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5. 某植物的果实质量只有0.000 000 076克. 将0.000 000 076用科学记数法表示为$7.6×10^{n},$则n等于
（
A.-9
B.-8
C.9
D.8
（
B
）A.-9
B.-8
C.9
D.8
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为负整数。解题思路分两步：第一步确认题目给出的$a=7.6$符合$1≤ a＜10$的要求；第二步确定$n$的值，可以通过两种方法：一是数原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包含整数位的零），这个个数就是$n$的绝对值，因为原数小于1，所以$n$为负数；二是看把原数的小数点向右移动几位能得到$a$，移动的位数的相反数就是$n$的值。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的规范形式为$a×10^n$，要求满足$1≤ a＜10$，且$n$为负整数，$n$的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的总个数（含整数位的零）。
对于原数$0.000000076$，左起第一个非零数字是7，它前面的零一共有8个（整数位1个零，小数点后有7个零，合计8个），因此$n$的绝对值为8，又因为原数小于1，所以$n=-8$。
也可通过移动小数点验证：将$0.000000076$的小数点向右移动8位可得到$7.6$，向右移动几位则指数为负的几，即$n=-8$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是掌握表示较小数时指数$n$的确定规则，熟练后可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为负整数。解题思路分两步：第一步确认题目给出的$a=7.6$符合$1≤ a＜10$的要求；第二步确定$n$的值，可以通过两种方法：一是数原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包含整数位的零），这个个数就是$n$的绝对值，因为原数小于1，所以$n$为负数；二是看把原数的小数点向右移动几位能得到$a$，移动的位数的相反数就是$n$的值。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的规范形式为$a×10^n$，要求满足$1≤ a＜10$，且$n$为负整数，$n$的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的总个数（含整数位的零）。
对于原数$0.000000076$，左起第一个非零数字是7，它前面的零一共有8个（整数位1个零，小数点后有7个零，合计8个），因此$n$的绝对值为8，又因为原数小于1，所以$n=-8$。
也可通过移动小数点验证：将$0.000000076$的小数点向右移动8位可得到$7.6$，向右移动几位则指数为负的几，即$n=-8$。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是掌握表示较小数时指数$n$的确定规则，熟练后可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
一、选择题
1. 下列各式中,分式的个数为（
①$\frac{x-y}{3}$；②$\frac{a}{2x-1}$；③$-\frac{3a}{b}$；④$\frac{1}{2x+y}$；⑤$\frac{1}{2}x+y$；⑥$\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x+3}$
A.5
B.4
C.3
D.2
1. 下列各式中,分式的个数为（
C
）①$\frac{x-y}{3}$；②$\frac{a}{2x-1}$；③$-\frac{3a}{b}$；④$\frac{1}{2x+y}$；⑤$\frac{1}{2}x+y$；⑥$\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x+3}$
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
1.C
解析
【分析】
要判断分式的个数，首先需要明确分式的判定标准：①分式属于代数式，等式、不等式都不属于分式的讨论范畴；②形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式）且分母B中含有字母的式子是分式。解题时先排除不是代数式的式子，再逐一检查剩余式子的分母是否含字母，统计符合条件的分式个数即可。
【解析】
根据分式的定义逐一分析各选项：
1. 先排除非代数式：⑥$\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x+3}$是等式（分式方程），不属于代数式，不是分式。
2. 分析剩余代数式：
①$\frac{x-y}{3}$：分母为3（常数，不含字母），属于整式，不是分式；
②$\frac{a}{2x-1}$：分母为$2x-1$，含有字母$x$，是分式；
