关系EN=BN，通过作高构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，考查几何推理与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.4
