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14. 观察下列等式：
第一个等式：$a_1 = \frac{3}{1 × 2 × 2^2} = \frac{1}{1 × 2} - \frac{1}{2 × 2^2}$；
第二个等式：$a_2 = \frac{4}{2 × 3 × 2^3} = \frac{1}{2 × 2^2} - \frac{1}{3 × 2^3}$；
第三个等式：$a_3 = \frac{5}{3 × 4 × 2^4} = \frac{1}{3 × 2^3} - \frac{1}{4 × 2^4}$；
第四个等式：$a_4 = \frac{6}{4 × 5 × 2^5} = \frac{1}{4 × 2^4} - \frac{1}{5 × 2^5}$。
按上述规律，用含$n$（$n$为正整数）的代数式表示第$n$个等式$a_n$。
第一个等式：$a_1 = \frac{3}{1 × 2 × 2^2} = \frac{1}{1 × 2} - \frac{1}{2 × 2^2}$；
第二个等式：$a_2 = \frac{4}{2 × 3 × 2^3} = \frac{1}{2 × 2^2} - \frac{1}{3 × 2^3}$；
第三个等式：$a_3 = \frac{5}{3 × 4 × 2^4} = \frac{1}{3 × 2^3} - \frac{1}{4 × 2^4}$；
第四个等式：$a_4 = \frac{6}{4 × 5 × 2^5} = \frac{1}{4 × 2^4} - \frac{1}{5 × 2^5}$。
按上述规律，用含$n$（$n$为正整数）的代数式表示第$n$个等式$a_n$。
答案
14.$a_n=\frac{n+2}{n(n+1)·2^{n+1}}=\frac{1}{n·2^n}-\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}$。
解析
【分析】
解决这类规律探究题可分三步思考：第一步先观察等式左边的分子、分母随正整数n变化的规律，总结出$a_n$左侧的表达式；第二步再观察等式右边两个分式的分子、分母随n变化的规律，总结出右侧的表达式；最后通过分式减法运算验证左右两边是否相等，确保归纳的规律正确。
【解析】
1. 推导等式左侧的表达式：
观察已知等式，对第n个等式：
分子：n=1时为3=1+2，n=2时为4=2+2，以此类推，第n个的分子为$n+2$；
分母：n=1时为$1×2×2^{1+1}$，n=2时为$2×3×2^{2+1}$，以此类推，第n个的分母为$n(n+1)·2^{n+1}$；
因此左侧表达式为：$a_n=\frac{n+2}{n(n+1)·2^{n+1}}$。
2. 推导等式右侧的表达式：
观察右侧的差式结构：
被减数：n=1时为$\frac{1}{1×2^1}$，n=2时为$\frac{1}{2×2^2}$，以此类推，第n个的被减数为$\frac{1}{n·2^n}$；
减数：n=1时为$\frac{1}{2×2^2}$，n=2时为$\frac{1}{3×2^3}$，以此类推，第n个的减数为$\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}$；
因此右侧表达式为：$\frac{1}{n·2^n}-\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}$。
3. 验证等式成立：
将右侧通分计算：
$\frac{1}{n·2^n}-\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}=\frac{2(n+1)}{n(n+1)·2^{n+1}}-\frac{n}{n(n+1)·2^{n+1}}=\frac{2n+2-n}{n(n+1)·2^{n+1}}=\frac{n+2}{n(n+1)·2^{n+1}}$，和左侧相等，规律成立。
【答案】
$a_n=\frac{n+2}{n(n+1)·2^{n+1}}=\frac{1}{n·2^n}-\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}$
【知识点】
规律探究、分式裂项、分式加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察已知等式的结构特征，分别归纳左右两边的变化规律，最后通过分式运算验证结论，能有效锻炼归纳推理和分式运算能力。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探究题可分三步思考：第一步先观察等式左边的分子、分母随正整数n变化的规律，总结出$a_n$左侧的表达式；第二步再观察等式右边两个分式的分子、分母随n变化的规律，总结出右侧的表达式；最后通过分式减法运算验证左右两边是否相等，确保归纳的规律正确。
【解析】
1. 推导等式左侧的表达式：
观察已知等式，对第n个等式：
分子：n=1时为3=1+2，n=2时为4=2+2，以此类推，第n个的分子为$n+2$；
分母：n=1时为$1×2×2^{1+1}$，n=2时为$2×3×2^{2+1}$，以此类推，第n个的分母为$n(n+1)·2^{n+1}$；
因此左侧表达式为：$a_n=\frac{n+2}{n(n+1)·2^{n+1}}$。
2. 推导等式右侧的表达式：
观察右侧的差式结构：
被减数：n=1时为$\frac{1}{1×2^1}$，n=2时为$\frac{1}{2×2^2}$，以此类推，第n个的被减数为$\frac{1}{n·2^n}$；
减数：n=1时为$\frac{1}{2×2^2}$，n=2时为$\frac{1}{3×2^3}$，以此类推，第n个的减数为$\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}$；
因此右侧表达式为：$\frac{1}{n·2^n}-\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}$。
3. 验证等式成立：
将右侧通分计算：
$\frac{1}{n·2^n}-\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}=\frac{2(n+1)}{n(n+1)·2^{n+1}}-\frac{n}{n(n+1)·2^{n+1}}=\frac{2n+2-n}{n(n+1)·2^{n+1}}=\frac{n+2}{n(n+1)·2^{n+1}}$，和左侧相等，规律成立。
【答案】
$a_n=\frac{n+2}{n(n+1)·2^{n+1}}=\frac{1}{n·2^n}-\frac{1}{(n+1)·2^{n+1}}$
【知识点】