③$-\frac{3a}{b}$：分母为$b$，含有字母$b$，是分式；
④$\frac{1}{2x+y}$：分母为$2x+y$，含有字母$x、y$，是分式；
⑤$\frac{1}{2}x+y$：不存在含字母的分母，属于整式，不是分式。
综上，符合条件的分式为②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题是对基础概念的考查，易错点有两个：一是误将分式方程当作分式，二是把分母为常数的含分母整式错判为分式，解题时牢记分式的两个判定要点即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要判断分式的个数，首先需要明确分式的判定标准：①分式属于代数式，等式、不等式都不属于分式的讨论范畴；②形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式）且分母B中含有字母的式子是分式。解题时先排除不是代数式的式子，再逐一检查剩余式子的分母是否含字母，统计符合条件的分式个数即可。
【解析】
根据分式的定义逐一分析各选项：
1. 先排除非代数式：⑥$\frac{2}{x-2}=\frac{1}{x+3}$是等式（分式方程），不属于代数式，不是分式。
2. 分析剩余代数式：
①$\frac{x-y}{3}$：分母为3（常数，不含字母），属于整式，不是分式；
②$\frac{a}{2x-1}$：分母为$2x-1$，含有字母$x$，是分式；
③$-\frac{3a}{b}$：分母为$b$，含有字母$b$，是分式；
④$\frac{1}{2x+y}$：分母为$2x+y$，含有字母$x、y$，是分式；
⑤$\frac{1}{2}x+y$：不存在含字母的分母，属于整式，不是分式。
综上，符合条件的分式为②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义、整式的概念
【点评】
本题是对基础概念的考查，易错点有两个：一是误将分式方程当作分式，二是把分母为常数的含分母整式错判为分式，解题时牢记分式的两个判定要点即可避免出错。
【难度系数】
0.7
2. 下列计算正确的是 (
A.$(-3)^0=1$
B.$3^{-1}=-3$
C.$-3^2=9$
D.$3^3=9$
A
)A.$(-3)^0=1$
B.$3^{-1}=-3$
C.$-3^2=9$
D.$3^3=9$
答案
2.A
解析
【分析】
这道题考查幂的相关运算和有理数乘方的计算，解题时需逐个分析每个选项，结合对应的运算法则算出结果后判断对错，最终选出正确选项。解题前先回忆相关运算法则：①任何非零数的0次幂都等于1；②负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；③有理数乘方运算要注意区分带负号的底数和乘方的相反数的差异。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
A选项：根据零指数幂的运算法则，非零数的0次幂为1，由于$-3≠0$，因此$(-3)^0=1$，该选项计算正确。
B选项：根据负整数指数幂的运算规则，$3^{-1}=\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}≠-3$，该选项计算错误。
C选项：$-3^2$表示$3^2$的相反数，计算得$3^2=9$，因此$-3^2=-9≠9$，该选项计算错误。
D选项：$3^3=3×3×3=27≠9$，该选项计算错误。
综上，计算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是准确掌握各类幂运算的规则，尤其要注意区分$(-a)^2$和$-a^2$的差异，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查幂的相关运算和有理数乘方的计算，解题时需逐个分析每个选项，结合对应的运算法则算出结果后判断对错，最终选出正确选项。解题前先回忆相关运算法则：①任何非零数的0次幂都等于1；②负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；③有理数乘方运算要注意区分带负号的底数和乘方的相反数的差异。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
A选项：根据零指数幂的运算法则，非零数的0次幂为1，由于$-3≠0$，因此$(-3)^0=1$，该选项计算正确。
B选项：根据负整数指数幂的运算规则，$3^{-1}=\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}≠-3$，该选项计算错误。
C选项：$-3^2$表示$3^2$的相反数，计算得$3^2=9$，因此$-3^2=-9≠9$，该选项计算错误。
D选项：$3^3=3×3×3=27≠9$，该选项计算错误。
综上，计算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是准确掌握各类幂运算的规则，尤其要注意区分$(-a)^2$和$-a^2$的差异，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
3. 下列分式是最简分式的是 (
A.$\frac{2x}{x^2+1}$
