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五、分式方程
1. 已知关于x的分式方程$\frac{m-2}{x+1}=1$的解是负数，则m的取值范围是（
A.$m≤3$
B.$m≤3$且$m≠2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠2$
1. 已知关于x的分式方程$\frac{m-2}{x+1}=1$的解是负数，则m的取值范围是（
D
）A.$m≤3$
B.$m≤3$且$m≠2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠2$
答案
1.D 提示:解$\frac{m-2}{x+1}=1$,得x=m-3. $\because$ 关于x的分式方程$\frac{m-2}{x+1}=1$的解是负数,$\therefore m-3＜0$,解得m＜3. 当x=m-3=-1时,方程无解,则m≠2. 故m的取值范围是m＜3且m≠2。
解析
【分析】
解决此类含参数的分式方程求参数范围的问题，可按以下思路思考：第一步，先求解分式方程，将未知数x用含参数m的代数式表示；第二步，根据题目给出的“解是负数”的条件，列出关于m的不等式，求出m的初步范围；第三步，注意分式方程有意义的前提是分母不为0，因此要排除使得分母为0时对应的m的取值，综合两个条件即可得到最终的m的取值范围。
【解析】
先解分式方程$\frac{m-2}{x+1}=1$：
方程两边同时乘以最简公分母$x+1$（此时需满足$x+1≠0$，即$x≠-1$，方程才有意义），得：
$m-2 = x+1$
移项得$x = m-3$。
① 根据题意方程的解是负数，因此$x＜0$，即：
$m-3 ＜ 0$
解得$m ＜ 3$。
② 再根据分式方程有意义的条件$x≠-1$，代入$x=m-3$得：
$m-3 ≠ -1$
解得$m ≠ 2$。
综合①②可得，m的取值范围是$m＜3$且$m≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的典型基础题，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠2$的限制，解答这类题时要注意求解后验证分式方程的增根情况，避免多解。
【难度系数】
0.7
解决此类含参数的分式方程求参数范围的问题，可按以下思路思考：第一步，先求解分式方程，将未知数x用含参数m的代数式表示；第二步，根据题目给出的“解是负数”的条件，列出关于m的不等式，求出m的初步范围；第三步，注意分式方程有意义的前提是分母不为0，因此要排除使得分母为0时对应的m的取值，综合两个条件即可得到最终的m的取值范围。
【解析】
先解分式方程$\frac{m-2}{x+1}=1$：
方程两边同时乘以最简公分母$x+1$（此时需满足$x+1≠0$，即$x≠-1$，方程才有意义），得：
$m-2 = x+1$
移项得$x = m-3$。
① 根据题意方程的解是负数，因此$x＜0$，即：
$m-3 ＜ 0$
解得$m ＜ 3$。
② 再根据分式方程有意义的条件$x≠-1$，代入$x=m-3$得：
$m-3 ≠ -1$
解得$m ≠ 2$。
综合①②可得，m的取值范围是$m＜3$且$m≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的典型基础题，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠2$的限制，解答这类题时要注意求解后验证分式方程的增根情况，避免多解。
【难度系数】
0.7
2. 要使$\frac{2x - 4}{4 - x}$与$\frac{x - 4}{5 - x}$的值互为倒数，则x的值为（
A.0
B.1
C.-1
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.0
B.1
C.-1
D.$\frac{1}{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题首先利用“互为倒数的两个数乘积为1”的性质列出分式方程，再观察方程中分子分母的关系进行约分简化，解整式方程后，必须检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根后得到最终结果。
【解析】
解：
∵$\frac{2x - 4}{4 - x}$与$\frac{x - 4}{5 - x}$互为倒数
∴$\frac{2x - 4}{4 - x} × \frac{x - 4}{5 - x} = 1$
∵$x-4=-(4-x)$，代入方程得：
$\frac{2x-4}{4-x} × \frac{-(4-x)}{5-x} =1$（$4-x≠0$即$x≠4$时可约分）
约分后得：$\frac{-(2x-4)}{5-x}=1$，即$\frac{4-2x}{5-x}=1$
方程两边同时乘$(5-x)$（$5-x≠0$即$x≠5$）得：
$4-2x=5-x$
移项合并同类项得：$-x=1$
解得：$x=-1$
检验：将$x=-1$代入原分式分母，$4-(-1)=5≠0$，$5-(-1)=6≠0$，分母均不为0，$x=-1$是原方程的解。
