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七、零指数幂和负整数指数幂
1. 计算：$2^{-3}=$
1. 计算：$2^{-3}=$
$\frac{1}{8}$
.答案
1.$\frac{1}{8}$
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的运算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）。接下来确定本题中底数$a=2$，指数的绝对值$p=3$，将其代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}$
计算$2^3=2×2×2=8$，因此$2^{-3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察对负整数指数幂运算法则的识记与应用，熟练掌握相关运算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查负整数指数幂的运算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）。接下来确定本题中底数$a=2$，指数的绝对值$p=3$，将其代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}$
计算$2^3=2×2×2=8$，因此$2^{-3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察对负整数指数幂运算法则的识记与应用，熟练掌握相关运算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.若$(x-3)^0=1$成立，则x______；若$(x+3)^{-2}$没有意义，则x=______.
答案
2. ≠3 -3
解析
【分析】
解题时需结合零指数幂、负整数指数幂的运算规则分析：①零指数幂的运算要求底数不为0，只有底数非0时，零指数幂的结果才为1，因此求解$(x-3)^0=1$的条件时，只需令底数$x-3≠0$即可；②负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，若负指数幂无意义，说明转化后的分式分母为0，即底数为0，因此求解$(x+3)^{-2}$无意义的x值时，只需令底数$x+3=0$即可。
【解析】
1. 若$(x-3)^0=1$成立：
根据零指数幂的运算性质，底数不能为0，可得：
$x-3≠0$
解得：$x≠3$
2. 若$(x+3)^{-2}$没有意义：
根据负整数指数幂的意义，$(x+3)^{-2}=\frac{1}{(x+3)^2}$，分式无意义时分母为0，可得：
$x+3=0$
解得：$x=-3$
【答案】
≠3；-3
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础考点，核心考查幂运算中底数的隐含限制条件，解题的关键是牢记零指数幂、负整数指数幂成立的前提是底数不为0，避免遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.9
解题时需结合零指数幂、负整数指数幂的运算规则分析：①零指数幂的运算要求底数不为0，只有底数非0时，零指数幂的结果才为1，因此求解$(x-3)^0=1$的条件时，只需令底数$x-3≠0$即可；②负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，若负指数幂无意义，说明转化后的分式分母为0，即底数为0，因此求解$(x+3)^{-2}$无意义的x值时，只需令底数$x+3=0$即可。
【解析】
1. 若$(x-3)^0=1$成立：
根据零指数幂的运算性质，底数不能为0，可得：
$x-3≠0$
解得：$x≠3$
2. 若$(x+3)^{-2}$没有意义：
根据负整数指数幂的意义，$(x+3)^{-2}=\frac{1}{(x+3)^2}$，分式无意义时分母为0，可得：
$x+3=0$
解得：$x=-3$
【答案】
≠3；-3
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础考点，核心考查幂运算中底数的隐含限制条件，解题的关键是牢记零指数幂、负整数指数幂成立的前提是底数不为0，避免遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.9
3. 若$3^x=\dfrac{1}{27}$，则$x=$
-3
.答案
3.-3
解析
【分析】
解题时先观察等式两边的形式，左边是底数为3的幂，因此我们可以尝试将右边的$\dfrac{1}{27}$也转化为以3为底的幂的形式：首先回忆负整数指数幂的运算规则，再结合$3^3=27$将$\dfrac{1}{27}$改写为3的负指数幂，最后利用“底数相同且不为1的两个幂相等，则指数相等”的性质即可求出x的值。
【解析】
解：$\because 3^3=27$，
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
$\therefore \dfrac{1}{27}=\dfrac{1}{3^3}=3^{-3}$，
又$\because 3^x=\dfrac{1}{27}$，
$\therefore 3^x=3^{-3}$，
$\because$ 底数$3＞0$且$3≠1$，同底数幂相等时指数相等，
$\therefore x=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 同底数幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查负整数指数幂的转化规则，只要熟练掌握负指数幂的运算方法，就能快速得到结果，属于幂相关知识点的常规考查题。