B.$\frac{x-1}{x^2-1}$
C.$\frac{4}{2x}$
D.$\frac{1-x}{2}$
A
)A.$\frac{2x}{x^2+1}$
B.$\frac{x-1}{x^2-1}$
C.$\frac{4}{2x}$
D.$\frac{1-x}{2}$
答案
3.A
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先需要明确两个核心概念：①分式的定义：分母中含有字母的有理式是分式；②最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时先排除不是分式的选项，再对剩余选项逐一判断分子、分母是否存在公因式，没有公因式的即为正确答案。
【解析】
首先明确判断规则：先判断式子是否为分式，再判断分式的分子与分母是否有公因式，无公因式的分式是最简分式。
选项A：分子为$2x$，分母为$x^2+1$，$x^2+1$无法在实数范围内因式分解，分子分母没有公因式，且分母含字母$x$，是分式，符合最简分式要求；
选项B：分母$x^2-1$因式分解为$(x-1)(x+1)$，与分子$x-1$有公因式$x-1$，可约分为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
选项C：分子$4$与分母$2x$有公因式$2$，可约分为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
选项D：分母为$2$，不含字母，属于整式，不是分式，不符合要求。
综上，只有A是最简分式。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的关键是牢记分式和最简分式的定义，判断时要先区分整式和分式，再通过因式分解确认分子分母是否存在公因式，避免误将整式当成分式判断。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简分式，首先需要明确两个核心概念：①分式的定义：分母中含有字母的有理式是分式；②最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时先排除不是分式的选项，再对剩余选项逐一判断分子、分母是否存在公因式，没有公因式的即为正确答案。
【解析】
首先明确判断规则：先判断式子是否为分式，再判断分式的分子与分母是否有公因式，无公因式的分式是最简分式。
选项A：分子为$2x$，分母为$x^2+1$，$x^2+1$无法在实数范围内因式分解，分子分母没有公因式，且分母含字母$x$，是分式，符合最简分式要求；
选项B：分母$x^2-1$因式分解为$(x-1)(x+1)$，与分子$x-1$有公因式$x-1$，可约分为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
选项C：分子$4$与分母$2x$有公因式$2$，可约分为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
选项D：分母为$2$，不含字母，属于整式，不是分式，不符合要求。
综上，只有A是最简分式。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的关键是牢记分式和最简分式的定义，判断时要先区分整式和分式，再通过因式分解确认分子分母是否存在公因式，避免误将整式当成分式判断。
【难度系数】
0.8
4.若分式$\frac{x^2 -4}{2x -4}$的值为0，则x等于（
A.2
B.-2
C.$\pm2$
D.0
B
）A.2
B.-2
C.$\pm2$
D.0
答案
4.B
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需明确两个必须同时满足的条件：一是分式的分子的值为0，二是分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先求出使分子为0的x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 4 = 0$，
解方程得$x^2=4$，即$x=2$或$x=-2$；
2. 分母不等于0：$2x - 4 ≠ 0$，
解不等式得$2x≠4$，即$x≠2$。
综合两个条件，排除$x=2$，因此$x=-2$。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的常见基础题型，易错点是仅考虑分子为0的条件，忽略分母不能为0的限制，容易误选C选项，解题时要注意两个条件需同时成立。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需明确两个必须同时满足的条件：一是分式的分子的值为0，二是分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先求出使分子为0的x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 4 = 0$，
解方程得$x^2=4$，即$x=2$或$x=-2$；
2. 分母不等于0：$2x - 4 ≠ 0$，
解不等式得$2x≠4$，即$x≠2$。
