登录
11. 若关于$x$的方程$\frac{1}{x-4}+\frac{m}{x+4}=\frac{m+3}{x^2-16}$无解，则$m$的值为
-1或5或$-\frac{1}{3}$
。答案
11.-1或5或$-\frac{1}{3}$ 提示:去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,即(m+1)x=5m-1. 当m+1=0时,一元一次方程无解,此时m=-1;当m+1≠0时,则x=$\frac{5m-1}{m+1}$=4或$\frac{5m-1}{m+1}$=-4,解得m=5或m=$-\frac{1}{3}$. 综上所述,m的值为-1或5或$-\frac{1}{3}$时,分式方程无解。
解析
【分析】
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分以上两种情况分别讨论求解m的值即可。
【解析】
解：原方程分母$x^2-16=(x-4)(x+4)$，因此原方程的增根为$x=4$或$x=-4$。
给方程两边同时乘以最简公分母$(x^2-16)$去分母，得：
$x+4 + m(x-4) = m+3$
整理合并同类项：
$x + 4 + mx - 4m = m + 3$
$(m+1)x = 5m - 1$
分两种情况讨论：
1. 整式方程本身无解
当一次项系数$m+1=0$，即$m=-1$时，方程左边为$0$，右边为$5×(-1)-1=-6≠0$，此时整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求。
2. 整式方程有解，但解为原方程的增根
当$m+1≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{5m-1}{m+1}$。
① 若$x=4$是增根，代入得：$\frac{5m-1}{m+1}=4$
两边同乘$m+1$得：$5m-1=4(m+1)$
解得：$m=5$
② 若$x=-4$是增根，代入得：$\frac{5m-1}{m+1}=-4$
两边同乘$m+1$得：$5m-1=-4(m+1)$
解得：$m=-\frac{1}{3}$
综上，满足原方程无解的m的值为-1、5或$-\frac{1}{3}$。
【答案】
-1或5或$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程无解判定，增根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题型，解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，讨论时要做到不重不漏，尤其不要遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.5
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分以上两种情况分别讨论求解m的值即可。
【解析】
解：原方程分母$x^2-16=(x-4)(x+4)$，因此原方程的增根为$x=4$或$x=-4$。
给方程两边同时乘以最简公分母$(x^2-16)$去分母，得：
$x+4 + m(x-4) = m+3$
整理合并同类项：
$x + 4 + mx - 4m = m + 3$
$(m+1)x = 5m - 1$
分两种情况讨论：
1. 整式方程本身无解
当一次项系数$m+1=0$，即$m=-1$时，方程左边为$0$，右边为$5×(-1)-1=-6≠0$，此时整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求。
2. 整式方程有解，但解为原方程的增根
当$m+1≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{5m-1}{m+1}$。
① 若$x=4$是增根，代入得：$\frac{5m-1}{m+1}=4$
两边同乘$m+1$得：$5m-1=4(m+1)$
解得：$m=5$
② 若$x=-4$是增根，代入得：$\frac{5m-1}{m+1}=-4$
两边同乘$m+1$得：$5m-1=-4(m+1)$
解得：$m=-\frac{1}{3}$
综上，满足原方程无解的m的值为-1、5或$-\frac{1}{3}$。
【答案】
-1或5或$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程无解判定，增根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题型，解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，讨论时要做到不重不漏，尤其不要遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.5
三、解答题
12. 先化简,再求值:$(1-\dfrac{2}{x})÷\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}-\dfrac{x+4}{x+2}$,其中$x^2+2x-15=0$.
12. 先化简,再求值:$(1-\dfrac{2}{x})÷\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}-\dfrac{x+4}{x+2}$,其中$x^2+2x-15=0$.
答案
12. 原式=$\frac{x-2}{x}·\frac{x+2}{x-2}-\frac{x+4}{x+2}=\frac{x+2}{x}-\frac{x+4}{x+2}=\frac{4}{x^2+2x}$. 因为$x^2+2x-15=0$,所以$x^2+2x=15$. 所以原式=$\frac{4}{15}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先按照分式运算规则化简原式：先计算括号内的减法，将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中能因式分解的多项式因式分解后约分，再进行分式的减法运算，将原式化简为最简形式；第二步处理已知条件，观察化简结果的分母与已知方程的关系，可直接得到$x^2+2x$的值，无需解一元二次方程；第三步将$x^2+2x$的值整体代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的减法：$1-\frac{2}{x}=\frac{x}{x}-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$
2. 将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，因此原式变为：
$\frac{x-2}{x}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x+4}{x+2}$
3. 约分后计算：
约掉公因式$(x-2)$得$\frac{x+2}{x}-\frac{x+4}{x+2}$
4. 通分计算分式减法：
通分后公分母为$x(x+2)$，分子为$(x+2)^2 - x(x+4)$
展开分子：$(x^2+4x+4)-(x^2+4x)=4$，因此化简结果为$\frac{4}{x(x+2)}=\frac{4}{x^2+2x}$
5. 代入求值：
已知$x^2+2x-15=0$，可得$x^2+2x=15$，将其代入化简后的式子得：
原式=$\frac{4}{15}$
【答案】