【答案】
C
【知识点】
倒数的性质；分式方程求解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题时需注意互为相反数的代数式约分的符号问题，牢记分式方程求解后必须检验根的有效性，避免因忽略增根或符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题首先利用“互为倒数的两个数乘积为1”的性质列出分式方程，再观察方程中分子分母的关系进行约分简化，解整式方程后，必须检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根后得到最终结果。
【解析】
解：
∵$\frac{2x - 4}{4 - x}$与$\frac{x - 4}{5 - x}$互为倒数
∴$\frac{2x - 4}{4 - x} × \frac{x - 4}{5 - x} = 1$
∵$x-4=-(4-x)$，代入方程得：
$\frac{2x-4}{4-x} × \frac{-(4-x)}{5-x} =1$（$4-x≠0$即$x≠4$时可约分）
约分后得：$\frac{-(2x-4)}{5-x}=1$，即$\frac{4-2x}{5-x}=1$
方程两边同时乘$(5-x)$（$5-x≠0$即$x≠5$）得：
$4-2x=5-x$
移项合并同类项得：$-x=1$
解得：$x=-1$
检验：将$x=-1$代入原分式分母，$4-(-1)=5≠0$，$5-(-1)=6≠0$，分母均不为0，$x=-1$是原方程的解。
【答案】
C
【知识点】
倒数的性质；分式方程求解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题时需注意互为相反数的代数式约分的符号问题，牢记分式方程求解后必须检验根的有效性，避免因忽略增根或符号错误失分。
【难度系数】
0.7
3. 如图15-2,点A,B在数轴上,它们对应的数分别为-2,$\frac{x}{x+1}$,且点A,B到原点的距离相等,则x的值为
-2
.答案
3.-2
解析
【分析】
首先根据数轴上点到原点的距离的定义，点A对应-2，它到原点的距离为2；已知点A、B到原点距离相等，且点B在原点右侧，因此点B对应的数为2，由此可列出关于x的分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算，最后检验根的有效性即可得到x的值。
【解析】
∵点A表示的数为-2，到原点的距离为$|-2|=2$，
又
∵点A、B到原点的距离相等，且点B在原点右侧，
∴点B表示的数为2，即$\frac{x}{x+1}=2$，
方程两边同乘$(x+1)$去分母得：
$x=2(x+1)$，
去括号得：$x=2x+2$，
移项、合并同类项得：$-x=2$，
系数化为1得：$x=-2$，
检验：当$x=-2$时，$x+1=-2+1=-1≠0$，
∴$x=-2$是原方程的解。
【答案】
-2
【知识点】
数轴的应用，解分式方程，绝对值的性质
【点评】
本题将数轴知识与分式方程相结合，解题的核心是根据两点到原点距离相等建立方程，要注意解分式方程必须验根，防止因忽略分母不为0的条件出现错误。
【难度系数】
0.8
首先根据数轴上点到原点的距离的定义，点A对应-2，它到原点的距离为2；已知点A、B到原点距离相等，且点B在原点右侧，因此点B对应的数为2，由此可列出关于x的分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算，最后检验根的有效性即可得到x的值。
【解析】
∵点A表示的数为-2，到原点的距离为$|-2|=2$，
又
∵点A、B到原点的距离相等，且点B在原点右侧，
∴点B表示的数为2，即$\frac{x}{x+1}=2$，
方程两边同乘$(x+1)$去分母得：
$x=2(x+1)$，
去括号得：$x=2x+2$，
移项、合并同类项得：$-x=2$，
系数化为1得：$x=-2$，
检验：当$x=-2$时，$x+1=-2+1=-1≠0$，
∴$x=-2$是原方程的解。
【答案】
-2
【知识点】
数轴的应用，解分式方程，绝对值的性质
【点评】
本题将数轴知识与分式方程相结合，解题的核心是根据两点到原点距离相等建立方程，要注意解分式方程必须验根，防止因忽略分母不为0的条件出现错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知分式方程$\frac{1}{x-2}+3=\frac{k-2}{2-x}$有增根，
则$k$的值为
则$k$的值为
1
。答案
4.1
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，第一步先明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的最简公分母为0。首先找本题中分式方程的最简公分母为$x-2$，令最简公分母为0，可确定增根为$x=2$；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程，因为增根满足整式方程，最后将增根代入整式方程即可求出$k$的值。
【解析】
首先确定该分式方程的增根：
令最简公分母$x-2=0$，解得$x=2$，即该分式方程的增根为$x=2$。