综合两个条件，排除$x=2$，因此$x=-2$。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的常见基础题型，易错点是仅考虑分子为0的条件，忽略分母不能为0的限制，容易误选C选项，解题时要注意两个条件需同时成立。
【难度系数】
0.7
5. 关于$x$的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$的解是正数，则$m$的取值范围是（
A.$m＞3$
B.$m＜3$
C.$m＞-3$
D.$m＜-3$
D
）A.$m＞3$
B.$m＜3$
C.$m＞-3$
D.$m＜-3$
答案
5.D
解析
【分析】
要确定参数m的取值范围，首先需要解分式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；再根据“解是正数”的条件列出关于m的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，否则解为增根，需要排除对应的m值，综合所有条件就能得到m的取值范围。
【解析】
第一步：解分式方程，给方程两边同乘最简公分母$(x+1)$（注意$x+1≠0$即$x≠-1$），得：
$2x - m = 3(x + 1)$
展开右边：$2x - m = 3x + 3$
移项合并同类项：$2x - 3x = 3 + m$，即$-x = 3 + m$
系数化为1得：$x = -m - 3$
第二步：根据解是正数，可得$x＞0$，即：
$-m - 3 ＞ 0$
移项得：$-m ＞ 3$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$m ＜ -3$
第三步：验证增根条件：因为$x≠-1$，代入$x=-m-3$得$-m-3≠-1$，解得$m≠-2$。而$m ＜ -3$的范围内$m$不可能等于$-2$，该条件自动满足。
因此$m$的取值范围是$m ＜ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，解一元一次不等式，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常规考法，易错点有两个：一是解系数为负的一元一次不等式时，容易忘记改变不等号的方向；二是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，解题时要注意两种情况都考虑到，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
要确定参数m的取值范围，首先需要解分式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；再根据“解是正数”的条件列出关于m的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，否则解为增根，需要排除对应的m值，综合所有条件就能得到m的取值范围。
【解析】
第一步：解分式方程，给方程两边同乘最简公分母$(x+1)$（注意$x+1≠0$即$x≠-1$），得：
$2x - m = 3(x + 1)$
展开右边：$2x - m = 3x + 3$
移项合并同类项：$2x - 3x = 3 + m$，即$-x = 3 + m$
系数化为1得：$x = -m - 3$
第二步：根据解是正数，可得$x＞0$，即：
$-m - 3 ＞ 0$
移项得：$-m ＞ 3$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$m ＜ -3$
第三步：验证增根条件：因为$x≠-1$，代入$x=-m-3$得$-m-3≠-1$，解得$m≠-2$。而$m ＜ -3$的范围内$m$不可能等于$-2$，该条件自动满足。
因此$m$的取值范围是$m ＜ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，解一元一次不等式，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常规考法，易错点有两个：一是解系数为负的一元一次不等式时，容易忘记改变不等号的方向；二是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，解题时要注意两种情况都考虑到，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
6. 甲从商贩A处购买了若干千克西瓜，又从商贩B处购买了若干千克西瓜.A、B两处所购买的西瓜质量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（
A.商贩A的单价大于商贩B的单价
B.商贩A的单价等于商贩B的单价
C.商贩A的单价小于商贩B的单价
D.赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
A
）A.商贩A的单价大于商贩B的单价
B.商贩A的单价等于商贩B的单价
C.商贩A的单价小于商贩B的单价
D.赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
答案
6.A 提示:设A处单价为a,B处单价为b,A、B两处所购买的西瓜质量分别为3m和2m,则利润=总售价-总成本=$\frac{a+b}{2}×5m-(3am+2bm)=0.5bm-0.5am=0.5m(b-a)$. $\because$ 赔钱了,说明利润小于0,$\therefore 0.5m(b-a)＜0.\therefore a＞b$。