【难度系数】
0.9
解题时先观察等式两边的形式，左边是底数为3的幂，因此我们可以尝试将右边的$\dfrac{1}{27}$也转化为以3为底的幂的形式：首先回忆负整数指数幂的运算规则，再结合$3^3=27$将$\dfrac{1}{27}$改写为3的负指数幂，最后利用“底数相同且不为1的两个幂相等，则指数相等”的性质即可求出x的值。
【解析】
解：$\because 3^3=27$，
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
$\therefore \dfrac{1}{27}=\dfrac{1}{3^3}=3^{-3}$，
又$\because 3^x=\dfrac{1}{27}$，
$\therefore 3^x=3^{-3}$，
$\because$ 底数$3＞0$且$3≠1$，同底数幂相等时指数相等，
$\therefore x=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 同底数幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查负整数指数幂的转化规则，只要熟练掌握负指数幂的运算方法，就能快速得到结果，属于幂相关知识点的常规考查题。
【难度系数】
0.9
4.若$n$为正整数，且$(-2)^{-n}=-2^{-n}$，则$n$是（
A.偶数
B.奇数
C.正偶数
D.负奇数
B
）A.偶数
B.奇数
C.正偶数
D.负奇数
答案
4.B
解析
【分析】首先回忆负整数指数幂的运算性质，以及负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。已知n是正整数，先排除不符合n取值范围的选项，再分别讨论n为奇数、偶数时等式左右两边的结果是否相等，即可推出正确答案。
【解析】已知n是正整数，首先排除D选项（负奇数）。
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），分情况讨论：
1. 若n为偶数：
左边$(-2)^{-n}=\frac{1}{(-2)^n}=\frac{1}{2^n}$（负数的偶次幂为正），
右边$-2^{-n}=-\frac{1}{2^n}$，
此时左边≠右边，不符合题意，故A（偶数）、C（正偶数）错误。
2. 若n为奇数：
左边$(-2)^{-n}=\frac{1}{(-2)^n}=\frac{1}{-2^n}=-\frac{1}{2^n}$（负数的奇次幂为负），
右边$-2^{-n}=-\frac{1}{2^n}$，
此时左边=右边，符合题意，故n是奇数。
【答案】B
【知识点】负整数指数幂运算、有理数乘方的符号规律
【点评】本题核心是区分负号在底数内和底数外时，幂运算结果的差异，解题时通过分类讨论n的奇偶性即可快速判断正误，注意不要混淆负号的位置对结果的影响。
【难度系数】0.7
【解析】已知n是正整数，首先排除D选项（负奇数）。
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），分情况讨论：
1. 若n为偶数：
左边$(-2)^{-n}=\frac{1}{(-2)^n}=\frac{1}{2^n}$（负数的偶次幂为正），
右边$-2^{-n}=-\frac{1}{2^n}$，
此时左边≠右边，不符合题意，故A（偶数）、C（正偶数）错误。
2. 若n为奇数：
左边$(-2)^{-n}=\frac{1}{(-2)^n}=\frac{1}{-2^n}=-\frac{1}{2^n}$（负数的奇次幂为负），
右边$-2^{-n}=-\frac{1}{2^n}$，
此时左边=右边，符合题意，故n是奇数。
【答案】B
【知识点】负整数指数幂运算、有理数乘方的符号规律
【点评】本题核心是区分负号在底数内和底数外时，幂运算结果的差异，解题时通过分类讨论n的奇偶性即可快速判断正误，注意不要混淆负号的位置对结果的影响。
【难度系数】0.7
5. 计算：$\sqrt{4} + (-3)^2 - 2027^0 × |-4| + ( \frac{1}{6} )^{-1}.$
答案
5. 13
解析
【分析】
本题属于实数混合运算题，解题时需遵循先算高级运算（乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值），再算乘除，最后算加减的运算顺序。我们可以先分别计算原式中每个独立运算项的结果，再按照四则运算规则合并结果即可。
【解析】
解：先分别计算各运算项：
$\sqrt{4}=2$，$(-3)^2=9$，根据“非零数的零次幂等于1”得$2027^0=1$，$|-4|=4$，根据“负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数”得$(\frac{1}{6})^{-1}=6$。
将各结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 + 9 - 1×4 + 6\\&=2 + 9 - 4 + 6\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
实数混合运算、零负指数幂运算、绝对值与算术平方根化简
【点评】
本题是基础运算类题型，重点考查对各类基础代数运算法则的掌握程度，计算时要注意区分零指数幂、负整数指数幂的运算规则，避免因记错规则出现低级错误。
【难度系数】
0.85
本题属于实数混合运算题，解题时需遵循先算高级运算（乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值），再算乘除，最后算加减的运算顺序。我们可以先分别计算原式中每个独立运算项的结果，再按照四则运算规则合并结果即可。
【解析】
解：先分别计算各运算项：