规律探究、分式裂项、分式加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察已知等式的结构特征，分别归纳左右两边的变化规律，最后通过分式运算验证结论，能有效锻炼归纳推理和分式运算能力。
【难度系数】
0.7
1. 有下列各式：$\frac{a-b}{2}$，$\frac{x+3}{x}$，$\frac{5+y}{π}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2+1)$，$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$，不是分式的共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
解题前先明确分式的判定标准：如果一个式子的分母中含有字母，那么这个式子就是分式，反之分母不含字母的有理式是整式，不属于分式。要注意两点：一是π是固定的常数，不属于字母；二是判定是否为分式只需看原式的形式，不要先约分再判断。接下来逐个分析给出的5个式子，统计不属于分式的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子中，若$A$、$B$均为整式，且$B$中含有字母，则该式为分式，我们逐个判断：
1. $\frac{a-b}{2}$：分母是常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x+3}{x}$：分母为$x$，含有字母，是分式；
3. $\frac{5+y}{π}$：$π$是固定常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2+1)$：可改写为$\frac{\sqrt{3}(x^2+1)}{4}$，分母是常数4，不含字母，属于整式，不是分式；
5. $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$：分母为$a+b$，含有字母，判定时看原式形式无需约分，因此是分式。
综上，不是分式的共有3个。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义，整式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点主要有两处：一是误将常数$π$当作字母，错把$\frac{5+y}{π}$判定为分式；二是对$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$判定时先约分，误认为分母不含字母而判定为整式，要牢记分式判定只需看原式的分母是否含有字母即可。
【难度系数】
0.7
解题前先明确分式的判定标准：如果一个式子的分母中含有字母，那么这个式子就是分式，反之分母不含字母的有理式是整式，不属于分式。要注意两点：一是π是固定的常数，不属于字母；二是判定是否为分式只需看原式的形式，不要先约分再判断。接下来逐个分析给出的5个式子，统计不属于分式的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子中，若$A$、$B$均为整式，且$B$中含有字母，则该式为分式，我们逐个判断：
1. $\frac{a-b}{2}$：分母是常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x+3}{x}$：分母为$x$，含有字母，是分式；
3. $\frac{5+y}{π}$：$π$是固定常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2+1)$：可改写为$\frac{\sqrt{3}(x^2+1)}{4}$，分母是常数4，不含字母，属于整式，不是分式；
5. $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$：分母为$a+b$，含有字母，判定时看原式形式无需约分，因此是分式。
综上，不是分式的共有3个。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义，整式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点主要有两处：一是误将常数$π$当作字母，错把$\frac{5+y}{π}$判定为分式；二是对$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$判定时先约分，误认为分母不含字母而判定为整式，要牢记分式判定只需看原式的分母是否含有字母即可。
【难度系数】
0.7
2. 若分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值为0，则x的值为（
A.-1
B.0
C.$\pm1$
D.1
D
）A.-1
B.0
C.$\pm1$
D.1
答案
2.D
解析
【分析】要确定使分式值为0的x的取值，需明确分式值为0的成立条件：一是分子的值为0，二是分式要有意义即分母不为0，两个条件必须同时满足。解题时先通过分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值即可得到正确结果。
【解析】分式的值为0需同时满足两个条件：①分子为0；②分母不为0。
第一步：令分子等于0，列方程：
$x^2 - 1 = 0$
解得：$x = 1$ 或 $x = -1$
第二步：根据分母不为0的要求，列不等式：
$x + 1 ≠ 0$
解得：$x ≠ -1$
第三步：综合两个条件，排除$x=-1$，可得$x=1$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】分式值为0的条件；分式有意义的条件；解整式方程
【点评】本题是分式章节的常考基础题型，易错点是仅考虑分子为0的条件，忽略分母不能为0的限制，解题时要注意两个条件需同时成立，避免因粗心漏判导致错误。
【难度系数】0.7
【解析】分式的值为0需同时满足两个条件：①分子为0；②分母不为0。
第一步：令分子等于0，列方程：
$x^2 - 1 = 0$
解得：$x = 1$ 或 $x = -1$
第二步：根据分母不为0的要求，列不等式：
$x + 1 ≠ 0$
解得：$x ≠ -1$
第三步：综合两个条件，排除$x=-1$，可得$x=1$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】分式值为0的条件；分式有意义的条件；解整式方程
【点评】本题是分式章节的常考基础题型，易错点是仅考虑分子为0的条件，忽略分母不能为0的限制，解题时要注意两个条件需同时成立，避免因粗心漏判导致错误。
【难度系数】0.7
3. 已知$x^2 - 3x - 4 = 0$，则代数式$\frac{x}{x^2 - x - 4}$的值是（
A.3