解析
【分析】
本题属于买卖盈亏类问题，核心依据是“利润=总售价-总成本”的数量关系，赔钱的本质就是利润小于0。解题时先根据A、B两处购买的质量比3:2，设参数表示两处的购买质量，再分别设两处西瓜的单价，依次表示出总成本和总售价，列出利润的代数式后，结合利润小于0的条件推导两个单价的大小关系，就能得到答案。
【解析】
设商贩A处西瓜单价为$a$元/千克，商贩B处西瓜单价为$b$元/千克，从A、B两处购买的西瓜质量分别为$3m$千克、$2m$千克（$m＞0$）。
1. 计算总售价：售卖单价为A、B两处单价的平均数，即$\frac{a+b}{2}$元/千克，总质量为$3m+2m=5m$千克，因此总售价为$\frac{a+b}{2} × 5m$。
2. 计算总成本：在A处花费$3am$元，在B处花费$2bm$元，总成本为$3am+2bm$。
3. 推导利润的表达式：
$\begin{aligned}\mathrm{利润}&=\mathrm{总售价}-\mathrm{总成本}\\&=\frac{a+b}{2} × 5m - (3am + 2bm)\\&=2.5am+2.5bm-3am-2bm\\&=0.5bm-0.5am\\&=0.5m(b-a)\end{aligned}$
已知赔钱说明利润小于0，即$0.5m(b-a)＜0$，由于$m＞0$、$0.5＞0$，因此可得$b-a＜0$，即$a＞b$，也就是商贩A的单价大于商贩B的单价。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，不等式的应用，利润问题计算
【点评】
本题结合生活中的买卖场景命题，解题关键是合理设置参数表示质量、单价，正确列出总售价、总成本的代数式，再结合盈亏条件推导单价的大小关系，能够有效考查学生的代数应用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
本题属于买卖盈亏类问题，核心依据是“利润=总售价-总成本”的数量关系，赔钱的本质就是利润小于0。解题时先根据A、B两处购买的质量比3:2，设参数表示两处的购买质量，再分别设两处西瓜的单价，依次表示出总成本和总售价，列出利润的代数式后，结合利润小于0的条件推导两个单价的大小关系，就能得到答案。
【解析】
设商贩A处西瓜单价为$a$元/千克，商贩B处西瓜单价为$b$元/千克，从A、B两处购买的西瓜质量分别为$3m$千克、$2m$千克（$m＞0$）。
1. 计算总售价：售卖单价为A、B两处单价的平均数，即$\frac{a+b}{2}$元/千克，总质量为$3m+2m=5m$千克，因此总售价为$\frac{a+b}{2} × 5m$。
2. 计算总成本：在A处花费$3am$元，在B处花费$2bm$元，总成本为$3am+2bm$。
3. 推导利润的表达式：
$\begin{aligned}\mathrm{利润}&=\mathrm{总售价}-\mathrm{总成本}\\&=\frac{a+b}{2} × 5m - (3am + 2bm)\\&=2.5am+2.5bm-3am-2bm\\&=0.5bm-0.5am\\&=0.5m(b-a)\end{aligned}$
已知赔钱说明利润小于0，即$0.5m(b-a)＜0$，由于$m＞0$、$0.5＞0$，因此可得$b-a＜0$，即$a＞b$，也就是商贩A的单价大于商贩B的单价。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，不等式的应用，利润问题计算
【点评】
本题结合生活中的买卖场景命题，解题关键是合理设置参数表示质量、单价，正确列出总售价、总成本的代数式，再结合盈亏条件推导单价的大小关系，能够有效考查学生的代数应用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
7. 用小数表示 $2.61× 10^{-5} =$
0.0000261
.答案
7. 0.000 026 1
解析
【分析】
本题考查科学记数法表示的绝对值小于1的数还原为小数的方法。解题时首先明确科学记数法$a×10^{-n}$（其中$1≤|a|＜10$，n为正整数）的还原规则：把a的小数点向左移动n位，数位不够时用0补齐即可。本题中10的指数是-5，对应n=5，因此只需将2.61的小数点向左移动5位就能得到结果。
【解析】
科学记数法$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，n是正整数）还原为普通小数时，需将a的小数点向左移动n位，不足的数位补0。
本题中$2.61×10^{-5}$的指数为-5，即n=5，将2.61的小数点向左移动5位：
左移1位得0.261，左移2位得0.0261，左移3位得0.00261，左移4位得0.000261，左移5位得0.0000261。
【答案】
0.0000261
【知识点】
科学记数法还原
【点评】
本题是基础题型，重点考查科学记数法表示较小数的逆运算，牢记小数点移动方向和位数的对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法表示的绝对值小于1的数还原为小数的方法。解题时首先明确科学记数法$a×10^{-n}$（其中$1≤|a|＜10$，n为正整数）的还原规则：把a的小数点向左移动n位，数位不够时用0补齐即可。本题中10的指数是-5，对应n=5，因此只需将2.61的小数点向左移动5位就能得到结果。