$\dfrac{4}{15}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心是掌握分式运算的顺序和约分、通分的规则，解题时注意观察已知条件和化简结果的关联，使用整体代入法可大大简化计算，同时要注意运算过程中因式分解的准确性，避免因约分、通分错误失分。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先按照分式运算规则化简原式：先计算括号内的减法，将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中能因式分解的多项式因式分解后约分，再进行分式的减法运算，将原式化简为最简形式；第二步处理已知条件，观察化简结果的分母与已知方程的关系，可直接得到$x^2+2x$的值，无需解一元二次方程；第三步将$x^2+2x$的值整体代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的减法：$1-\frac{2}{x}=\frac{x}{x}-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$
2. 将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，因此原式变为：
$\frac{x-2}{x}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x+4}{x+2}$
3. 约分后计算：
约掉公因式$(x-2)$得$\frac{x+2}{x}-\frac{x+4}{x+2}$
4. 通分计算分式减法：
通分后公分母为$x(x+2)$，分子为$(x+2)^2 - x(x+4)$
展开分子：$(x^2+4x+4)-(x^2+4x)=4$，因此化简结果为$\frac{4}{x(x+2)}=\frac{4}{x^2+2x}$
5. 代入求值：
已知$x^2+2x-15=0$，可得$x^2+2x=15$，将其代入化简后的式子得：
原式=$\frac{4}{15}$
【答案】
$\dfrac{4}{15}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心是掌握分式运算的顺序和约分、通分的规则，解题时注意观察已知条件和化简结果的关联，使用整体代入法可大大简化计算，同时要注意运算过程中因式分解的准确性，避免因约分、通分错误失分。
【难度系数】
0.7
13. 某超市预测某饮料未来市场前景较好,用1 600元购进一批该饮料,面市后果然供不应求,又用6 000元购进这种饮料,第二批购进饮料的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价为多少元?
(2)若两次购进饮料按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于1 200元,那么销售单价至少为多少元?
(1)第一批饮料进货单价为多少元?
(2)若两次购进饮料按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于1 200元,那么销售单价至少为多少元?
答案
13. (1)设第一批饮料进货单价为x元,则第二批饮料进货单价为(x+2)元. 根据题意,得$3·\frac{1600}{x}=\frac{6000}{x+2}$. 解得x=8. 经检验,x=8是分式方程的解并且符合题意. 答:第一批饮料进货单价为8元. (2)设销售单价为m元. 根据题意,得200(m-8)+600(m-10)≥1 200. 解得m≥11. 答:销售单价至少为11元。
解析
【分析】
(1) 求解第一批饮料进货单价，可通过设未知数，利用“第二批购进饮料的数量是第一批的3倍”这一等量关系列分式方程求解。先设第一批单价为x元，即可表示出第二批单价为(x+2)元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示两批的进货数量，结合数量的倍数关系列方程，解完后要检验分式方程的根是否满足分母不为0且符合实际意义。
(2) 求解最低销售单价，可利用“总获利不少于1200元”的不等关系列一元一次不等式求解。先根据第一问的结果算出两批饮料的进货数量和第二批的进货单价，再设销售单价为m元，分别表示出两批饮料的总利润，相加后大于等于1200，解不等式即可得到最低销售单价。
【解析】
(1) 设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元。
根据题意列方程：
$3·\frac{1600}{x}=\frac{6000}{x+2}$
去分母得：$4800(x+2)=6000x$
化简解得：$x=8$
检验：当$x=8$时，$x(x+2)=8×10=80≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：第一批饮料进货单价为8元。
(2) 设销售单价为m元。
由(1)得：第一批进货数量为$\frac{1600}{8}=200$瓶，第二批进货单价为$8+2=10$元，进货数量为$3×200=600$瓶。
根据总获利要求列不等式：
$200(m-8)+600(m-10)≥1200$
展开合并得：$800m≥8800$
解得：$m≥11$
答：销售单价至少为11元。
【答案】
(1) 8元；(2) 11元
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系列对应的式子求解，需注意分式方程求解后必须检验根的合理性，避免增根不符合题意，是代数应用模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一批饮料进货单价，可通过设未知数，利用“第二批购进饮料的数量是第一批的3倍”这一等量关系列分式方程求解。先设第一批单价为x元，即可表示出第二批单价为(x+2)元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示两批的进货数量，结合数量的倍数关系列方程，解完后要检验分式方程的根是否满足分母不为0且符合实际意义。
(2) 求解最低销售单价，可利用“总获利不少于1200元”的不等关系列一元一次不等式求解。先根据第一问的结果算出两批饮料的进货数量和第二批的进货单价，再设销售单价为m元，分别表示出两批饮料的总利润，相加后大于等于1200，解不等式即可得到最低销售单价。
【解析】
(1) 设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元。
根据题意列方程：
$3·\frac{1600}{x}=\frac{6000}{x+2}$
去分母得：$4800(x+2)=6000x$
化简解得：$x=8$
检验：当$x=8$时，$x(x+2)=8×10=80≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：第一批饮料进货单价为8元。
(2) 设销售单价为m元。
由(1)得：第一批进货数量为$\frac{1600}{8}=200$瓶，第二批进货单价为$8+2=10$元，进货数量为$3×200=600$瓶。
根据总获利要求列不等式：
$200(m-8)+600(m-10)≥1200$
展开合并得：$800m≥8800$
解得：$m≥11$
答：销售单价至少为11元。
【答案】
(1) 8元；(2) 11元
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系列对应的式子求解，需注意分式方程求解后必须检验根的合理性，避免增根不符合题意，是代数应用模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