将原分式方程两边同时乘最简公分母$x-2$去分母，注意$\frac{k-2}{2-x}=\frac{-(k-2)}{x-2}$，去分母后得：
$1 + 3(x-2) = -(k-2)$
因为增根$x=2$是去分母后所得整式方程的根，将$x=2$代入上式：
$1 + 3×(2-2) = -(k-2)$
化简得：$1 = -k + 2$
移项解得：$k=1$
【答案】
1
【知识点】
分式方程的增根，解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根的典型应用题型，解题核心是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程最简公分母为0，二是是去分母后整式方程的根，求解时注意去分母时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，第一步先明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的最简公分母为0。首先找本题中分式方程的最简公分母为$x-2$，令最简公分母为0，可确定增根为$x=2$；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程，因为增根满足整式方程，最后将增根代入整式方程即可求出$k$的值。
【解析】
首先确定该分式方程的增根：
令最简公分母$x-2=0$，解得$x=2$，即该分式方程的增根为$x=2$。
将原分式方程两边同时乘最简公分母$x-2$去分母，注意$\frac{k-2}{2-x}=\frac{-(k-2)}{x-2}$，去分母后得：
$1 + 3(x-2) = -(k-2)$
因为增根$x=2$是去分母后所得整式方程的根，将$x=2$代入上式：
$1 + 3×(2-2) = -(k-2)$
化简得：$1 = -k + 2$
移项解得：$k=1$
【答案】
1
【知识点】
分式方程的增根，解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根的典型应用题型，解题核心是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程最简公分母为0，二是是去分母后整式方程的根，求解时注意去分母时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5.已知点$P(1-2a,a-2)$在第三象限，且$a$为整数，则关于$x$的分式方程$\frac{x+1}{x-a}=2$的解是
x=3
。答案
5.x=3
解析
【分析】
首先根据第三象限内点的横、纵坐标均为负数的特征，列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，结合a为整数的条件确定a的具体值；再将a的值代入分式方程，按照去分母、解整式方程、检验增根的步骤求解分式方程即可。
【解析】
1. 求参数a的值
∵点$P(1-2a,a-2)$在第三象限，第三象限内点的横、纵坐标都小于0，
∴列不等式组：$\begin{cases}1-2a ＜ 0 \\ a - 2 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$1-2a＜0$，移项得$2a＞1$，解得$a＞\frac{1}{2}$；
解不等式$a-2＜0$，解得$a＜2$；
∴a的取值范围为$\frac{1}{2}＜a＜2$，
又
∵a为整数，
∴$a=1$。
2. 解分式方程
将$a=1$代入分式方程$\frac{x+1}{x-a}=2$，得：
$\frac{x+1}{x-1}=2$
去分母（两边同乘$x-1$，且$x≠1$）：$x+1=2(x-1)$
展开移项得：$x+1=2x-2$，解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，分母$x-1=3-1=2≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
$x=3$
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法；分式方程的解法
【点评】
本题是小型综合题，解题的关键是先通过象限坐标特征和整数条件确定参数a的取值，求解分式方程时要注意必须检验根是否使分母为0，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
首先根据第三象限内点的横、纵坐标均为负数的特征，列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，结合a为整数的条件确定a的具体值；再将a的值代入分式方程，按照去分母、解整式方程、检验增根的步骤求解分式方程即可。
【解析】
1. 求参数a的值
∵点$P(1-2a,a-2)$在第三象限，第三象限内点的横、纵坐标都小于0，
∴列不等式组：$\begin{cases}1-2a ＜ 0 \\ a - 2 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$1-2a＜0$，移项得$2a＞1$，解得$a＞\frac{1}{2}$；