【解析】
科学记数法$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，n是正整数）还原为普通小数时，需将a的小数点向左移动n位，不足的数位补0。
本题中$2.61×10^{-5}$的指数为-5，即n=5，将2.61的小数点向左移动5位：
左移1位得0.261，左移2位得0.0261，左移3位得0.00261，左移4位得0.000261，左移5位得0.0000261。
【答案】
0.0000261
【知识点】
科学记数法还原
【点评】
本题是基础题型，重点考查科学记数法表示较小数的逆运算，牢记小数点移动方向和位数的对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 有下列各式：①$(-1)^0 = 1$；②$(-1)^1 = -1$；③$3a^{-2} = \frac{1}{3a^2}$；④$(-x)^5 ÷ (-x)^3 = -x^2$。其中正确的式子有
2
个。答案
8. 2
解析
【分析】
这道题需要我们逐个判断给出的4个幂运算式子的正确性，解题时依次运用零指数幂、乘方的定义、负整数指数幂、同底数幂除法的运算法则验证每一个式子，最后统计正确式子的个数即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. 分析式子①：根据零指数幂的运算法则，任意非零数的0次幂都等于1，$-1≠0$，因此$(-1)^0=1$，该式正确。
2. 分析式子②：$(-1)^1$表示1个$-1$相乘，结果为$-1$，因此$(-1)^1=-1$，该式正确。
3. 分析式子③：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}$，不等于$\frac{1}{3a^2}$，该式错误。
4. 分析式子④：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$(-x)^5 ÷ (-x)^3 = (-x)^{5-3}=(-x)^2=x^2$，不等于$-x^2$，该式错误。
综上，正确的式子是①②，共2个。
【答案】
2
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；同底数幂的除法
【点评】
本题侧重考查整数指数幂的基础运算规则，解题时要注意负整数指数幂中系数的位置，以及乘方运算的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题需要我们逐个判断给出的4个幂运算式子的正确性，解题时依次运用零指数幂、乘方的定义、负整数指数幂、同底数幂除法的运算法则验证每一个式子，最后统计正确式子的个数即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. 分析式子①：根据零指数幂的运算法则，任意非零数的0次幂都等于1，$-1≠0$，因此$(-1)^0=1$，该式正确。
2. 分析式子②：$(-1)^1$表示1个$-1$相乘，结果为$-1$，因此$(-1)^1=-1$，该式正确。
3. 分析式子③：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}$，不等于$\frac{1}{3a^2}$，该式错误。
4. 分析式子④：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$(-x)^5 ÷ (-x)^3 = (-x)^{5-3}=(-x)^2=x^2$，不等于$-x^2$，该式错误。
综上，正确的式子是①②，共2个。
【答案】
2
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；同底数幂的除法
【点评】
本题侧重考查整数指数幂的基础运算规则，解题时要注意负整数指数幂中系数的位置，以及乘方运算的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
9. 化简$(1+\dfrac{2}{x-1})÷\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}$的结果是
x-1
答案
9. x-1
解析
【分析】
这是一道分式混合运算题，解题思路按照分式运算的优先级展开：首先处理括号内的加法运算，将整数1通分转化为分母为$x-1$的分式，再和$\frac{2}{x-1}$相加；接下来把除法运算转化为乘法运算，除以一个分式等于乘这个分式的倒数；同时对多项式$x^2-2x+1$用完全平方公式因式分解，最后将分子分母的公因式约去，就能得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{2}{x-1})÷\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}\\=&(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1})÷\dfrac{x+1}{(x-1)^2}\\=&\dfrac{x-1+2}{x-1}×\dfrac{(x-1)^2}{x+1}\\=&\dfrac{x+1}{x-1}×\dfrac{(x-1)^2}{x+1}\\=&x-1\end{aligned}$