$\sqrt{4}=2$，$(-3)^2=9$，根据“非零数的零次幂等于1”得$2027^0=1$，$|-4|=4$，根据“负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数”得$(\frac{1}{6})^{-1}=6$。
将各结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 + 9 - 1×4 + 6\\&=2 + 9 - 4 + 6\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
实数混合运算、零负指数幂运算、绝对值与算术平方根化简
【点评】
本题是基础运算类题型，重点考查对各类基础代数运算法则的掌握程度，计算时要注意区分零指数幂、负整数指数幂的运算规则，避免因记错规则出现低级错误。
【难度系数】
0.85
八、科学记数法
1. 用科学记数法表示：
(1)12 360 000=
(2)-0.000 236=
1. 用科学记数法表示：
(1)12 360 000=
$1.236× 10^{7}$
；(2)-0.000 236=
$-2.36× 10^{-4}$
.答案
1.(1)$1.236× 10^7$ (2)$-2.36× 10^{-4}$
解析
【分析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数，解题时需分情况确定$a$和$n$的值：①当原数绝对值≥10时，$n$是正整数，数值等于原数的整数位数减1；②当原数绝对值＜1时，$n$是负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）。针对本题两个小题，分别对应上述两种情况计算即可。
【解析】
(1) 处理$12360000$：将小数点向左移动7位得到$1.236$，满足$1≤1.236＜10$；原数的整数位数共8位，因此$n=8-1=7$，可得$12360000=1.236×10^7$。
(2) 处理$-0.000236$：将小数点向右移动4位得到$-2.36$，满足$1≤|-2.36|＜10$；原数左起第一个非零数字2前共有4个0（含小数点前的0），因此$n=-4$，可得$-0.000236=-2.36×10^{-4}$。
【答案】
(1)$1.236× 10^7$ (2)$-2.36× 10^{-4}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于科学记数法的基础考查题，解题关键是熟练掌握不同取值范围的数对应的$a$、$n$的确定规则，细心计数即可避免出错。
【难度系数】
0.8
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数，解题时需分情况确定$a$和$n$的值：①当原数绝对值≥10时，$n$是正整数，数值等于原数的整数位数减1；②当原数绝对值＜1时，$n$是负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）。针对本题两个小题，分别对应上述两种情况计算即可。
【解析】
(1) 处理$12360000$：将小数点向左移动7位得到$1.236$，满足$1≤1.236＜10$；原数的整数位数共8位，因此$n=8-1=7$，可得$12360000=1.236×10^7$。
(2) 处理$-0.000236$：将小数点向右移动4位得到$-2.36$，满足$1≤|-2.36|＜10$；原数左起第一个非零数字2前共有4个0（含小数点前的0），因此$n=-4$，可得$-0.000236=-2.36×10^{-4}$。
【答案】
(1)$1.236× 10^7$ (2)$-2.36× 10^{-4}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于科学记数法的基础考查题，解题关键是熟练掌握不同取值范围的数对应的$a$、$n$的确定规则，细心计数即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 把下列数写成原数：
(1)$2.36× 10^{5}=$
(2)$-2.37× 10^{-3}=$
(1)$2.36× 10^{5}=$
236000
；(2)$-2.37× 10^{-3}=$
-0.00237
.答案
2.(1)236 000 (2)-0.002 37
解析
【分析】
本题考查科学记数法转化为原数的方法，解题思路如下：首先明确科学记数法的形式为$a×10^n$，分两种情况处理：①当$n$为正整数时，将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不足时补0，即可得到原数；②当$n$为负整数时，将$a$的小数点向左移动$\vert n\vert$位，位数不足时在数字前补0，同时保留原有的符号，即可得到原数，按照该规则分别计算两个小题即可。
【解析】
(1) 对于$2.36×10^5$，指数$n=5$为正整数，将$2.36$的小数点向右移动5位：
$2.36$的小数点向右移2位得到236，剩余3位补0，最终得到$236000$。
(2) 对于$-2.37×10^{-3}$，指数$n=-3$，绝对值为3，保留负号，将$-2.37$的小数点向左移动3位：
小数点向左移3位后，不足的位数补0，最终得到$-0.00237$。
【答案】
(1)$236000$；(2)$-0.00237$
【知识点】
1.科学记数法还原
2.小数点移位规则
【点评】
本题属于科学记数法的基础考查题型，重点区分正、负指数对应的小数点移动方向，牢记位数不足补0的规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法转化为原数的方法，解题思路如下：首先明确科学记数法的形式为$a×10^n$，分两种情况处理：①当$n$为正整数时，将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不足时补0，即可得到原数；②当$n$为负整数时，将$a$的小数点向左移动$\vert n\vert$位，位数不足时在数字前补0，同时保留原有的符号，即可得到原数，按照该规则分别计算两个小题即可。