解不等式$a-2＜0$，解得$a＜2$；
∴a的取值范围为$\frac{1}{2}＜a＜2$，
又
∵a为整数，
∴$a=1$。
2. 解分式方程
将$a=1$代入分式方程$\frac{x+1}{x-a}=2$，得：
$\frac{x+1}{x-1}=2$
去分母（两边同乘$x-1$，且$x≠1$）：$x+1=2(x-1)$
展开移项得：$x+1=2x-2$，解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，分母$x-1=3-1=2≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
$x=3$
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法；分式方程的解法
【点评】
本题是小型综合题，解题的关键是先通过象限坐标特征和整数条件确定参数a的取值，求解分式方程时要注意必须检验根是否使分母为0，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
六、分式方程的应用
1. 甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等。若设甲班每天植树$ x $棵，则根据题意
列出的方程是 （
A.$\frac{80}{x - 5} = \frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x} = \frac{70}{x + 5}$
C.$\frac{80}{x + 5} = \frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x} = \frac{70}{x - 5}$
1. 甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等。若设甲班每天植树$ x $棵，则根据题意
列出的方程是 （
D
）A.$\frac{80}{x - 5} = \frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x} = \frac{70}{x + 5}$
C.$\frac{80}{x + 5} = \frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x} = \frac{70}{x - 5}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要根据题设表示出乙班每天植树的数量，再抓住核心等量关系“甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等”列方程。具体思考步骤：1. 已知甲班每天植树x棵，甲比乙每天多植5棵，可推出乙班每天植树(x-5)棵；2. 植树天数=植树总棵数÷每天植树棵数，分别表示出甲、乙两班对应植树任务的用时；3. 令两个用时相等即可得到对应方程，再匹配选项。
【解析】
设甲班每天植树$x$棵，
∵ 甲班每天比乙班多植树5棵，
∴ 乙班每天植树$(x-5)$棵。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲班植80棵树的用时为$\frac{80}{x}$天，
乙班植70棵树的用时为$\frac{70}{x-5}$天。
由题可知两个用时相等，因此列方程为：
$\frac{80}{x} = \frac{70}{x-5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准题目中的等量关系，解题时先根据已知条件表示出各个未知量，再结合等量关系列方程即可，易错点是容易搞反甲、乙两班每天植树的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据题设表示出乙班每天植树的数量，再抓住核心等量关系“甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等”列方程。具体思考步骤：1. 已知甲班每天植树x棵，甲比乙每天多植5棵，可推出乙班每天植树(x-5)棵；2. 植树天数=植树总棵数÷每天植树棵数，分别表示出甲、乙两班对应植树任务的用时；3. 令两个用时相等即可得到对应方程，再匹配选项。
【解析】
设甲班每天植树$x$棵，
∵ 甲班每天比乙班多植树5棵，
∴ 乙班每天植树$(x-5)$棵。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲班植80棵树的用时为$\frac{80}{x}$天，
乙班植70棵树的用时为$\frac{70}{x-5}$天。
由题可知两个用时相等，因此列方程为：
$\frac{80}{x} = \frac{70}{x-5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是找准题目中的等量关系，解题时先根据已知条件表示出各个未知量，再结合等量关系列方程即可，易错点是容易搞反甲、乙两班每天植树的数量关系。
【难度系数】
0.8
2. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度. 如图15-3，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度. 设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为
$\frac{6}{x}+\frac{6}{1.2x}=11$
.答案
2.$\frac{6}{x}+\frac{6}{1.2x}=11$
解析
【分析】
这是行程类分式方程应用题，解题核心是利用“时间=路程÷速度”的公式找到等量关系。首先已知设通过AB的速度为x米/秒，可推出通过BC的速度为1.2x米/秒；AB、BC的路程均为6米，可分别表示出两段路程的通行时间；题目给出全程总通行时间为11秒，即AB段通行时间+BC段通行时间=总时间，根据这一等量关系即可列方程。
【解析】
设小明通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC时的速度为1.2x米/秒。
根据时间=路程÷速度：
通过AB段的时间为$\frac{6}{x}$秒，通过BC段的时间为$\frac{6}{1.2x}$秒。
由全程总用时11秒，可列方程：
$\frac{6}{x}+\frac{6}{1.2x}=11$
【答案】
$\frac{6}{x}+\frac{6}{1.2x}=11$
【知识点】
列分式方程、行程问题公式、等量关系确定
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题，重点考查学生从实际场景中提取等量关系的能力，只要熟练掌握行程问题三要素的关系即可顺利解题，属于这类考点的常规考法。
【难度系数】
0.8
这是行程类分式方程应用题，解题核心是利用“时间=路程÷速度”的公式找到等量关系。首先已知设通过AB的速度为x米/秒，可推出通过BC的速度为1.2x米/秒；AB、BC的路程均为6米，可分别表示出两段路程的通行时间；题目给出全程总通行时间为11秒，即AB段通行时间+BC段通行时间=总时间，根据这一等量关系即可列方程。
【解析】
设小明通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC时的速度为1.2x米/秒。
根据时间=路程÷速度：
通过AB段的时间为$\frac{6}{x}$秒，通过BC段的时间为$\frac{6}{1.2x}$秒。
由全程总用时11秒，可列方程：
$\frac{6}{x}+\frac{6}{1.2x}=11$
【答案】
$\frac{6}{x}+\frac{6}{1.2x}=11$
【知识点】
列分式方程、行程问题公式、等量关系确定
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题，重点考查学生从实际场景中提取等量关系的能力，只要熟练掌握行程问题三要素的关系即可顺利解题，属于这类考点的常规考法。
【难度系数】
0.8
3. 学校为创建“书香校园”购买了一批图书.已知购买科普类图书花费10 000元,购买文学类图书花费9 000元,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格高25%,且购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少100本.求文学类图书平均每本的价格是多少元.若设文学类图书平均每本的价格是x元,则可列方程为
$\frac{9000}{x}-\frac{10000}{(1+25\%)x}=100$
.答案
3.$\frac{9000}{x}-\frac{10000}{(1+25\%)x}=100$
解析
【分析】
解题时按照三步思路推导：首先根据两类图书的单价关系表示出科普类图书的单价；再利用“数量=总价÷单价”的公式，分别表示出文学类和科普类图书的购买数量；最后结合“科普类图书数量比文学类少100本”的等量关系，代入对应代数式即可列出方程。
【解析】
已知设文学类图书平均每本的价格是x元：
1. 推导科普类图书单价：因为科普类图书平均每本价格比文学类高25%，所以科普类图书平均每本价格为$(1+25\%)x$元；
2. 计算两类图书的购买数量：
文学类图书总花费9000元，购买数量为$\frac{9000}{x}$本；
科普类图书总花费10000元，购买数量为$\frac{10000}{(1+25\%)x}$本；
3. 根据等量关系列方程：科普类数量比文学类少100本，即文学类数量 - 科普类数量 = 100，代入代数式可得方程：
$\frac{9000}{x}-\frac{10000}{(1+25\%)x}=100$
【答案】
$\frac{9000}{x}-\frac{10000}{(1+25\%)x}=100$
【知识点】
分式方程应用，列代数式，百分率计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是准确把握单价、总价、数量三者的对应关系，找准题目中的等量关系，明确百分率对应的单位“1”为文学类图书的单价，避免混淆两类图书的数量大小关系即可正确作答。
【难度系数】
0.75