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
D
）A.3
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先观察已知方程与所求代数式的结构特征，两者均含有$x^2$和常数项$-4$，因此可采用整体代入的思路简化计算：首先从已知方程中变形得到$x^2$的表达式，再代入所求代数式的分母化简，同时要注意判断x的取值不为0，保证分式有意义、约分合法。也可以先解出一元二次方程的根，直接代入代数式计算验证结果。
【解析】
方法一（整体代入法）：
已知$x^2 - 3x - 4 = 0$，移项得$x^2 = 3x + 4$。
若$x=0$，代入原方程左边得$-4 ≠ 0$，因此$x ≠ 0$。
将$x^2 = 3x + 4$代入代数式$\frac{x}{x^2 - x - 4}$的分母：
$x^2 - x - 4 = 3x + 4 - x - 4 = 2x$
因此原式$=\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$。
方法二（直接代入法）：
解方程$x^2 - 3x - 4 = 0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x=4$或$x=-1$。
当$x=4$时，$\frac{x}{x^2 - x - 4}=\frac{4}{16 - 4 - 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；
当$x=-1$时，$\frac{x}{x^2 - x - 4}=\frac{-1}{1 + 1 - 4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$。
综上，代数式的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
整体代入求值、分式化简、一元二次方程求解
【点评】
本题考查代数式求值，两种解法中整体代入法更为简便，核心是发现已知条件和所求代数式的结构关联，通过变形减少计算量，同时要注意验证分母不为0，保证分式运算的合法性。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知方程与所求代数式的结构特征，两者均含有$x^2$和常数项$-4$，因此可采用整体代入的思路简化计算：首先从已知方程中变形得到$x^2$的表达式，再代入所求代数式的分母化简，同时要注意判断x的取值不为0，保证分式有意义、约分合法。也可以先解出一元二次方程的根，直接代入代数式计算验证结果。
【解析】
方法一（整体代入法）：
已知$x^2 - 3x - 4 = 0$，移项得$x^2 = 3x + 4$。
若$x=0$，代入原方程左边得$-4 ≠ 0$，因此$x ≠ 0$。
将$x^2 = 3x + 4$代入代数式$\frac{x}{x^2 - x - 4}$的分母：
$x^2 - x - 4 = 3x + 4 - x - 4 = 2x$
因此原式$=\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$。
方法二（直接代入法）：
解方程$x^2 - 3x - 4 = 0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x=4$或$x=-1$。
当$x=4$时，$\frac{x}{x^2 - x - 4}=\frac{4}{16 - 4 - 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；
当$x=-1$时，$\frac{x}{x^2 - x - 4}=\frac{-1}{1 + 1 - 4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$。
综上，代数式的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
整体代入求值、分式化简、一元二次方程求解
【点评】
本题考查代数式求值，两种解法中整体代入法更为简便，核心是发现已知条件和所求代数式的结构关联，通过变形减少计算量，同时要注意验证分母不为0，保证分式运算的合法性。
【难度系数】
0.7
4. 计算$\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}$，结果正确的是（
A.1
B.x
C.$\frac{1}{x}$
D.$\frac{x+2}{x}$
A
）A.1
B.x
C.$\frac{1}{x}$
D.$\frac{x+2}{x}$
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先判断两个分式的分母相同，符合同分母分式加减的运算条件，再依据同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，对原式进行计算，最后化简分子、约分得到结果，匹配对应选项即可。
【解析】
因为两个分式是同分母分式，根据同分母分式减法运算法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}&=\frac{(x+1)-1}{x}\\&=\frac{x+1-1}{x}\\&=\frac{x}{x}\\&=1\end{aligned}$
所以计算结果为1。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的加减运算法则，运算过程难度低，只需准确运用法则计算、正确约分即可得到正确结果，是分式运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先判断两个分式的分母相同，符合同分母分式加减的运算条件，再依据同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，对原式进行计算，最后化简分子、约分得到结果，匹配对应选项即可。
【解析】
因为两个分式是同分母分式，根据同分母分式减法运算法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}&=\frac{(x+1)-1}{x}\\&=\frac{x+1-1}{x}\\&=\frac{x}{x}\\&=1\end{aligned}$
所以计算结果为1。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的加减运算法则，运算过程难度低，只需准确运用法则计算、正确约分即可得到正确结果，是分式运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