【解析】
(1) 对于$2.36×10^5$，指数$n=5$为正整数，将$2.36$的小数点向右移动5位：
$2.36$的小数点向右移2位得到236，剩余3位补0，最终得到$236000$。
(2) 对于$-2.37×10^{-3}$，指数$n=-3$，绝对值为3，保留负号，将$-2.37$的小数点向左移动3位：
小数点向左移3位后，不足的位数补0，最终得到$-0.00237$。
【答案】
(1)$236000$；(2)$-0.00237$
【知识点】
1.科学记数法还原
2.小数点移位规则
【点评】
本题属于科学记数法的基础考查题型，重点区分正、负指数对应的小数点移动方向，牢记位数不足补0的规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. $1.05× 10^{-2}$精确到
万分
位.答案
3. 万分
解析
【分析】
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先需要将科学记数法还原为普通小数，再找到科学记数法中前面的因数$a$的最后一位数字，看该数字落在还原后的原数的哪个数位上，对应的数位就是该近似数精确到的数位。
【解析】
第一步：先将$1.05×10^{-2}$还原为普通小数：
$1.05×10^{-2}=1.05÷100=0.0105$
第二步：找到$1.05$的最后一位数字是5，观察5在还原后的数0.0105中的位置：
小数点后第一位是十分位（数字0），第二位是百分位（数字1），第三位是千分位（数字0），第四位是万分位（数字5），因此数字5在万分位上。
所以$1.05×10^{-2}$精确到万分位。
【答案】
万分
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题核心是考查科学记数法表示的近似数的精确度判断，解题关键是先还原原数再判断数位，切忌直接按照科学记数法中$a$的数位直接判定，避免出错。
【难度系数】
0.7
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先需要将科学记数法还原为普通小数，再找到科学记数法中前面的因数$a$的最后一位数字，看该数字落在还原后的原数的哪个数位上，对应的数位就是该近似数精确到的数位。
【解析】
第一步：先将$1.05×10^{-2}$还原为普通小数：
$1.05×10^{-2}=1.05÷100=0.0105$
第二步：找到$1.05$的最后一位数字是5，观察5在还原后的数0.0105中的位置：
小数点后第一位是十分位（数字0），第二位是百分位（数字1），第三位是千分位（数字0），第四位是万分位（数字5），因此数字5在万分位上。
所以$1.05×10^{-2}$精确到万分位。
【答案】
万分
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题核心是考查科学记数法表示的近似数的精确度判断，解题关键是先还原原数再判断数位，切忌直接按照科学记数法中$a$的数位直接判定，避免出错。
【难度系数】
0.7
4.考古学家们破译了玛雅人的天文历,其历法非常精确.他们计算的地球一年的天数与现代相比仅差0.000 069天.用科学记数法表示0.000 069为 (
A.$0.69× 10^{-4}$
B.$6.9× 10^{-5}$
C.$6.9× 10^{-4}$
D.6
B
)A.$0.69× 10^{-4}$
B.$6.9× 10^{-5}$
C.$6.9× 10^{-4}$
D.6
答案
4.B
解析
【分析】要解决这道题，首先需要回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$的值是原数左边起第一个不为零的数字前面所有0的总个数（包含小数点前的0）。解题时先确定$a$的取值，再数出对应的$n$值，最后匹配选项即可。
【解析】科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a×10^{-n}$，要求$1≤ a＜10$，$n$为原数左起第一个非零数字前的0的总个数。
对于$0.000069$：
1. 确定$a$：将小数点移动到第一个非零数字6的后面，得到$a=6.9$，满足$1≤6.9＜10$；
2. 确定$n$：数字6前面共有5个0（含小数点前的1个0），因此$n=5$；
所以$0.000069=6.9×10^{-5}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】科学记数法
【点评】本题考查科学记数法表示较小数的应用，解题关键是准确确定$a$的取值和$n$的数值，属于基础类题型，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】0.8
【解析】科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a×10^{-n}$，要求$1≤ a＜10$，$n$为原数左起第一个非零数字前的0的总个数。
对于$0.000069$：
1. 确定$a$：将小数点移动到第一个非零数字6的后面，得到$a=6.9$，满足$1≤6.9＜10$；
2. 确定$n$：数字6前面共有5个0（含小数点前的1个0），因此$n=5$；
所以$0.000069=6.9×10^{-5}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】科学记数法
【点评】本题考查科学记数法表示较小数的应用，解题关键是准确确定$a$的取值和$n$的数值，属于基础类题型，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】0.8