解题时按照三步思路推导：首先根据两类图书的单价关系表示出科普类图书的单价；再利用“数量=总价÷单价”的公式，分别表示出文学类和科普类图书的购买数量；最后结合“科普类图书数量比文学类少100本”的等量关系，代入对应代数式即可列出方程。
【解析】
已知设文学类图书平均每本的价格是x元：
1. 推导科普类图书单价：因为科普类图书平均每本价格比文学类高25%，所以科普类图书平均每本价格为$(1+25\%)x$元；
2. 计算两类图书的购买数量：
文学类图书总花费9000元，购买数量为$\frac{9000}{x}$本；
科普类图书总花费10000元，购买数量为$\frac{10000}{(1+25\%)x}$本；
3. 根据等量关系列方程：科普类数量比文学类少100本，即文学类数量 - 科普类数量 = 100，代入代数式可得方程：
$\frac{9000}{x}-\frac{10000}{(1+25\%)x}=100$
【答案】
$\frac{9000}{x}-\frac{10000}{(1+25\%)x}=100$
【知识点】
分式方程应用，列代数式，百分率计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是准确把握单价、总价、数量三者的对应关系，找准题目中的等量关系，明确百分率对应的单位“1”为文学类图书的单价，避免混淆两类图书的数量大小关系即可正确作答。
【难度系数】
0.75
4. 某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求这两种商品单价分别为多少元。
答案
4. 设甲商品的单价为x元,乙商品的单价为2x元. 根据题意,得$\frac{240}{x}-\frac{300}{2x}=15$. 解这个方程,得x=6. 经检验,x=6是所列方程的根. 所以2x=2×6=12. 答:甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元。
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题时先梳理题中两个核心数量关系：①乙商品单价是甲商品单价的2倍；②购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件。我们先设甲商品单价为未知数，用含未知数的式子表示乙商品单价，再根据数量差的等量关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义，最后计算两种商品的单价即可。
【解析】
设甲商品的单价为$x$元，则乙商品的单价为$2x$元。
根据题意可得等量关系：购买240元甲商品的数量$-$购买300元乙商品的数量$=15$件，列方程为：
$\frac{240}{x}-\frac{300}{2x}=15$
化简方程：$\frac{240}{x}-\frac{150}{x}=15$，即$\frac{90}{x}=15$，解得$x=6$。
经检验，$x=6$时原方程分母不为0，是所列方程的根，且符合实际意义。
则乙商品单价为$2x=2×6=12$（元）。
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元。
【答案】
甲商品单价为6元，乙商品单价为12元。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程的常规应用题型，解题关键是找准题目中的等量关系正确列方程，要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，避免增根导致错误。
【难度系数】
0.7
这是分式方程的实际应用题，解题时先梳理题中两个核心数量关系：①乙商品单价是甲商品单价的2倍；②购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件。我们先设甲商品单价为未知数，用含未知数的式子表示乙商品单价，再根据数量差的等量关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义，最后计算两种商品的单价即可。
【解析】
设甲商品的单价为$x$元，则乙商品的单价为$2x$元。
根据题意可得等量关系：购买240元甲商品的数量$-$购买300元乙商品的数量$=15$件，列方程为：
$\frac{240}{x}-\frac{300}{2x}=15$
化简方程：$\frac{240}{x}-\frac{150}{x}=15$，即$\frac{90}{x}=15$，解得$x=6$。
经检验，$x=6$时原方程分母不为0，是所列方程的根，且符合实际意义。
则乙商品单价为$2x=2×6=12$（元）。
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元。
【答案】
甲商品单价为6元，乙商品单价为12元。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程的常规应用题型，解题关键是找准题目中的等量关系正确列方程，要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，避免增根导致错误。
【难度系数】
0.7