【答案】
$x-1$
【知识点】
分式的混合运算、完全平方公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题的核心是掌握分式运算顺序和运算法则，计算时先对多项式因式分解再约分，能简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这是一道分式混合运算题，解题思路按照分式运算的优先级展开：首先处理括号内的加法运算，将整数1通分转化为分母为$x-1$的分式，再和$\frac{2}{x-1}$相加；接下来把除法运算转化为乘法运算，除以一个分式等于乘这个分式的倒数；同时对多项式$x^2-2x+1$用完全平方公式因式分解，最后将分子分母的公因式约去，就能得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{2}{x-1})÷\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}\\=&(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1})÷\dfrac{x+1}{(x-1)^2}\\=&\dfrac{x-1+2}{x-1}×\dfrac{(x-1)^2}{x+1}\\=&\dfrac{x+1}{x-1}×\dfrac{(x-1)^2}{x+1}\\=&x-1\end{aligned}$
【答案】
$x-1$
【知识点】
分式的混合运算、完全平方公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题的核心是掌握分式运算顺序和运算法则，计算时先对多项式因式分解再约分，能简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
10. 若$a^2 +5ab -b^2=0$，则$\frac{b}{a} - \frac{a}{b}$的值为
5
。答案
10. 5
解析
【分析】
解题时先从所求代数式入手，先对$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}$通分化简为单个分式，再观察已知等式的结构，通过移项变形得到化简后代数式分子的整体值，最后整体代入计算即可，注意由分式有意义的条件可得$a≠0、b≠0$，可正常进行约分操作。
【解析】
解：先对所求代数式通分化简：
$\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2}{ab} - \frac{a^2}{ab} = \frac{b^2 - a^2}{ab}$
对已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$移项可得：
$b^2 - a^2 = 5ab$
∵代数式中$\frac{b}{a}$、$\frac{a}{b}$有意义，
∴$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$
将$b^2 - a^2 = 5ab$代入化简后的式子：
$\frac{b^2 - a^2}{ab} = \frac{5ab}{ab} = 5$
【答案】
5
【知识点】
分式化简，等式变形，整体代入
【点评】
本题属于分式计算的基础常考题，不需要单独求解a、b的具体数值，核心是掌握先化简所求式、再结合已知条件变形整体代入的解题思路，能很好地考查对分式运算和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从所求代数式入手，先对$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}$通分化简为单个分式，再观察已知等式的结构，通过移项变形得到化简后代数式分子的整体值，最后整体代入计算即可，注意由分式有意义的条件可得$a≠0、b≠0$，可正常进行约分操作。
【解析】
解：先对所求代数式通分化简：
$\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2}{ab} - \frac{a^2}{ab} = \frac{b^2 - a^2}{ab}$
对已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$移项可得：
$b^2 - a^2 = 5ab$
∵代数式中$\frac{b}{a}$、$\frac{a}{b}$有意义，
∴$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$
将$b^2 - a^2 = 5ab$代入化简后的式子：
$\frac{b^2 - a^2}{ab} = \frac{5ab}{ab} = 5$
【答案】
5
【知识点】
分式化简，等式变形，整体代入
【点评】
本题属于分式计算的基础常考题，不需要单独求解a、b的具体数值，核心是掌握先化简所求式、再结合已知条件变形整体代入的解题思路，能很好地考查对分式运算和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
